成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料

成人高考高數(shù)一復(fù)習(xí)資料第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限[復(fù)習(xí)考試要求]1.理解極限的概念〔對(duì)極限定義、、等形式的描述不作要求〕。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四那么運(yùn)算法那么。3.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比擬〔高階、低階、同階和等價(jià)〕。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。[主要知識(shí)內(nèi)容]〔一〕數(shù)列的極限1.數(shù)列按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列，記作，其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)。為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如〔1〕1，3，5，…，，…〔2〕〔3〕〔4〕1，0，1，0，…，…都是數(shù)列。在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)。2.數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作否那么稱數(shù)列沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，假設(shè)數(shù)列以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)可以無(wú)限靠近點(diǎn)A。〔二〕數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1〔惟一性〕假設(shè)數(shù)列收斂，那么其極限值必定惟一。定理1.2〔有界性〕假設(shè)數(shù)列收斂，那么它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。定理1.3〔兩面夾定理〕假設(shè)數(shù)列，，滿足不等式且。定理1.4假設(shè)數(shù)列單調(diào)有界，那么它必有極限。下面我們給出數(shù)列極限的四那么運(yùn)算定理。定理1.5〔1〕〔2〕〔3〕當(dāng)時(shí)，〔三〕函數(shù)極限的概念1.當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限〔1〕當(dāng)時(shí)的極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作或〔當(dāng)時(shí)〕〔2〕當(dāng)時(shí)的左極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x從的左邊無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的左極限是A，記作或例如函數(shù)當(dāng)x從0的左邊無(wú)限地趨于0時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1.我們稱：當(dāng)時(shí)，的左極限是1，即有〔3〕當(dāng)時(shí)，的右極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x從的右邊無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的右極限是A，記作或又如函數(shù)當(dāng)x從0的右邊無(wú)限地趨于0時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。因此有這就是說(shuō)，對(duì)于函數(shù)當(dāng)時(shí)，的左極限是1，而右極限是-1，即但是對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的左極限是2，而右極限是2。顯然，函數(shù)的左極限、右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：定理1.6當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限等于A的必要充分條件是這就是說(shuō)：如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限等于A，那么必定有左、右極限都等于A。反之，如果左、右極限都等于A，那么必有。這個(gè)結(jié)論很容易直接由它們的定義得到。以上講的是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在的情況，對(duì)于某些函數(shù)的某些點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的極限也可能不存在。2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限〔1〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作或〔當(dāng)時(shí)〕〔2〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義根本上一樣，只不過(guò)在數(shù)列極限的定義中一定表示，且n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，那么要明確寫(xiě)出，且其中的x不一定是整數(shù)。如函數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于常數(shù)2，因此有〔3〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)時(shí)，的極限是A，記作又如函數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于常數(shù)2，因此我們說(shuō)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是2，即有由上述，，時(shí)，函數(shù)極限的定義，不難看出：時(shí)，的極限是A，這表示當(dāng)且僅當(dāng)以及時(shí)，函數(shù)有相同的極限A。但是對(duì)函數(shù)來(lái)講，因?yàn)橛?即雖然當(dāng)時(shí)，的極限存在，當(dāng)時(shí)，的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)時(shí)，的極限不存在。例如函數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于常數(shù)1：當(dāng)時(shí)，也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù)1，因此稱當(dāng)時(shí)的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示.〔四〕函數(shù)極限的定理定理1.7〔惟一性定理〕如果存在，那么極限值必定惟一。定理1.8〔兩面夾定理〕設(shè)函數(shù)，，在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)〔可除外〕滿足條件且有。注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四那么運(yùn)算定理定理1.9如果那么〔1〕〔2〕〔3〕當(dāng)時(shí)，上述運(yùn)算法那么不難推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，并有以下推論：推論〔1〕〔2〕〔3〕用極限的運(yùn)算法那么求極限時(shí)，必須注意：這些法那么要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零，另外，上述極限的運(yùn)算法那么對(duì)于的情形也都成立?！参濉碂o(wú)窮小量和無(wú)窮大量1、無(wú)窮小量〔簡(jiǎn)稱無(wú)窮小〕定義對(duì)于函數(shù)，如果自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)的極限為零，那么稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮小量，一般記作在微積分中常用希臘字母來(lái)表示無(wú)窮小量。這里說(shuō)的"自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中"是指當(dāng)或，或，或，或，或中的一個(gè)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們沒(méi)有專門再提出數(shù)列，而把它歸入函數(shù)之中，并且有時(shí)將數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量。定理1.10函數(shù)以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。注意：〔1〕無(wú)窮小量是變量它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)是變量無(wú)限趨于零的?！?〕一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，例如，。所以，當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量；而當(dāng)時(shí)，就不是無(wú)窮小量。因此稱為無(wú)窮小量時(shí)，必須指出自變量的變化趨勢(shì)。否那么是毫無(wú)意義的。〔3〕很小很小的數(shù)不是無(wú)窮小量，越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無(wú)窮小量?！?〕無(wú)窮小量不是一個(gè)數(shù)，但"0"是無(wú)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)椤?.無(wú)窮大量〔簡(jiǎn)稱無(wú)窮大〕定義如果當(dāng)自變量〔或〕時(shí)，的絕對(duì)值可以變得充分大〔也即無(wú)限地增大〕，那么稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作。2.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見(jiàn)以下的定理。定理1.11在同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大量，那么為無(wú)窮小量；反之，如果為無(wú)窮小量，且，那么為無(wú)窮大量。例如當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大量，而當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量。當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，而當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大量。3.無(wú)窮小量的根本性質(zhì)性質(zhì)1有限多個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)〔變量〕與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)3有限多個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。4.無(wú)窮小量的比擬定義設(shè)是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即〔1〕如果那么稱是比擬高階的無(wú)窮小量，記作；〔2〕如果那么稱是與同階的無(wú)窮小量；〔3〕如果那么稱與是等價(jià)無(wú)窮小量，記為～；〔4〕如果那么稱是比擬低價(jià)的無(wú)窮小量。記作例如：因?yàn)椋苑Q與x是等價(jià)無(wú)窮小量〔當(dāng)時(shí)〕。因?yàn)?，所以稱與x是同階無(wú)窮小量〔當(dāng)時(shí)〕。因?yàn)?，所以稱是比擬高階的無(wú)窮小量〔當(dāng)時(shí)〕。兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小量可以互相代換，且有以下性質(zhì)：如果當(dāng)〔〕時(shí)，均為無(wú)窮小量，又～，～，且存在，那么這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng)時(shí)，～x；～x；～x；～x；～x；～x；～；對(duì)這些等價(jià)無(wú)窮小量的代換，應(yīng)該更深一層的理解為：當(dāng)→0時(shí)其余類似。例如當(dāng)時(shí)，～，當(dāng)時(shí)，sin～。〔六〕兩個(gè)重要極限1.重要極限I屬三角函數(shù)的型的極限問(wèn)題該公式可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示2、重要極限Ⅱ?qū)傩偷膬缰感偷臉O限問(wèn)題其中e是個(gè)常數(shù)，叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為：e=2.718281828495045…其結(jié)構(gòu)式可表示為〔七〕求極限的方法1.利用極限的四那么運(yùn)算法那么求極限；2.利用兩個(gè)重要極限求極限；3.利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達(dá)法那么求未定式的極限；6.利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限。四那么運(yùn)算法那么：limf(x)=Alimg(x)=B①lim〔f〔x〕±g〔x〕〕=limf(x)±limg(x)=A±B②lim〔f〔x〕×g〔x〕〕=lim·f(x)×lim·g(x)=A·B③limK〔x〕=Klimf〔x〕=K·A④lim==〔B≠0〕⑤limf(x)=〔limf〔x〕〕n=An根本極限公式〔1〕limc=c〔2〕，〔3〕，〔4〕1.約分，求極限[答][答]02.當(dāng)時(shí)型的極限[答]3計(jì)算極限[答]0一般地，有計(jì)算極限[答]3.無(wú)窮小的性質(zhì)求極限等于A.0B.C.1D.2[答]A4.第Ⅰ個(gè)重要極限等于A.0B.C.1D.3[答]D等于A.0B.1C.D.[答]A假設(shè)存在，且，那么[答]15.第Ⅱ個(gè)重要極限求極限[答]等于〔〕A.B.eC.D.[答]D計(jì)算[答]e6.求極限的逆問(wèn)題〔1〕當(dāng)時(shí)，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)例1.假設(shè)，求a，b的值.[答]型未定式.a=3，b=-2?！?〕當(dāng)x→∞時(shí)，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)〔一〕27]假設(shè)，求a，b的值.[答]型a=-1，b=1.設(shè)，那么K=_____。[答]7.無(wú)窮小量當(dāng)x→0時(shí)，以下函數(shù)為無(wú)窮小的是〔〕A.B.C.D.2x-1[答]B當(dāng)x→0時(shí)，是x的〔〕A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小，但不等價(jià)D.等價(jià)無(wú)窮小[答]C當(dāng)x→0時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，那么必有a=_____。[答]第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性[復(fù)習(xí)考試要求]〔1〕理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)〔含分段函數(shù)〕在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法〔2〕會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)?！?〕掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單的命題。〔4〕理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限[主要知識(shí)內(nèi)容]〔一〕函數(shù)連續(xù)的概念1、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f〔x〕在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)也趨近于0，即或那么稱函數(shù)y=f〔x〕在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)y=f〔x〕在點(diǎn)連續(xù)也可作如下定義。定義2設(shè)函數(shù)y=f〔x〕在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f〔x〕的極限值存在，且等于處的函數(shù)值，即那么稱函數(shù)y=f〔x〕在點(diǎn)連續(xù)，此時(shí)有定義3設(shè)函數(shù)y=f〔x〕，如果，那么稱函數(shù)f〔x〕在點(diǎn)處左連續(xù)；如果，那么稱函數(shù)f〔x〕在點(diǎn)處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f〔x〕在點(diǎn)處連續(xù)，那么f〔x〕在點(diǎn)處左連續(xù)也右連續(xù)。2、函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)定義如果函數(shù)f〔x〕在區(qū)間[a，b]上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，那么稱f〔x〕在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并稱f〔x〕為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。這里，f〔x〕在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：即f〔x〕在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)。可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：如果函數(shù)f〔x〕在點(diǎn)處不連續(xù)那么稱點(diǎn)為f〔x〕一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果f〔x〕在點(diǎn)處有以下三種情況之一，那么點(diǎn)是f〔x〕一個(gè)間斷點(diǎn)。〔1〕在點(diǎn)處，f〔x〕沒(méi)有定義；〔2〕在點(diǎn)處，f〔x〕的極限不存在；〔3〕雖然在點(diǎn)處f〔x〕有定義，且存在，但?！捕澈瘮?shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法那么，可以得到以下連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理〔四那么運(yùn)算〕設(shè)函數(shù)f〔x〕，g〔x〕在處皆連續(xù)，那么在處連續(xù)在處連續(xù)假設(shè)，那么在處連續(xù)。定理〔復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性〕設(shè)函數(shù)u=g〔x〕在處連續(xù)，y=f〔u〕在處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g〔x〕]在處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g〔x〕，在處極限存在，又y=f〔u〕在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)。那么極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即定理〔反函數(shù)的連續(xù)性〕設(shè)函數(shù)y=f〔x〕在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加〔或嚴(yán)格單調(diào)減少〕，那么它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加〔或嚴(yán)格單調(diào)減少〕?！踩抽]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f〔x〕，有以下幾個(gè)根本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理〔有界性定理〕如果函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么f〔x〕必在[a，b]上有界。定理〔最大值和最小值定理〕如果函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m。定理〔介值定理〕如果函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，那么對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)c，在[a，b]上至少存在一個(gè)，使得推論如果函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f〔a〕與f〔b〕異號(hào)，那么在[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，〔四〕初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四那么運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于，根本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到以下重要結(jié)論。定理：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f〔x〕是初等函數(shù)，且是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，那么例1.點(diǎn)的連續(xù)性的逆問(wèn)題〔1〕設(shè)，當(dāng)x≠0時(shí)，F(xiàn)〔x〕=f〔x〕。假設(shè)F〔x〕在點(diǎn)x=0處連續(xù)，那么F〔0〕等于____。A.-1B.0C.1〔2〕設(shè)在x=0處連續(xù)，那么a=_____。[