數(shù)學簡約之美

數(shù)學太奇妙了，簡約之中無處不透露著美?。?！

自然對數(shù)e的由來：它是一個數(shù)列的極限，當n趨向于無窮大時，[（1/n）＋1]的n次方，這一數(shù)列的值趨向于e，也就是2.71828……。它是一個無理數(shù)。

同樣的，圓周率pi也是一個數(shù)列的極限，寫出來太復雜了一點。當年祖沖之的圓周率就是就逼近法求得的。

數(shù)學上最重要的五個數(shù)，分別是自然對數(shù)e,

圓周率pi，虛數(shù)單位i（根號下-1），0和1。

這五個數(shù)正好能組成一個公式：e的（i*pi）次方，再加上1等于0。

這個公式體現(xiàn)了數(shù)學的內在美，是公認的最完美的公式。太神奇了，自然界有如此多的巧合，唯獨這是最美麗的

看起來風牛馬不相及的事物，竟然有如此美妙的聯(lián)系。太美妙了關于pi的計算，以前寫過一個C語言程序，能算到一百萬位，/kalcaddle/blog/item/13870f10eb8e8b18b9127b52.html

下面是幾篇別人的具體分析，

Fibonacci數(shù)列和黃金分割（讓人難以置信，竟然還有有如此聯(lián)系）

關于黃金分割的引入我聽說過兩種，一種是比較直接的定義：把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。這個比值就是黃金分割數(shù)。它等于(根號5-1)/2，約等于0.618.

另一種引入就是所謂的黃金矩形。一個矩形的兩邊之比是1:∮，以這個矩形的短邊為邊在原矩形內部做一個正方形，剩下的矩形部分兩邊之比還是1:∮，這樣的過程可以無限進行下去。這種矩形就叫做黃金矩形。這個比值就是黃金分割數(shù)。歐幾里得是這么構造黃金矩形的：如圖，先作正方形ABCD，取AC中點E，設AE=EC=x。那么BE就等于：然后構造EF也等于這個長度。完成這個矩形CFGD，這里∮的倒數(shù)就是黃金分割數(shù)。

今天才知道，原來黃金分割數(shù)和Fibonacci數(shù)列還有關系。初學編程的朋友一定熟悉Fibonacci數(shù)列，因為用遞歸和非遞歸算法列出Fibonacci數(shù)列的前N項幾乎是所有Programmer都經(jīng)歷過的過程。

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

它的特點是數(shù)列中的每一項都是前兩項的和（前兩項是初始的給定值），即F(n+2)=F(n+1)+F(n)，如果拿數(shù)列中的第N項去比上第N＋1項，得到的數(shù)就非常接近黃金分割數(shù)，比如13/21=0.61904761904762…，并且N取的越大，這個值就越接近0.618…于是我就想，會不會它的極限就是黃金分割數(shù)，也就是數(shù)列的極限。要想求出這個極限，就先要求出通項公式F(n)，這是個很麻煩的事情，我構造了兩個新數(shù)列才求出來，結果是

一個看起來像是無理數(shù)的式子，但n取任何正整數(shù)時它都是整數(shù)。這樣就可以求F(n)/F(n+1)的極限了，結果就是(根號5-1)/2！

Fibonacci數(shù)列和黃金分割看似兩個毫無關聯(lián)的東西，其中卻有著內在的聯(lián)系。在這里我們又看到了數(shù)學的魅力。歐拉的自然對數(shù)底公式（歐拉，又譯為尤拉）

e是(1+1/x)的x次方當x趨向于正無窮時的極限.

（大約等于2.71828的自然對數(shù)的底———e）

歐拉被稱為數(shù)字界的莎士比亞，他是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，也是各領域（包含數(shù)學中理論與應用的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫(yī)藥等）最多著作的學者。數(shù)學史上稱十八世紀為“尤拉時代”。

歐拉出生于瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力，使他在13個小孩子吵鬧的環(huán)境中仍能精確思考復雜問題。

歐拉一生謙遜，從沒有用自己的名字給他發(fā)現(xiàn)的東西命名。只有那個大約等于2.71828的自然對數(shù)的底，被他命名為e。但因他對數(shù)學廣泛的貢獻，因此在許多數(shù)學分支中，反而經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。

我們現(xiàn)在習以為常的數(shù)學符號很多都是歐拉所發(fā)明介紹的，例如：函數(shù)符號f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虛數(shù)i等。高中教師常用一則自然對數(shù)的底數(shù)e笑話，幫助學生記憶一個很特別的微分公式：在一家精神病院里，有個病患整天對著別人說，“我微分你、我微分你?！币膊恢獮槭裁?，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數(shù)般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，“我是e的x次方?！?/p>

這個微分公式就是：e不論對x微分幾次，結果都還是e！難怪數(shù)學系學生會用e比喻堅定不移的愛情！

相對于π是希臘文字中圓周第一個字母，e的由來較不為人熟知。有人甚至認為：歐拉取自己名字的第一個字母作為自然對數(shù)。

而歐拉選擇e的理由較為人所接受的說法有二：一為在a，b，c，d等四個常被使用的字母后面，第一個尚未被經(jīng)常使用的字母就是e，所以，他很自然地選了這個符號，代表自然對數(shù)的底數(shù)；一為e是指數(shù)的第一個字母，雖然你或許會懷疑瑞士人歐拉的母語不是英文，可事實上法文、德文的指數(shù)都是它。

自然對數(shù)e

又稱“雙曲對數(shù)”。以超越數(shù)[fc(]e＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋…＝271828…[fc)]為底的對數(shù)。用記號“l(fā)n”表示。有自然對數(shù)表可查。

當x趨近于正無窮或負無窮時，[1+(1/x)]^x的極限就等于e，實際上e就是通過這個極限而發(fā)現(xiàn)的。它是個無限不循環(huán)小數(shù)。其值約等于2.718281828...

它用e表示

以e為底數(shù)的對數(shù)通常用于㏑

而且e還是一個超越數(shù)

e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數(shù)的對數(shù)。以e為底數(shù)，許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數(shù)”。

渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，比如：一縷裊裊升上藍天的炊煙，一朵碧湖中輕輕蕩開的漣漪，數(shù)只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數(shù)在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星……

螺線特別是對數(shù)螺線的美學意義可以用指數(shù)的形式來表達：

φkρ=αe

其中，α和k為常數(shù)，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數(shù)的底。為了討論方便，我們把e或由e經(jīng)過一定變換和復合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值為2.71828……，是一個無限不循環(huán)數(shù)。

“自然律”之美

“自然律”是e及由e經(jīng)過一定變換和復合的形式。e是“自然律”的精髓，在數(shù)學上它是函數(shù)：

(1+1/x)^x

當X趨近無窮時的極限。

人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究

(1+1/x)^x

X的X次方，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發(fā)展（當X趨向正無窮大的時，上式的極限等于e=2.71828……，當X趨向負無窮大時候，上式的結果也等于e=2.71828……）得來的共同形式，充分體現(xiàn)了宇宙的形成、發(fā)展及衰亡的最本質的東西。

現(xiàn)代宇宙學表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀后半葉的兩個偉大發(fā)現(xiàn)之一的熵定律，即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出，物質的演化總是朝著消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由復雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態(tài)，一種無為的死寂狀態(tài)。這過程看起來像什么？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們一定要找到亞里士多德所說的那種動力因，那么，可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發(fā)條組織，或者干脆把整個宇宙看成是一個巨大的發(fā)條，歷史不過是這種發(fā)條不斷爭取自由而放出能量的過程。

生命體的進化卻與之有相反的特點，它與熱力學第二定律描述的熵趨于極大不同，它使生命物質能避免趨向與環(huán)境衰退。任何生命都是耗散結構系統(tǒng)，它之所以能免于趨近最大的熵的死亡狀態(tài)，就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環(huán)境中不斷吸取負熵。新陳代謝中本質的東西，乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產(chǎn)生的全部熵。

“自然律”一方面體現(xiàn)了自然系統(tǒng)朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統(tǒng)只有通過一種有序化過程才能維持自身穩(wěn)定和促進自身的發(fā)展（如細胞繁殖）的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓于同一形式的特點，“自然律”才在美學上有重要價值。

如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是“自然律”無序死寂的熵增狀態(tài)，那么廣闊無垠、生機盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向榮的動態(tài)穩(wěn)定結構。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沉思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。

e=2.71828……是“自然律”的一種量的表達?！白匀宦伞钡男蜗蟊磉_是螺線。螺線的數(shù)學表達式通常有下面五種：（1）對數(shù)螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）回旋螺線。對數(shù)螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數(shù)螺線有一定的關系，不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數(shù)螺線是1638年經(jīng)笛卡爾引進的，后來瑞士數(shù)學家雅各?伯努利曾詳細研究過它，發(fā)現(xiàn)對數(shù)螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數(shù)螺線，極點在對數(shù)螺線各點的切線仍是對數(shù)螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數(shù)螺線畫在自己的墓碑上。

英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實上，我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什么我們的感覺、我們的“精神的”眼睛經(jīng)常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味著我們的精神，我們的“內在”世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構對應關系嗎？

我們知道，作為生命現(xiàn)象的基礎物質蛋白質，在生命物體內參與著生命過程的整個工作，它的功能所以這樣復雜高效和奧秘無窮，是同其結構緊密相關的?；瘜W家們發(fā)現(xiàn)蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺螺狀的。

古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器，當它的琴弦在風中振動時，能產(chǎn)生優(yōu)美悅耳的音調。這種音調就是所謂的“渦流尾跡效應”。讓人深思的是，人類經(jīng)過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的風鳴琴嗎？還有我們的指紋、發(fā)旋等等，這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應，也就是“內在”與“外在”和諧的自然基礎。

有人說數(shù)學美是“一”的光輝，它具有盡可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規(guī)律的表現(xiàn)，是“多”與“一”的統(tǒng)一，那么“自然律”也同樣閃爍著“一”的光輝。誰能說清e=2.71828……給數(shù)學家?guī)矶嗌俜奖愫统晒Γ咳藗冑潛P直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優(yōu)美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同一，是內在精神世界同外在物質世界的統(tǒng)一，那么“自然律”也同樣有這種統(tǒng)一。人類的認識是按否定之否定規(guī)律發(fā)展的，社會、自然的歷史也遵循著這種辯證發(fā)展規(guī)律，是什么給予這種形式以生動形象的表達呢？螺線！

有人說美在于事物的節(jié)奏，“自然律”也具有這種節(jié)奏；有人說美是動態(tài)的平衡、變化中的永恒，那么“自然律”也同樣是動態(tài)的平衡、變化中的永恒；有人說美在于事物的力動結構，那么“自然律”也同樣具有這種結構——如表的游絲、機械中的彈簧等等。

“自然律”是形式因與動力因的統(tǒng)一，是事物的形象顯現(xiàn)，也是具象和抽象的共同表達。有限的生命植根于無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節(jié)奏……有機的和無機的，內在的和外在的，社會的和自然的，一切都合而為一。這就是“自然律”揭示的全部美學奧秘嗎？不！“自然律”永遠具有不能窮盡的美學內涵，因為它象征著廣袤深邃的大自然。正因為如此，它才吸引并且值的人們進行不懈的探索，從而顯示人類不斷進化的本質力量。（原載《科學之春》雜志1984年第4期，原題為：《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》）

圓周率π的計算歷程

韓雪濤

圓周率是一個極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個數(shù)就引進了外行人和學者們的興趣。作為一個非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關圓的計算問題。僅憑這一點，求出它的盡量準確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。事實也是如此，幾千年來作為數(shù)學家們的奮斗目標，古今中外一代一代的數(shù)學家為此獻出了自己的智慧和勞動?；仡櫄v史，人類對π的認識過程，反映了數(shù)學和計算技術發(fā)展情形的一個側面。π的研究，在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學水平。德國數(shù)學史家康托說：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時數(shù)學發(fā)展水平的指標?！敝钡?9世紀初，求圓周率的值應該說是數(shù)學中的頭號難題。為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計算歷程分為幾個階段。

實驗時期

通過實驗對π值進行估算，這是計算π的的第一階段。這種對π值的估算基本上都是以觀察或實驗為根據(jù)，是基于對一個圓的周長和直徑的實際測量而得出的。在古代世界，實際上長期使用π＝3這個數(shù)值。最早見于文字記載的有基督教《圣經(jīng)》中的章節(jié)，其上取圓周率為3。這一段描述的事大約發(fā)生在公元前950年前后。其他如巴比倫、印度、中國等也長期使用3這個粗略而簡單實用的數(shù)值。在我國劉徽之前“圓徑一而周三”曾廣泛流傳。我國第一部《周髀算經(jīng)》中，就記載有圓“周三徑一”這一結論。在我國，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說，直徑為1的圓，周長大約是3，邊長為5的正方形，對角線之長約為7。這正反映了早期人們對圓周率π和√2這兩個無理數(shù)的粗略估計。東漢時期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計算面積的標準。后人稱之為“古率”。

早期的人們還使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希臘人曾用谷粒擺在圓形上，以數(shù)粒數(shù)與方形對比的方法取得數(shù)值?；蛴脛蛑啬景邃彸蓤A形和方形以秤量對比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值。如古埃及人應用了約四千年的4(8/9)2=3.1605。在印度，公元前六世紀，曾取π=√10=3.162。在我國東、西漢之交，新朝王莽令劉歆制造量的容器――律嘉量斛。劉歆在制造標準容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此，他大約也是通過做實驗，得到一些關于圓周率的并不劃一的近似值?，F(xiàn)在根據(jù)銘文推算，其計算值分別取為3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比徑一周三的古率已有所進步。人類的這種探索的結果，當主要估計圓田面積時，對生產(chǎn)沒有太大影響，但以此來制造器皿或其它計算就不合適了。

幾何法時期

憑直觀推測或實物度量，來計算π值的實驗方法所得到的結果是相當粗略的。

真正使圓周率計算建立在科學的基礎上，首先應歸功于阿基米德。他是科學地研究這一常數(shù)的第一個人，是他首先提出了一種能夠借助數(shù)學過程而不是通過測量的、能夠把π的值精確到任意精度的方法。由此，開創(chuàng)了圓周率計算的第二階段。

圓周長大于內接正四邊形而小于外切正四邊形，因此2√2＜π＜4。

當然，這是一個差勁透頂?shù)睦印?jù)說阿基米德用到了正96邊形才算出他的值域。

阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，體現(xiàn)在他的一篇論文《圓的測定》之中。在這一書中，阿基米德第一次創(chuàng)用上、下界來確定π的近似值，他用幾何方法證明了“圓周長與圓直徑之比小于3+(1/7)而大于3+(10/71)”，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法從理論上而言，能夠求得圓周率的更準確的值。到公元150年左右，希臘天文學家托勒密得出π＝3.1416，取得了自阿基米德以來的巨大進步。

割圓術。不斷地利用勾股定理，來計算正N邊形的邊長。

在我國，首先是由數(shù)學家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術，得出π＝3.14，通常稱為“徽率”，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術的時間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內接同時又用外切正多邊形簡捷得多。另外，有人認為在割圓術中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率π＝3927/1250＝3.1416。而這一結果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計算得出這個結果，需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術是割圓術中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對它缺乏理解而被長期埋沒了。

恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻吧。對此，《隋書?律歷志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”

這一記錄指出，祖沖之關于圓周率的兩大貢獻。其一是求得圓周率

3.1415926＜π＜3.1415927

其二是，得到π的兩個近似分數(shù)即：約率為22／7；密率為355／113。

他算出的π的8位可靠數(shù)字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致于有數(shù)學史家提議將這一結果命名為“祖率”。

這一結果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基于對劉徽割圓術的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當我們稱頌祖沖之的功績時，不要忘記他的成就的取得是因為他站在數(shù)學偉人劉徽的肩膀上的緣故。后人曾推算若要單純地通過計算圓內接多邊形邊長的話，得到這一結果，需要算到圓內接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡化計算呢？這已經(jīng)不得而知，因為記載其研究成果的著作《綴術》早已失傳了。這在中國數(shù)學發(fā)展史上是一件極令人痛惜的事。

中國發(fā)行的祖沖之紀念郵票

祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎“發(fā)現(xiàn)宮”科學博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山……

對于祖沖之的關于圓周率的第二點貢獻，即他選用兩個簡單的分數(shù)尤其是用密率來近似地表示π這一點，通常人們不會太注意。然而，實際上，后者在數(shù)學上有更重要的意義。

密率與π的近似程度很好，但形式上卻很簡單，并且很優(yōu)美，只用到了數(shù)字1、3、5。數(shù)學史家梁宗巨教授驗證出：分母小于16604的一切分數(shù)中，沒有比密率更接近π的分數(shù)。在國外，祖沖之死后一千多年，西方人才獲得這一結果。

可見，密率的提出是一件很不簡單的事情。人們自然要追究他是采用什么辦法得到這一結果的呢？他是用什么辦法把圓周率從小數(shù)表示的近似值化為近似分數(shù)的呢？這一問題歷來為數(shù)學史家所關注。由于文獻的失傳，祖沖之的求法已不為人知。后人對此進行了各種猜測。

讓我們先看看國外歷史上的工作，希望能夠提供出一些信息。

1573年，德國人奧托得出這一結果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結果377／120用類似于加成法“合成”的：(377-22)/(120-7)=355/113。

1585年，荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106＜π＜377/120，用兩者作為π的母近似值，分子、分母各取平均，通過加成法獲得結果：3((15+17)/(106+120)=355/113。

兩個雖都得出了祖沖之密率，但使用方法都為偶合，無理由可言。

在日本，十七世紀關孝和重要著作《括要算法》卷四中求圓周率時創(chuàng)立零約術，其實質就是用加成法來求近似分數(shù)的方法。他以3、4作為母近似值，連續(xù)加成六次得到祖沖之約率，加成一百十二次得到密率。其學生對這種按部就班的笨辦法作了改進，提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法，（實際上就是我們前面已經(jīng)提到的加成法）這樣從3、4出發(fā)，六次加成到約率，第七次出現(xiàn)25／8，就近與其緊鄰的22／7加成，得47／15，依次類推，只要加成23次就得到密率。

錢宗琮先生在《中國算學史》（1931年）中提出祖沖之采用了我們前面提到的由何承天首創(chuàng)的“調日法”或稱加權加成法。他設想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，并計算加成權數(shù)x=9，于是(157+22×，9)/(50+7×9)=355/113，一舉得到密率。錢先生說：“沖之在承天后，用其術以造密率，亦意中事耳?！?/p>

另一種推測是：使用連分數(shù)法。

由于求二自然數(shù)的最大公約數(shù)的更相減損術遠在《九章算術》成書時代已流行，所以借助這一工具求近似分數(shù)應該是比較自然的。于是有人提出祖沖之可能是在求得盈二數(shù)之后，再使用這個工具，將3.14159265表示成連分數(shù)，得到其漸近分數(shù)：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…

最后，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至于上面圓周率漸近分數(shù)的具體求法，這里略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英國李約瑟博士持這一觀點。他在《中國科學技術史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說：“密率的分數(shù)是一個連分數(shù)漸近數(shù)，因此是一個非凡的成就?！?/p>

我國再回過頭來看一下國外所取得的成果。

1150年，印度數(shù)學家婆什迦羅第二計算出π=3927/1250=3.1416。1424年，中亞細亞地區(qū)的天文學家、數(shù)學家卡西著《圓周論》，計算了3×228＝805,306,368邊內接與外切正多邊形的周長，求出π值，他的結果是：

π＝3.14159265358979325

有十七位準確數(shù)字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。

16世紀的法國數(shù)學家韋達利用阿基米德的方法計算π近似值，用6×216正邊形，推算出精確到9位小數(shù)的π值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韋達卻擁有比阿基米德更先進的工具：十進位置制。17世紀初，德國人魯?shù)婪蛴昧藥缀跻簧臅r間鉆研這個問題。他也將新的十進制與早的阿基米德方法結合起來，但他不是從正六邊形開始并將其邊數(shù)翻番的，他是從正方形開始的，一直推導出了有262條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數(shù)35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國圓周率π被稱為“魯?shù)婪驍?shù)”。但是，用幾何方法求其值，計算量很大，這樣算下去，窮數(shù)學家一生也改進不了多少。到魯?shù)婪蚩梢哉f已經(jīng)登峰造極，古典方法已引導數(shù)學家們走得很遠，再向前推進，必須在方法上有所突破。

17世紀出現(xiàn)了數(shù)學分析，這銳利的工具使得許多初等數(shù)學束手無策的問題迎刃而解。π的計算歷史也隨之進入了一個新的階段。

分析法時期

這一時期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計算，利用無窮級數(shù)或無窮連乘積來算π。

1593年，韋達給出

這一不尋常的公式是π的最早分析表達式。甚至在今天，這個公式的優(yōu)美也會令我們贊嘆不已。它表明僅僅借助數(shù)字2，通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出π值。

接著有多種表達式出現(xiàn)。如沃利斯1650年給出：

1706年，梅欽建立了一個重要的公式，現(xiàn)以他的名字命名：

再利用分析中的級數(shù)展開，他算到小數(shù)后100位。

這樣的方法遠比可憐的魯?shù)婪蛴么蟀肷鷷r間才摳出的35位小數(shù)的方法簡便得多。顯然，級數(shù)方法宣告了古典方法的過時。此后，對于圓周率的計算像馬拉松式競賽，紀錄一個接著一個：

1844年，達塞利用公式：

算到200位。

19世紀以后，類似的公式不斷涌現(xiàn)，π的位數(shù)也迅速增長。1873年，謝克斯利用梅欽的一系列方法，級數(shù)公式將π算到小數(shù)后707位。為了得到這項空前的紀錄，他花費了二十年的時間。他死后，人們將這凝聚著他畢生心血的數(shù)值，銘刻在他的墓碑上，以頌揚他頑強的意志和堅韌不拔的毅力。于是在他的墓碑上留下了他一生心血的結晶：π的小數(shù)點后707位數(shù)值。這一驚人的結果成為此后74年的標準。此后半個世紀，人們對他的計算結果深信不疑，或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確。以致于在1937年巴黎博覽會發(fā)現(xiàn)館的天井里，依然顯赫地刻著他求出的π值。

又過了若干年，數(shù)學家弗格森對他的計算結果產(chǎn)生了懷疑，其疑問基于如下猜想：在π的數(shù)值中，盡管各數(shù)字排列沒有規(guī)律可循，但是各數(shù)碼出現(xiàn)的機會應該相同。當他對謝克斯的結果進行統(tǒng)計時，發(fā)現(xiàn)各數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)過于參差不齊。于是懷疑有誤。他使用了當時所能找到的最先進的計算工具，從1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森發(fā)現(xiàn)第528位是錯的（應為4，誤為5）。謝克斯的值中足足有一百多位全都報了銷，這把可憐的謝克斯和他的十五年浪費了的光陰全部一筆勾銷了。

對此，有人曾嘲笑他說：數(shù)學史在記錄了諸如阿基米德、費馬等人的著作之余，也將會擠出那么一、二行的篇幅來記述1873年前謝克斯曾把π計算到小數(shù)707位這件事。這樣，他也許會覺得自己的生命沒有虛度。如果確實是這樣的話，他的目的達到了。

人們對這些在地球的各個角落里作出不懈努力的人感到不可理解，這可能是正常的。但是，對此做出的嘲笑卻是過于殘忍了。人的能力是不同的，我們無法要求每個人都成為費馬、高斯那樣的人物。但成為不了偉大的數(shù)學家，并不意味著我們就不能為這個社會做出自己有限的貢獻。人各有其長，作為一個精力充沛的計算者，謝克斯愿意獻出一生的大部分時光從事這項工作而別無報酬，并最終為世上的知識寶庫添了一小塊磚加了一個塊瓦。對此我們不應為他的不懈努力而感染并從中得到一些啟發(fā)與教育嗎？

1948年1月弗格森和倫奇兩人共同發(fā)表有808位正確小數(shù)的π。這是人工計算π的最高記錄。

計算機時期

1946年，世界第一臺計算機ENIAC制造成功，標志著人類歷史邁入了電腦時代。電腦的出現(xiàn)導致了計算方面的根本革命。1949年，ENIAC根據(jù)梅欽公式計算到2035（一說是2037）位小數(shù)，包括準備和整理時間在內僅用了70小時。計算機的發(fā)展一日千里，其記錄也就被頻頻打破。

ENIAC：一個時代的開始

1973年，有人就把圓周率算到了小數(shù)點后100萬位，并將結果印成一本二百頁厚的書，可謂世界上最枯燥無味的書了。1989年突破10億大關，1995年10月超過64億位。1999年9月30日，《文摘報》報道，日本東京大學教授金田康正已求到2061.5843億位的小數(shù)值。如果將這些數(shù)字打印在A4大小的復印紙上，令每頁印2萬位數(shù)字，那么，這些紙摞起來將高達五六百米。來自最新的報道：金田康正利用一臺超級計算機，計算出圓周率小數(shù)點后一兆二千四百一十一億位數(shù)，改寫了他本人兩年前創(chuàng)造的紀錄。據(jù)悉，金田教授與日立制作所的員工合作，利用目前計算能力居世界第二十六位的超級計算機，使用新的計算方法，耗時四百多個小時，才計算出新的數(shù)位，比他一九九九年九月計算出的小數(shù)點后二千六百一十一位提高了六倍。圓周率小數(shù)點后第一兆位數(shù)是二，第一兆二千四百一十一億位數(shù)為五。如果一秒鐘讀一位數(shù)，大約四萬年后才能讀完。

不過，現(xiàn)在打破記錄，不管推進到多少位，也不會令人感到特別的驚奇了。實際上，把π的數(shù)值算得過分精確，應用意義并不大?，F(xiàn)代科技領域使用的π值，有十幾位已經(jīng)足夠。如果用魯?shù)婪虻?5位小數(shù)的π值計算一個能把太陽系包圍起來的圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國天文學家西蒙?紐克姆的話來說明這種計算的實用價值：

“十位小數(shù)就足以使地球周界準確到一英寸以內，三十位小數(shù)便能使整個可見宇宙的四周準確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量?！?/p>

那么為什么數(shù)學家們還象登山運動員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對π的探索呢？為什么其小數(shù)值有如此的魅力呢？

這其中大概免不了有人類的好奇心與領先于人的心態(tài)作怪，但除此之外，還有許多其它原因。

奔騰與圓周率之間的奇妙關系……

1、它現(xiàn)在可以被人們用來測試或檢驗超級計算機的各項性能，特別是運算速度與計算過程的穩(wěn)定性。這對計算機本身的改進至關重要。就在幾年前，當Intel公司推出奔騰（Pentium）時，發(fā)現(xiàn)它有一點小問題，這問題正是通過運行π的計算而找到的。這正是超高精度的π計算直到今天仍然有重要意義的原因之一。

2、計算的方法和思路可以引發(fā)新的概念和思想。雖然計算機的計算速度超出任何人的想象，但畢竟還需要由數(shù)學家去編制程序，指導計算機正確運算。實際上，確切地說，當我們把π的計算歷史劃分出一個電子計算機時期時，這并非意味著計算方法上的改進，而只是計算工具有了一個大飛躍而已。因而如何改進計算技術，研究出更好的計算公式，使公式收斂得更快、能極快地達到較大的精確度仍是數(shù)學家們面對的一個重要課題。在這方面，本世紀印度天才數(shù)學家拉馬努揚得出了一些很好的結果。他發(fā)現(xiàn)了許多能夠迅速而精確地計算π近似值的公式。他的見解開通了更有效地計算π近似值的思路?，F(xiàn)在計算機計算π值的公式就是由他得到的。至于這位極富傳奇色彩的數(shù)學家的故事，在這本小書中我們不想多做介紹了。不過，我希望大家能夠明白π的故事講述的是人類的勝利，而不是機器的勝利。

3、還有一個關于π的計算的問題是：我們能否無限地繼續(xù)算下去？答案是：不行！根據(jù)朱達偌夫斯基的估計，我們最多算1077位。雖然，現(xiàn)在我們離這一極限還相差很遠很遠，但這畢竟是一個界限。為了不受這一界限的約束，就需要從計算理論上有新的突破。前面我們所提到的計算，不管用什么公式都必須從頭算起，一旦前面的某一位出錯，后面的數(shù)值完全沒有意義。還記得令人遺憾的謝克斯嗎？他就是歷史上最慘痛的教訓。

4、于是，有人想能否計算時不從頭開始，而是從半截開始呢？這一根本性的想法就是尋找并行算法公式。1996年，圓周率的并行算法公式終于找到，但這是一個16進位的公式，這樣很容易得出的1000億位的數(shù)值，只不過是16進位的。是否有10進位的并行計算公式，仍是未來數(shù)學的一大難題。

5、作為一個無窮數(shù)列，數(shù)學家感興趣的把π展開到上億位，能夠提供充足的數(shù)據(jù)來驗證人們所提出的某些理論問題，可以發(fā)現(xiàn)許多迷人的性質。如，在π的十進展開中，10個數(shù)字，哪些比較稀，哪些比較密？π的數(shù)字展開中某些數(shù)字出現(xiàn)的頻率會比另一些高嗎？或許它們并非完全隨意？這樣的想法并非是無聊之舉。只有那些思想敏銳的人才會問這種貌似簡單，許多人司空見慣但卻不屑發(fā)問的問題。

6、數(shù)學家弗格森最早有過這種猜想：在π的數(shù)值式中各數(shù)碼出現(xiàn)的概率相同。正是他的這個猜想為發(fā)現(xiàn)和糾正向克斯計算π值的錯誤立下了汗馬功勞。然而，猜想并不等于現(xiàn)實。弗格森想驗證它，卻無能為力。后人也想驗證它，也是苦于已知的π值的位數(shù)太少。甚至當位數(shù)太少時，人