畫法幾何投影變換課件

第九講投影變換

§5-1概述

§5-2換面法基本要求

§5-3旋轉(zhuǎn)法1可編輯課件PPT基本要求

（1）掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。（2）掌握用換面法求線段實(shí)長(zhǎng)、平面圖形實(shí)形及其對(duì)投影面的傾角基本作圖方法。（3）掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。（4）了解用旋轉(zhuǎn)法的基本原理及用旋轉(zhuǎn)法求線段實(shí)長(zhǎng)的作圖方法。2可編輯課件PPT§5-1概述

當(dāng)直線或平面對(duì)于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時(shí)，它們的投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)、平面的實(shí)形及其對(duì)投影面的傾角，當(dāng)它們處于垂直位置時(shí)，至少有一個(gè)投影具有積聚性。當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時(shí)，則它們的投影就不具備上述的特性。投影變換就是將直線或平面由一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，從而簡(jiǎn)便地解決一些定位、度量問題。將直線或平面從一般位置變換為與投影面平行或垂直的位置，一般有三種途徑，即：幾何元素不動(dòng)，變換投影面稱換面法；投影面不動(dòng)，變換幾何元素稱旋轉(zhuǎn)法；幾何元素和投影面都不動(dòng)，變換投影方向稱換向法；3可編輯課件PPTa

abb

ba

ab

c

cdd

a

abb

c

ca

abb

兩點(diǎn)之間距離a

abb

c

c三角形實(shí)形一般位置與特殊位置時(shí)求解一些量度、定位問題方法對(duì)比

a

abb

c

cdd

a

bb

c

cdd

直線與平面的交點(diǎn)a

b

c

d

abc(d)

兩平面夾角θa4可編輯課件PPT§5-2換面法

換面法就是保持空間幾何元素不動(dòng)，用新的投影面替換舊的投影面，使新投影面對(duì)于空間幾何元素處于有利于解題的位置。一、換面法的基本概念二、新投影面的選擇原則三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律四、六個(gè)基本問題5可編輯課件PPTVAHCBc

b

Xa

abc一、換面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1換面法—空間幾何元素的位置保持不動(dòng)，用新的投影面來代替舊的投影面，使其對(duì)新投影面的相對(duì)位置變成有利于解題的位置，作出在新投影面上的投影并解決有關(guān)問題。V/H體系變?yōu)閂1/H體系c1

b1

a1

(b)cab

a

c

X新投影面V1⊥H新軸舊投影面舊軸保留的不變投影面6可編輯課件PPT

新投影面的選擇必須符合以下兩個(gè)基本條件：1、新投影面必須使空間幾何元素處于有利解題的位置。2、新投影面必須垂直于保留投影面。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

二、新投影面的選擇原則7可編輯課件PPT三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律1、點(diǎn)的一次變換2、點(diǎn)的投影變換規(guī)律3、點(diǎn)的兩次變換8可編輯課件PPTa1

a

XVHaVHXX1HV1V1a1′X1V1a1

a

Aa2點(diǎn)的投影變換規(guī)律1、點(diǎn)的新投影和保留投影的連線，必垂直于新投影軸。2、點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離，等于點(diǎn)本次被換掉的舊投影到本次被換掉的舊投影軸的距離。1點(diǎn)的一次變換9可編輯課件PPT

點(diǎn)在V/H1體系中的投影X1H1Va1VHXa

Aaa1H1H1X1a1X1XVHa

a

a′a1⊥X1a1x1﹦axx1x10可編輯課件PPTVXHa2a

aa1

XVHX1HV13點(diǎn)的兩次變換V1X1X2H2V1H2X2a2a1

a

Aa11可編輯課件PPT四、六個(gè)基本問題1、把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€

例題12、把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€3、把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€

思考題1

思考題2

例題24、把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?/p>

例題3

例題45、把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?、把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?/p>

例題512可編輯課件PPTVHXAaBb

abV1X11、把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€

a1

b1

a1

b1

X1V1Hbab

a

XVHSC13可編輯課件PPT例題1求直線ΑΒ的實(shí)長(zhǎng)及傾角β。

b

a

baXHVX1H1Va1b1

SC14可編輯課件PPTVHXa

Aab

BbH1X1X1H1Va1b1XVHa

aa12、把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€b

bSCAB（b1）a1H1(b1)15可編輯課件PPT3把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€（投影作圖）X2H2V1a

aXVHb

ba2（b2）X1HV1a1

b1

16可編輯課件PPTa

aXb

bcc

思考題1如何求點(diǎn)C到直線AB的距離？X2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

提示VH把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€17可編輯課件PPTa

aXb

bcdc

d

思考題2如何求兩直線AB與CD間的距離？X2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

V提示H18可編輯課件PPTX2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1

a1

d1

c1

11

21

21b

abdca

XVHd

c

2

1

1222例題2求兩直線AB與CD公垂線的投影及其最短距離。

H2SC19可編輯課件PPTa

c

XVHb

bacVHXcba

b

CAc

Badd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1V

db1a1c1d14、把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?/p>

20可編輯課件PPTk1X1H1Vb1a1c1d1s1a

c

b

bacss'例題3求點(diǎn)S到平面ABC的距離。SCHVXdd

21可編輯課件PPTa

c

b

baceNk

e

Nd

dX1VH1b1a1c1d1k1ke1例題4已知E到平面ABC的距離為N，求E點(diǎn)的正面投影e

。22可編輯課件PPTVHc

b

XCABbcaa

bcab

a

c

XHVa1

c1

b1

X1X1V1Hsxb1

a1

c1

V1V1c1

b1

a1

5、把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?3可編輯課件PPTa

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H16、把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?/p>

SX24可編輯課件PPT例題5已知點(diǎn)E在△ABC上，距離A、B為15，求E點(diǎn)的投影。a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H11515ee

e1e2

sx25可編輯課件PPT換面法小結(jié)一般位置直線投影面平行線投影面垂直線新軸∥保留投影新軸⊥實(shí)長(zhǎng)投影求SC、α、β求α保留H投影求β保留V投影可利用積聚性一般位置平面換兩次，先新軸∥保留投影換成投影面平行線，再新軸⊥實(shí)長(zhǎng)投影換成投影面垂直線新軸⊥平面上的投影面平行線的實(shí)長(zhǎng)投影投影面垂直面投影面平行面新軸∥積聚投影可利用積聚性；求平面的α、β，求α作水平線求β作正平線求SC換兩次，先新軸⊥平面上的投影面平行線的實(shí)長(zhǎng)投影換成投影面垂直面，再新軸∥積聚投影換成投影面平行面26可編輯課件PPT§6-3旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)法就是投影面保持不動(dòng)，將空間幾何元素繞某一軸旋轉(zhuǎn)，使空間幾何元素對(duì)投影面處在有利于解題的相對(duì)位置。一、點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律二、直線的旋轉(zhuǎn)1、直線旋轉(zhuǎn)的投影規(guī)律2、直線旋轉(zhuǎn)的投影作圖27可編輯課件PPT2點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

若點(diǎn)繞某投影面的垂直軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)在該投影面上的投影作圓周運(yùn)動(dòng)，在另一投影面上的投影作平行于投影軸的直線運(yùn)動(dòng)。oo′一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律VHAa′oOo′點(diǎn)繞正垂軸旋轉(zhuǎn)軌跡圓平行于V面，其V投影反映實(shí)形Aa′Aa′aa′a′aa′afffa′a′28可編輯課件PPT二、直線的旋轉(zhuǎn)aa′b′b2、直線旋轉(zhuǎn)的投影規(guī)律b1θθa1a1′b1′o′ooo′1、直線的旋轉(zhuǎn)可用直線上兩點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)來決定。且必須遵循繞同一軸、按同一方向，旋轉(zhuǎn)同一角度的“三同原則”，以保證幾何元素相對(duì)位置不改變。

當(dāng)直線繞垂直于某一投影面的軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線在該投影面上的投影長(zhǎng)度不變.直線上各點(diǎn)的另一面投影則作平行于投影軸的直線運(yùn)動(dòng)。因此直線在進(jìn)行繞鉛垂線旋轉(zhuǎn)法投影變換時(shí)，其水平面投影長(zhǎng)度不變。同樣道理，直線繞正垂線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)法投影變換時(shí)，其正投影長(zhǎng)度不變。等長(zhǎng)29可編輯課件PPT三、平面的旋轉(zhuǎn)aa′b′b2、平面旋轉(zhuǎn)的投影變化規(guī)律b1θθa1a1′b1′cc′θc1′c1o′ooo′1、平面的旋轉(zhuǎn)由不在同一直線上的三點(diǎn)(或其它幾何要素組合)的旋轉(zhuǎn)來決定。必須遵循繞同一軸、按同一方向，旋轉(zhuǎn)同一角度的“三同原則”，以保證幾何元素相對(duì)位置不改變。

當(dāng)平面圖形繞垂直于某一投影面的軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，它在該投影面上的投影形狀和大小不變。平面上各點(diǎn)的另一面投影則作平行于投影軸的直線運(yùn)動(dòng)。因此，當(dāng)平面繞正垂線旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的正面投影形狀大小不變。當(dāng)平面繞鉛垂線旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的水平投影形狀大小不變。全等30可編輯課件PPTVHABa′b′b1′αaB1α

當(dāng)直線、平面繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，它們對(duì)該投影面的傾角不變，而對(duì)另一面投影的傾角則隨著旋轉(zhuǎn)而改變。

當(dāng)過直線的端點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)軸時(shí),解題更簡(jiǎn)便.31可編輯課件PPT把一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線a′b′abb1′OXb1bSCABa′b1′∥OX32可編輯課件PPTe′ea′b′c′bacb1c1a1e1a1′b1′e1′c1′α把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面

把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成正（鉛）垂面,實(shí)際上就是把平面內(nèi)的一條水（正）平線旋轉(zhuǎn)為正（水）平線。求法為：在平面中求一條水平線（BE）將BE旋轉(zhuǎn)成正垂線B1E1，求得一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度。以同樣大小的旋轉(zhuǎn)角度將A、C兩點(diǎn)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求得正垂面A1B1C1(△ABC≌△A1B1C1)33可編輯課件PPT把投影面垂直面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面a′b′c′abcb1a1實(shí)形a1′b1′34可編輯課件PPT例題過M點(diǎn)作直線MN與直線AB正交，并求垂線實(shí)長(zhǎng)m′a′b′abmm1a1b1m1′a1′b1′n1′n1n′n第一次旋轉(zhuǎn)：將A繞鉛垂線旋轉(zhuǎn)成正平線，M同