2.4 線段、角的軸對稱性（1）蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊課件

2.4線段、角的軸對稱性回顧舊知線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？什么叫線段的垂直平分線？知識點1

線段的垂直平分線的性質(zhì)如圖2－17，直線l是線段AB

的垂直平分線，l交AB

于點O.把OA

沿直線l

翻折，因為∠1＝∠2＝90°，OA＝OB，所以

OA與OB重合.線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.思考如圖2－18，線段AB

的垂直平分線l

交AB

于點O，點P在上PA與PB

相等嗎?我們可以運(yùn)用圖形運(yùn)動的方法，利用線段的軸對稱性，證明PA＝PB.把△PAO沿直線l

翻折(如圖)，因為∠POA＝∠POB，所以O(shè)A

落在射線OB

上，因為OA

＝OB，所以點A與點B

重合.依據(jù)基本事實“兩點確定一條直線”，可知PA

與PB

重合，所以PA＝PB.于是，我們得到如下定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.如圖，∵點A

在線段BC

的垂直平分線上，∴AB＝AC.

幾何語言線段有兩條對稱軸，線段的垂直平分線是它的對稱軸，線段自身所在的直線也是它的對稱軸.易錯提醒特別解讀1.線段的垂直平分線的性質(zhì)中的“距離”是“該點與這條線段兩個端點的距離”.2.用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，因此它為證明線段相等提供了新方法.線段的垂直平分線外的點到這條線段兩端的距離相等嗎?為什么?討論如圖2－20，點P在線段AB

的垂直平分線l外，PA交l于點Q，連接QB.因為點Q在AB的垂直平分線上，所以QA＝QB，于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB

＞

PB.練1如圖，在△ABC

中，AB

的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE.若AE＝4，EC＝2，則BC的長是(

)A.2

B.4

C.6

D.8C方法點撥

利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化，是一種常用的解題方法.本題中解題的關(guān)鍵是利用線段垂直平分線的性質(zhì)將BC

的長轉(zhuǎn)化為線段AE＋EC的長，即可求解.解：∵直線DE

是AB的垂直平分線，∴BE＝AE.∴BC＝BE＋EC

＝AE＋EC

＝4＋2

＝6.練習(xí)1.利用網(wǎng)格畫線段PQ

的垂直平分線：l解：如圖所示.2.如圖，要在公路旁設(shè)一個公共汽車站，車站應(yīng)設(shè)在什

么地方，才能使A、B

兩村到車站的距離相等?解：如圖所示，連接AB，作線段AB

的垂直平分線l，直線l交公路于點C，則點C就是汽車站的位置，此時A，B兩村到車站的距離相等.知識點2

線段的垂直平分線的判定思考如果一個點在一條線段的垂直平分線上，那么這個點到這條線段兩端的距離相等.反過來，如果一個點到一條線段兩端的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上嗎?若點Q在線段AB

上，且QA

＝QB，則Q是線段AB

的中點，點Q在線段AB的垂直平分線上(如圖2－21(1)).若點Q在線段AB

外，且QA＝QB，則作QM⊥AB，垂足為M(如圖2－21(2)).

由∠QMA＝∠QMB＝90°，QA＝QB，QM＝QM，可證Rt△QAM≌Rt△QBM(HL).由此可知AM＝BM，即點Q在線段AB的垂直平分線上.于是，我們得到如下定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合.幾何語言如圖，∵

AB＝AC，∴點A

在線段BC

的垂直平分線上.按下列作法，用直尺和圓規(guī)作線段

AB的垂直平分線：操作作法圖形交流在△ABC

中，用直尺和圓規(guī)分別作AB、AC的垂直平分線l1、l2，l1、l2

相交于點O，再作BC

的垂直平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)?BC的垂直平分線過點O.特別提醒

證明一個點在一條線段的垂直平分線上，還可以利用線段垂直平分線的定義進(jìn)行推理，思路有兩種：一是作垂直，證平分；二是取中點，證垂直.例1已知：如圖2－22，在三△ABC中，AB、AC

的垂直

平分線l1、l2相交于點O.求證：點O

在BC

的垂直平分線上.證明：連接OA、OB、OC.∵點O在AB

的垂直平分線l1

上，∴OA＝OB

(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等).同理OA＝OC.∴OB＝OC.∴點O在BC

的垂直平分線上(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上).練2如圖，AD

為∠BAC

的平分線，交BC

于點D，AE＝AF.請判斷線段AD所在的直線是否為線段EF

的垂直平分線，若是，請給予證明；若不是，請說明理由.教你一招

判斷線段垂直平分線的兩種方法：

一是定義法，二是判定定理.

一般習(xí)慣用定義法進(jìn)行判斷，而利用判定定理判斷更簡單.用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時，一定要證明直線上有兩個不同的點到線段兩個端點的距離相等.解：線段AD

所在的直線是線段EF

的垂直平分線.證明如下：連接DE、DF.∵AD

為∠BAC的平分線，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD

中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△

AED≌△AFD.∴DE＝DF.∴點D

在線段EF

的垂直平分線上.∵AE＝AF，∴點A在線段EF的垂直平分線上.∴線段AD

所在的直線是線段EF

的垂直平分線.切忌只證明一個點在直線上，就說過該點的直線是線段的