新教材高考數(shù)學數(shù)列專題5.新教材中的歐拉函數(shù)及應用6

公眾號：凌晨講數(shù)學歐拉函數(shù)的基本性質與應用一．基本原理1.定義：歐拉函數(shù)是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù),的值等于中與互素的數(shù)的個數(shù).2.計算公式：（1）若為素數(shù)，則（2）若為素數(shù)，且，形成了一個等比數(shù)列.證明：即證.由的定義知等于從減去中與不互質的數(shù)的個數(shù)；亦即等于從減去中與不互質的數(shù)的個數(shù).由于是質數(shù)，故等于從減去中被整除的數(shù)的個數(shù).由于中被整除的數(shù)的個數(shù)是，故.（3）已知正整數(shù)的素因數(shù)分解式其中素數(shù),證明：二．典例分析例1．若正整數(shù)、只有為公約數(shù)，則稱、互質.對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質的數(shù)的個數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說法正確的是（

）A．B．數(shù)列是等差數(shù)列C．D．數(shù)列的前項和為，則解析：對于A選項，在不超過的正整數(shù)中，與互質的正整數(shù)有：、、、，故，A錯；對于B選項，因為，，，顯然、、不成等差數(shù)列，B錯；或者用上面公式：，顯然不是等差數(shù)列.對于C選項，為質數(shù)，在不超過的所有正整數(shù)中，能被整除的正整數(shù)的個數(shù)為，所有與互質的正整數(shù)的個數(shù)為，所以，，因此，，C錯；或者用上面公式：，因此，，C錯；對于D選項，因為為質數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，所以，，所以，，則，所以，，上述兩個不等式作差可得，所以，，D對.或者：若，形成了一個等比數(shù)列.故選D.例2．在數(shù)學和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，（互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項和，則=（

）A． B． C． D．解析：因為與互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，于是①，②，由①-②得，則.于是.故選：A．例3.若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質，對于正整數(shù)k，是不大于k的正整數(shù)中與k互質的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，.已知歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質，那么，例如：，則（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C．數(shù)列不是遞增數(shù)列 D．數(shù)列的前n項和小于解析：，，∴，A對；∵2為質數(shù)，∴在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，∴為等比數(shù)列，B對；∵與互質的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有個，∴，又∵，∴是遞增數(shù)列，故C錯誤；，的前n項和為設，則，所以，，所以，所以數(shù)列的前n項和小于，故D正確.故選：ABD.三．習題演練1．對于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則（

）A．B．數(shù)列為等比數(shù)列C．數(shù)列不單調D．數(shù)列的前項和恒小于4解析：因為7為質數(shù)，所以與不互質的數(shù)為7，14，21，…，，共有個，所以，故A錯誤；因為與互質的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有個，所以，則數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確；因為，所以，故數(shù)列不單調遞增，又因為2=,所以數(shù)列不單調遞減，所以數(shù)列不單調，故C正確；因為，所以.設，則，所以，所以，從而數(shù)列的前項和為，故D正確.故選：BCD.2．若正整數(shù)，只有1為公約數(shù)，則稱，互質，對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則（

）A．數(shù)列為等比數(shù)列 B．數(shù)列單調遞增C． D．數(shù)列的前項和為，則的最大值為4解析：與互質的數(shù)為，共有個，所以，因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，因此選項A正確；因為，所以數(shù)列不是單調遞增的，因此選項B不正確；因為是質數(shù)，所以與不互質的數(shù)為，共有個，所以，因此選項C正確；同理，，，，兩式相減，得，，因此選項D不正確，故選：AC3．已知歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù).例如：，，設數(shù)列中：，則（

）A．數(shù)列是單調遞增數(shù)列B．的前8項中最大項為C．當為素數(shù)時，D