2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題四　第4講　空間向量與距離、探究性問題43

第4講空間向量與距離、探究性問題[考情分析]1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離，屬于中等難度.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件，計(jì)算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上．考點(diǎn)一空間距離核心提煉(1)點(diǎn)到直線的距離直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的任一點(diǎn)，P為直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\r(a2－a·u2).(2)點(diǎn)到平面的距離平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).考向1點(diǎn)到直線的距離例1(1)(2023·溫州模擬)四面體OABC滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，點(diǎn)D在棱OC上，且OC＝3OD，點(diǎn)G為△ABC的重心，則點(diǎn)G到直線AD的距離為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)(2)(2023·北京模擬)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則線段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1距離的最小值為()A．1 B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(3),3)考向2點(diǎn)到平面的距離例2(1)(2023·武漢模擬)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，則點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\f(4\r(33),11) D.eq\f(\r(33),11)(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則直線AC到平面PEF的距離為()A．2 B.eq\f(\r(17),17)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(5)規(guī)律方法(1)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法．(2)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行．求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距離．跟蹤演練1(2023·大連模擬)如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．(1)若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為eq\f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高；(2)在(1)的條件下，若E是AB1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線A1C1的距離．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)二空間中的探究性問題核心提煉與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．例3(2023·許昌模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，PA＝PD＝eq\r(5)，AB＝2，M為PC上一點(diǎn)，且eq\o(PM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→)).(1)求異面直線AP與DM所成角的余弦值；(2)在棱PB上是否存在點(diǎn)N，使得AN∥平面BDM？若存在，求eq\f(PN,PB)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________規(guī)律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立．(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用．跟蹤演練2(2023·咸陽模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：平面GBC⊥平面BB1C1C；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角P－GB1－B的平面角為30°？若存在，求BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________