高等流體力學(xué)第一章

高等流體力學(xué)主講人：孫寶江中國(guó)石油大學(xué)〔華東〕2/18/20241工程流體力學(xué)從實(shí)用角度，對(duì)工程中涉及的問(wèn)題建立相應(yīng)的理論根底，并進(jìn)行計(jì)算。靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)引言以理想流體為主2/18/20242高等流體力學(xué)以理論分析為主，討論實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)以實(shí)際流體為主2/18/20243主要內(nèi)容：第一章場(chǎng)論與張量分析初步第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第三章流體力學(xué)根本方程組第四章粘性流動(dòng)根底第五章Navier-Stokes方程的解第六章邊界層理論第七章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)第八章湍流理論2/18/20244第一章場(chǎng)論與張量分析初步第一節(jié)

場(chǎng)論簡(jiǎn)述第二節(jié)

張量初步2/18/20245第一節(jié)

場(chǎng)論簡(jiǎn)述

根本概念場(chǎng)的幾何表示標(biāo)量場(chǎng)的梯度向量的散度向量的旋度哈密頓算子▽和場(chǎng)論的根本運(yùn)算公式2/18/20246一

根本概念場(chǎng)〔field〕：設(shè)在空間中的某一區(qū)域內(nèi)定義標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)，那么稱定義在此空間區(qū)域內(nèi)的函數(shù)為場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)〔scalarfield〕：向量場(chǎng)〔vectorfield〕：均勻場(chǎng)〔homogeneousfield〕：非均勻場(chǎng)〔non-homogenousfield〕：定常流場(chǎng)〔steadyfield〕：非定常流場(chǎng)(unsteadyfield)：2/18/20247二、場(chǎng)的幾何表示1、scalarfield：用等值線〔面〕表示令：2、

vectorfield：大?。簶?biāo)量，可以用上述等線面的概念來(lái)幾何表示。方向：采用矢量線來(lái)幾何地表示。矢量線：線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的矢量方向重合。變化快等值線〔面〕2/18/20248矢量線方程：設(shè)是矢量線的切向元素，那么據(jù)矢量線的定義有直角坐標(biāo)：

那么〔1〕式變成：所以有：〔向量線方程〕向量管：在場(chǎng)內(nèi)取任一非向量的封閉曲線C，通過(guò)C上每一點(diǎn)作矢〔向〕量線，那么這些矢量曲線的區(qū)域?yàn)橄蛄抗堋?向量管〔1〕2/18/20249

三、標(biāo)量場(chǎng)的梯度

1、定義：，

其中：為單位法向量。表征大小為，方向?yàn)榈氖噶繛闃?biāo)量函數(shù)的梯度。

2、意義：它描述了M點(diǎn)鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，是標(biāo)量場(chǎng)不均勻的量度。

2/18/202410梯度意義的證明：如圖，設(shè)方向單位向量那么而函數(shù)沿方向的變化為：

＝另：與同向時(shí)，最大MM1M'流場(chǎng)中兩相鄰等勢(shì)線2/18/2024113、梯度的性質(zhì)a〕滿足關(guān)系式： 證明：

=

2/18/202412b)假設(shè)任給一封閉曲線L，，且是矢徑的單值函數(shù)，那么：

證明：2/18/202413四、向量的散度(divergence)1、預(yù)備知識(shí)a.向量通過(guò)曲面的通量〔flux〕：

b.Gauss定理：假設(shè)，，在有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么：2/18/2024142、散度的定義于是Gauss定理可以寫(xiě)作：2/18/202415例1：任一不可壓流場(chǎng)，，在流場(chǎng)中一點(diǎn)M取微元體，那么密速〔密度速度〕變化量

點(diǎn)源：·Source點(diǎn)匯：·Sink例2：令有2/18/202416五、向量的旋度〔rotation〕

1、預(yù)備知識(shí)

a.向量的環(huán)量〔Circulation〕b.Stokes定理：

(L圍成S，S單連通〕LS

XZY2/18/202417

2、旋度的定義 =

于是Stokes定理可以寫(xiě)成：2/18/202418

例題3：

2/18/2024193、

無(wú)旋場(chǎng)〔irrotationalfield〕a)

定義的矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)b)

性質(zhì):無(wú)旋場(chǎng)就是位勢(shì)場(chǎng)，即

證明：設(shè)

即〔無(wú)旋，存在勢(shì)〕2/18/202420六、哈密頓算子▽和場(chǎng)論的根本運(yùn)算公式1、哈密頓算子的定義：它具有矢量和對(duì)它右邊的量微分的雙重性因此：

2/18/2024212、根本運(yùn)算公式：

1)

2)

2/18/2024223〕證明：令，

2/18/2024234〕證明：

注：

5〕2/18/202424

6〕證明：根據(jù)柯青法那么

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運(yùn)算法那么：當(dāng)除了一個(gè)矢量之外，其他的矢量都是常數(shù)時(shí)，應(yīng)該這樣來(lái)變換表達(dá)式，以使得所有常矢量都位于算子之前，而變量那么位于它之后。2/18/2024257〕證明：

XZY順變?yōu)檎孀優(yōu)樨?fù)2/18/2024268〕9〕10〕2/18/2024273、哈密頓算子對(duì)積分的應(yīng)用：

由Gauss定理有：

2/18/202428第二節(jié)

張量初步張量的定義張量的表示法幾種特殊的二階張量張量的運(yùn)算2/18/202429一、張量的定義1、指標(biāo)和符號(hào)1.1自由指標(biāo)如矢量，其分量可表示為，；那么稱為自由指標(biāo)。1.2約定求和法那么和啞指標(biāo)約定在同一項(xiàng)中，如有兩個(gè)指標(biāo)相同，就表示對(duì)該指標(biāo)從1到3求和。這個(gè)約定稱為愛(ài)因斯坦求和約定。這重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)。如：2/18/2024301、指標(biāo)和符號(hào)1.3克羅內(nèi)克爾符號(hào)定義：于是：,因此，具有替換下標(biāo)的作用。例:例：為什么2/18/2024311.4置換符號(hào)〔〕

〔注：偶排列123，231，312〕例題1：2/18/202432因?yàn)?/18/202433例題2：例題3：2/18/2024341.5恒等式

證明：令2/18/202435２、張量的定義

張量是由一組分量所構(gòu)成的集合，這組分量在坐標(biāo)改變時(shí)應(yīng)滿足一定的坐標(biāo)變換關(guān)系，以保證該張量本身所描述的一個(gè)完整的幾何對(duì)象或物理量對(duì)象不隨坐標(biāo)的變換而變化。x1X’3X’2X’1x3x2笛卡爾坐標(biāo)2/18/202436２、張量的定義

,分別是新舊坐標(biāo)系的單位基矢量

為新舊坐標(biāo)之間不同坐標(biāo)軸夾角的方向余弦x1X’3X’2X’1x3x2笛卡爾坐標(biāo)2/18/2024372.1對(duì)于流場(chǎng)中P點(diǎn)，標(biāo)量在新舊坐標(biāo)，中，量值不變。2.2對(duì)于流場(chǎng)中的矢量，新舊關(guān)系：基矢：

(1)在新舊坐標(biāo)系中表示為：(2)

于是：

其中是新舊坐標(biāo)中不同坐標(biāo)軸夾角的余弦。

〔3〕新舊2/18/202438〔3〕式給出了矢量的另一種定義：即對(duì)每一個(gè)直角坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)，有三個(gè)量，它根據(jù)〔3〕式變換到另一個(gè)坐標(biāo)系中的三個(gè)量中去，那么此三個(gè)量定義一新的量，稱為矢量。假設(shè)將矢量以坐標(biāo)變換的根底定義〔3〕加以推廣，可得張量的定義。2/18/2024392.3流場(chǎng)中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)它有9個(gè)分量來(lái)表示舊坐標(biāo)中基應(yīng)力矢量：〔4〕新坐標(biāo)系中，基應(yīng)力矢量〔5〕把〔4〕代入〔5〕有：〔6〕于是〔7〕而〔8〕i,k新坐標(biāo)系j,l舊坐標(biāo)系j,jl,lij2/18/202440上述矢量和應(yīng)力狀態(tài)，它們?cè)谛屡f坐標(biāo)系中分量的關(guān)系具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，稱這類(lèi)量為張量，一般定義如下：由〔7〕，〔8〕,可得〔9〕凡符合〔9〕可變換規(guī)律的物理量稱為二階張量。另：假設(shè)在一直角坐標(biāo)系內(nèi)給定了3n個(gè)數(shù)，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，所得新的數(shù)那么稱此3n個(gè)數(shù)為一個(gè)n階張量。由此，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，應(yīng)力是二階張量。2/18/202441

二、張量的表示法一階：二階：或：

一階張量二階張量或2/18/202442三、幾種特殊的二階張量1．零張量：在任意直角坐標(biāo)系中各分量皆為零的量，以0表示2．單位張量：3．共軛張量：；4．對(duì)稱張量：；5．反對(duì)稱張量：；

2/18/2024436、并矢證明：為二階張量〔1〕〔2〕要證是二階張量只需證明〔3〕