人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊27.2《相似三角形的判定》知識(shí)講解（提高）（含答案）

/相似三角形的判定--知識(shí)講解〔提高〕【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解相似三角形的概念,掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用,提高運(yùn)用“類比〞思想的自覺性,提高推理能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形在和中,如果我們就說與相似,記作∽.k就是它們的相似比,“∽〞讀作“相似于〞.要點(diǎn)詮釋：

(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí),要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致,即∽,那么說明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比,要注意順序和對(duì)應(yīng)的問題,如果兩個(gè)三角形相似,那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí),兩個(gè)三角形全等.要點(diǎn)二、相似三角形的判定定理1．判定方法〔一〕：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形和原三角形相似；2．判定方法〔二〕：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；3．判定方法〔三〕：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似,應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角,否那么,判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.4．判定方法〔四〕：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似,只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可,對(duì)于直角三角形而言,假設(shè)有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

要點(diǎn)三、相似三角形的常見圖形及其變換：【典型例題】類型一、相似三角形1.判斷對(duì)錯(cuò)：

(1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？

(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？

(3)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？【思路點(diǎn)撥】注意相似三角形判定定理的靈活運(yùn)用.【答案與解析】(1).不一定相似,反例：

直角三角形只確定一個(gè)直角,其他的兩對(duì)角可能相等,也可能不相等.

所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似,反例：

等腰三角形中只有兩邊相等,而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,兩底邊的比不一定等于對(duì)應(yīng)腰的比,所以等腰三角形不一定相似.(3)一定相似.

因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?各角都等于60度,所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.【總結(jié)升華】要說明兩個(gè)三角形相似,要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.要說明不相似,那么只要否認(rèn)其中的一個(gè)條件.舉一反三：【變式】以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕．

A．有一對(duì)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似B．全等的兩個(gè)三角形一定相似

C．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似

D．兩條鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形相似【答案】C.類型二、相似三角形的判定2.〔2019?湖州模擬〕如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn),,連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．〔1〕求證：△ABE∽△DEF；〔2〕假設(shè)正方形的邊長為4,求BG的長．【思路點(diǎn)撥】〔1〕利用正方形的性質(zhì),可得∠A=∠D,根據(jù)可得,根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似,可得△ABE∽△DEF；〔2〕根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得CG的長,即可求得BG的長．【答案與解析】〔1〕證明：∵ABCD為正方形,∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°,∵AE=ED,∵DF=DC,∴△ABE∽△DEF；〔2〕解：∵ABCD為正方形,∴ED∥BG,又∵DF=DC,正方形的邊長為4,∴ED=2,CG=6,∴BG=BC+CG=10．【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．舉一反三：

【變式】〔2019?大慶模擬〕如圖,△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,D為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)D的直線與BC交于點(diǎn)E,假設(shè)直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似,那么DE=．【答案】解：∵D為AB的中點(diǎn),∴BD=AB=,∵∠DBE=∠ABC,∴當(dāng)∠DBE=∠ACB時(shí),△BDE∽△BAC時(shí),如圖1,那么,即,解得DE=2；當(dāng)∠BDE=∠ACB時(shí),如圖2,DE交AC于F,∵∠DAF=∠CAB,∴△ADF∽△ACB,∴△BDE∽△BCA,∴,即,解得DE=,綜上所述,假設(shè)直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似,那么DE=2或．3.如圖,小正方形邊長均為1,那么圖中的三角形〔陰影局部〕與相似的是哪一個(gè)？

圖〔1〕圖〔2〕圖〔3〕圖〔4〕

【答案與解析】圖中的三角形為格點(diǎn)三角形,可根據(jù)勾股定理求出各邊的長,然后根據(jù)三角形三邊的長度的比是否相等來判斷哪兩個(gè)三角形相似．

由勾股定理知,,．

圖〔1〕中,三角形的三邊長分別為1,,．

圖〔2〕中,三角形的三邊長分別為1,,．

圖〔3〕中,三角形的三邊長分別為,,3．

圖〔4〕中,三角形的三邊長分別為2,,．

由于,故圖〔2〕中的三角形和相似．【總結(jié)升華】判斷三邊是否成比例,應(yīng)先將三邊按大小順序排列,然后分別計(jì)算它們對(duì)應(yīng)邊的比,最后由比值是否相等來確定兩個(gè)三角形是否相似．4.：如圖,,,,當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí),這兩個(gè)三角形相似？【答案與解析】由于兩個(gè)三角形是直角三角形,所以只要有夾直角兩邊的比相等,就有兩個(gè)三角形相似．

,∴〔1〕當(dāng)時(shí),∽．

此時(shí),,即,．

即當(dāng)時(shí),∽．

〔2〕當(dāng)時(shí),∽．

此時(shí),,即,．

即當(dāng)時(shí),∽．

綜上所述,當(dāng)或時(shí),這兩個(gè)三角形相似．

【總結(jié)升華】此題仍是考慮兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等時(shí),夾這兩個(gè)角兩邊的比相等時(shí)有兩種情況．舉一反三：

【變式】如圖,正方形ABCD和等腰Rt,其中,G是CD與EF的交點(diǎn)．

〔1〕求證：≌．

〔2〕假設(shè),,,求的值．

【答案】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形,

,．

是等腰直角三角形,,

,,≌．

〔2〕解：在中,,