拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題

拋物線性質(zhì)高考題型〔1〕拋物線——二次曲線的和諧線【例1】P為拋物線上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，那么以PF為直徑的圓與y軸〔〕相交相切相離位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線是.作PH⊥于H，交y軸于Q，那么，且.作MN⊥y軸于N那么MN是梯形PQOF的中位線，.故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.〔2〕焦點(diǎn)弦——常考常新的亮點(diǎn)弦〔3〕切線——拋物線與函數(shù)有緣例如：1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，那么此動(dòng)圓必過定點(diǎn)〔〕顯然.此題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線的通徑長為2p；3.設(shè)拋物線過焦點(diǎn)的弦兩端分別為，那么：【例4】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點(diǎn)【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為，那么：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C，那么.這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn).〔1〕解析法——為對稱問題【例5】〕拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A、B，那么|AB|等于〔〕A.3B.4C.3D.4【解析】∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=0對稱，∴設(shè)直線AB的方程為：.由設(shè)方程〔1〕之兩根為x1，x2，那么.設(shè)AB的中點(diǎn)為M〔x0，y0〕，那么.代入x+y=0：y0=.故有.從而.直線AB的方程為：.方程〔1〕成為：.解得：，從而，故得：A〔-2，-1〕，B〔1，2〕.，選C.〔2〕幾何法——為解析法添彩揚(yáng)威【例6】〔07.全國1卷.11題〕拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的局部相交于點(diǎn)，，垂足為，那么的面積〔〕A． B． C． D．【解析】如圖直線AF的斜率為時(shí)∠AFX=60°.△AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線交x軸于M，那么且∠KFM=60°，∴.選C.〔3〕定義法——追本求真的簡單一著【例7】〔07.湖北卷.7題〕雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，那么等于〔〕A． B． C． D．如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c，離心率為e，作，令.∵點(diǎn)M在拋物線上，，這就是說：的實(shí)質(zhì)是離心率e.其次，與離心率e有什么關(guān)系？注意到：.這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴選A..〔4〕三角法——本身也是一種解析【例8】〕如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)?！并瘛城髵佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。【解析】〔Ⅰ〕焦點(diǎn)F〔2，0〕，準(zhǔn)線.〔Ⅱ〕直線AB：代入〔1〕，整理得：設(shè)方程〔2〕之二根為y1，y2，那么.設(shè)AB中點(diǎn)為AB的垂直平分線方程是：.令y=0，那么故于是|FP|-|FP|cos2a=，故為定值.〔5〕消去法——合理減負(fù)的常用方法.【例9】是否存在同時(shí)滿足以下兩條件的直線：〔1〕與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B；〔2〕線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分.假設(shè)不存在，說明理由，假設(shè)存在，求出直線的方程.【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點(diǎn)∵線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分，且.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點(diǎn)為.故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為：例2過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)R是含拋物線頂點(diǎn)O的弧AB上一點(diǎn)，求△RAB的最大面積．分析：求RAB的最大面積，因過焦點(diǎn)且斜率為1的弦長為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可．解：設(shè)AB所在的直線方程為．將其代入拋物線方程，消去x得當(dāng)過R的直線l平行于AB且與拋物線相切時(shí)，△RAB的面積有最大值．設(shè)直線l方程為．代入拋物線方程得由得，這時(shí)．它到AB的距離為∴△RAB的最大面積為．例5設(shè)過拋物線的頂點(diǎn)O的兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線頂點(diǎn)O在AB上射影N的軌跡方程．解法一：設(shè)那么：，，即，①把N點(diǎn)看作定點(diǎn)，那么AB所在的直線方程為：顯然代入化簡整理得：，②由①、②得：，化簡得用x、y分別表示得：例6如下圖，直線和相交于點(diǎn)M，⊥，點(diǎn)，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等，假設(shè)△AMN為銳角三角形，，，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．解：以為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系．由題意，曲線段C是N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點(diǎn)．∴設(shè)曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標(biāo)令那么，∴由兩點(diǎn)間的距離公式，得方程組：解得或∵△AMN為銳角三角形，∴，那么，又B在曲線段C上，那么曲線段C的方程為例7如下圖，設(shè)拋物線與圓在x軸上方的交點(diǎn)為A、B，與圓在x由上方的交點(diǎn)為C、D，P為AB中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)．〔1〕求．〔2〕求△ABQ面積的最大值．解：〔1〕設(shè)由得：，由得，同類似，那么，〔2〕，∴當(dāng)時(shí)，取最大值．例8直線過原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)都在上，求直線和拋物線的方程．解法一：設(shè)拋物線的方程為，直線的方程為，那么有點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為、，那么有解得解得如圖，、在拋物線上∴兩式相除，消去，整理，得，故，由，，得．把代入，得．∴直線的方程為，拋物線的方程為．解法二：設(shè)點(diǎn)、關(guān)于的對稱點(diǎn)為、，又設(shè)，依題意，有，．故，．由，知．∴，．又，，故為第一象限的角．∴、．將、的坐標(biāo)代入拋物線方程，得∴，即從而，，∴，得拋物線的方程為．又直線平分，得的傾斜角為．∴．∴直線的方程為．例9如圖，正方形的邊在直線上，、兩點(diǎn)在拋物線上，求正方形的面積．解：∵直線，，∴設(shè)的方程為，且、．由方程組，消去，得，于是，，∴(其中)∴．由，為正方形，，∴可視為平行直線與間的距離，那么有，于是得．兩邊平方后，整理得，，∴或．當(dāng)時(shí)，正方形的面積．當(dāng)時(shí)，正方形的面積．∴正方形的面積為18或50．例11如圖，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，