3.3二項(xiàng)式定理與楊輝三角課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

課時(shí)7二項(xiàng)式定理和楊輝三角新授課1.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，會進(jìn)行應(yīng)用.2.了解楊輝三角，并結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)加以說明.3.掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.目標(biāo)一：掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，會進(jìn)行應(yīng)用任務(wù)：完成下列問題，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)問題1：在二項(xiàng)式定理(1)令a=b=1；(2)令a=1,b=-1.寫出所得等式，你能得到什么結(jié)論？解：(1)二項(xiàng)式定理中中，如果令a=b=1，則有(2)令a=1，b=-1，則有得二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：(1)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n.即(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，且都等于2n-1.即歸納總結(jié)例1

已知(x2-1)n的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，求：(1)n的值；(2)展開式中含有x6的項(xiàng)和該項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù).解：(1)依題意可知2n=1024，因此n=10.(2)展開式的通項(xiàng)為要使此項(xiàng)含有x6，必須有20–2k=6，從而k=7，因此含有x6的項(xiàng)為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是120.已知(ax＋1)n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則n等于()A.5

B.6

C.7

D.8練一練解析：∵(ax＋1)n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，∴解得n=5.故選A.A目標(biāo)二：了解楊輝三角，并能結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)加以說明.任務(wù)：觀察楊輝三角，總結(jié)其規(guī)律.當(dāng)n依次取0,1,2,3，…時(shí)，(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)如右圖所示：這一數(shù)表在我國稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”.西方文獻(xiàn)中，一般稱其為“帕斯卡三角”.問題1：觀察楊輝三角中的數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)它們有哪些規(guī)律嗎？試用組合數(shù)知識加以說明.說明：由組合數(shù)性質(zhì)可知，

,所以每一行的數(shù)都是對稱的，兩端的數(shù)分別是

.(1)每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)都是1；(2)從第三行起，不在兩端的任意一個(gè)數(shù)，都等于上一行中與這個(gè)數(shù)相鄰的兩數(shù)之和．說明：由組合數(shù)性質(zhì)可知

楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：問題2：還可以發(fā)現(xiàn)，對于給定n，其二項(xiàng)式系數(shù)滿足中間大、兩邊小的特點(diǎn).這一結(jié)論是否具有普遍性呢？試證明.假設(shè)

，則

，所以利用二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性可知，二項(xiàng)式系數(shù)是先逐漸變大，再逐漸變小的.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.化簡可得

，從而有

.例2

已知

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128．(1)求n的值；(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．解：(1)由已知可得2n=128，解得n=7；(2)因?yàn)閚=7，所以展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為：歸納總結(jié)求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的方法：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)，即

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

最大.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)，即

項(xiàng)，第

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

相等且最大.已知

的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和等于1024，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).練一練解：展開式的所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和等于故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)，即目標(biāo)三：掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

任務(wù)：請嘗試完成下列問題，并歸納解決此類題的方法.例3

求證：9998-1能被100整除.證明：因?yàn)?998-1=(100-1)98-1，由二項(xiàng)式定理可知上述右邊的展開式中，前面98項(xiàng)都是100的倍數(shù)，最后一項(xiàng)為1，由此可知，9998-1能被100整除.歸納總結(jié)

利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的基本做法：

進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式，應(yīng)注意：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.

因此，一般要將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開，此時(shí)常采用配湊法、消去法等.

注意：(1)用二項(xiàng)式定理處理整除問題時(shí)，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開；(2)要注意余數(shù)的范圍，a=c·r+b，r是除數(shù)，b為余數(shù)，b∈[0，r)，利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)化.因?yàn)閤>0，所以上式右邊的項(xiàng)都是正數(shù)，從而可知例4當(dāng)n是正整數(shù)且x>0時(shí)，求證：(1+x)n≥1+nx.證明：由二項(xiàng)式定理可知練一練1.用二項(xiàng)式定理證明10110-1能被10整除.證明：因?yàn)?0110-1=(100+1)10-1，由二項(xiàng)式定理可知.在右邊的展開式中，前面10項(xiàng)都是10的倍數(shù)，最后一項(xiàng)為1,此可知10110-1能被10整除.2.假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.2%，那么6年后該地區(qū)的人口大約為多少？解：由題意得6年后人