高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案習(xí)題九

習(xí)題九

1.求下曲線在給定點的切線和法平面方程：

(1)x=6rsin2/,y=/)sin/cosZ^=ccos2/,^/=—;

4

(2?2+)2+22=6k產(chǎn)2=0,點%(1,-2,1)；

(3?2=2加工/2=加一蒼點Mo(xoM/o).

解：￡=2。sintcosf,y'=bcos2/,z!=-2ccos/sin/

曲線在點/=乙TT的切向量為

4

TTab

當(dāng)時,x=，y一，z=一

4222

切線方程為

ab

x-y-z—

2/22

0

法平面方程為

“I、-￡HT)+(-心-

22

ac

即QMax-cz-----1---=0.

22

(2)聯(lián)立方程組

x2+y2+z2=6

V

x+y+z=0

它確定了函數(shù)尸y(x),z=z(x),方程組兩邊對x求導(dǎo)，得

△也

2x+2y+2z—0

dx

1dy

14-—+=0

dr

dy_z-xdz_x-y

解得

dxy-z"dxy-z

在點M)(l，-2,1)處，蟲=0,—=-1

口風(fēng)小Ma

所以切向量為{1,0,-1}.

故切線方程為

x-1y+2z—1

丁—0一寸

法平面方程為

1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0

即x~z=0.

⑶將方程y2=2mx^2=m-x兩邊分別對x求導(dǎo)，得

4ydz

2y—=2"7,2z—=-1

drdx

dy_mdz_1

于是

dxy"dx2z

m1

1,—~~~?，故切線方程為

I比92z0J

x-x。二zz。

1m1

2z

y0o

法平面方程為

m1

(x-x0)+一-(z-z。)=0.

打2z°

2.t(0v7v2兀)為何值時，曲線￡：x=/-sinr,y=1-cos/,z=4sin在相應(yīng)點的切線垂直于平面

工+歹+任=0,并求相應(yīng)的切線和法平面方程。

解：x-l-cos/,y=sin/,z'=2cos；,

在/處切向量為T=11-cos/,sin/,2cos,

已知平面的法向量為n={1,1,V2).

ct

1,?,2cos—

口亍〃一缶l—cos/Sin/2

且T〃〃，故-------==—產(chǎn)工

11V2

解得/=],相應(yīng)點的坐標(biāo)為[]一1],2后).且不=卜』,、回}

故切線方程為

x~2+l_y~^_z~2y[2

法平面方程為

x-y+l+^-l+V2(z-2V2)=0

即x+y+0z-(4+])=().

3.證明:螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的切線與z軸形成定角。

證明：xf=-asint,yr=acQSt.z=b.

螺旋線的切向量為

T={-<2sin/,(7cos/,/)}.

與z軸同向的單位向量為

入{0,0,1}

兩向量的夾角余弦為

bb

cos3n=/=,=

^(-asin/)24-(6zcos/)2+b2y/a2+〃

為一定值。

故螺旋線的切線與z軸形成定角。

4.指出曲面z=盯上何處的法線垂直于平面廠2尹z=6,并求出該點的法線方程與切平面方

程。

解：z^=y,zv=x.

曲面法向量為々.

已知平面法向量為第={1,—2,1}.

且〃]〃〃)，故有』■=二二一1

121-2

解得x=2產(chǎn)-1,此時，z=-2.

即2)處曲面的法線垂直于平面，且在該點處的法線方程為

X—2y+1z+2

切平面方程為

-1(%-2)+2(y+1)-(z+2)=0

即x-2y+-z-2=0.

5.求下列曲面在給定點的切平面和法線方程：

⑴z=ft/,點％(1,2,5);

y.7t

(2)z=arctan—，點Mo(1,1,—);

x4

解：(1)zj=2x|,“=2,Z』=2引=4.

故曲面在點M)(l,2,5)的切平面方程為

z-5=2(x-l)+4(y-2).

即2/4yz=5.

法線方程為

x-1y-2z-5

4

5Z，22

⑵zj,“0-+2-21l?>o~x+y~2'

,叫)/，喝

TT

故曲面在點區(qū)(1,1,—)的切平面方程為

4

n11

422

法線方程為

兀

x-1_y-\_z4

22

6.證明：曲面型=J上任一點的切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體體積一定。

證明：設(shè)F(xy^)=xyz-a.

因為F^yz,Fy=xz,F^xy,

所以曲面在任一點M(xo)o/o)處的切平面方程為

yoz^x-Xaj+xoZoiy-yoj+xoy^z-z^O.

切平面在x軸，y軸，z軸上的截距分別為3xo,3%,3z0.因各坐標(biāo)軸相互垂直，所以切平面與

坐標(biāo)面圍成的四面體的體積為

V3

=\|K|-|3J；0|]-|3Z0|=1|27x0y0z0|=1x27a=|a.

它為一定值。

7.解：平面n與曲面2=/+/在(1,_2,5)的切平面的法向量為

n={2.,2%,-1}={25-4,-1}

從而平面FI的方程為：2x-4y-z-5=0

ijk

又/的方向向量為s=110--i+j+(a-

1-1

由〃?s=0求得a=-5

在I上取一點，不妨取x0=1求得y0=~（b+l）.z0=56+3

由于（X。,外,z0）在平面n上，代入平面方程中可求得6=—2.

8.求函數(shù)M=q，+z3-平在點（1,1,2）處沿方向角為a=3,〃=四,y=E■的方向?qū)?shù)。

343

解:受啜duadu

COSC^4--cosp+—cos/

(1,1,2)力(1,1,2)“Az(1,1,2)

=(/-U)cos.+(2xy-xz)|(112)cos^+(3?-xy)[}l2)cos.5.

9.求函數(shù)f，z在點(5,1,2)處沿從點Z(5,1,2)到8(9,4,14)的方向?qū)?shù)。

解：={4,3,12},I潤=13.

AB的方向余弦為

cosa=2，cos/7312

一,cosy=一

1313

du

(5,1,2)=尸|(5.1,2)=2

dx

du

(5,1,2)=XZ(5,1,2)=10

辦

du

(5,1,2)=孫|(5,1,2)-5

dz

故包=2」+10x』+5xU普

dl13131313

10.求函數(shù)Z=1-1=+abjX2

處沿曲線*+1在這點的內(nèi)法線方向的

\ct~b2

方向?qū)?shù)。

解：設(shè)X軸正向到橢圓內(nèi)法線方向/的轉(zhuǎn)角為夕，它是第三象限的角，因為

2x2y,,b2x

/+之=0，V

所以在點處切線斜率為

V扁尸丁"‘

法線斜率為cos.

b

十口，ba

于是tan(p=——/,sin69=——.

J/+/J4/

o.dz2dz2

?-=―一-一”",，

oxaoyG=b

.dz2a

?,百伍壹產(chǎn)一了初+b2).

11.研究下列函數(shù)的極值:

(1)z=x3+y3—3(X2+J>2);(2)z=elx(x+y+2y);

(3)z=(6x-x2)(4y-/);(4)z=(x2+y2)e-(-v+r);

(5)z=xy(。-x-y),。#0.

=3x2—6x-0

解：(1)解方程組

2

Zy-3y-6y-0

得駐點為(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).

Zxr=6x—6,zxy=0,Zyy=6y—6

在點(0,0)處，A=-6,8=0,C=~6,B2-AC=-36<0,且/<(),所以函數(shù)有極大值Z(0,0)=0.

在點(0,2)處，A=-6,8=0,C=6,B2-AC=36>0,所以(0,2)點不是極值點.

在點(2,0)處，4=6,8=0,C=-6,B2-AC=36>0,所以(2,0)點不是極值點.

在點(2,2)處，4=6,5=0,C=6,S2—4c=-36<0,且N>0,所以函數(shù)有極小值z(2,2尸-8.

2x

(2)解方程組1z”=e(2x+2/+4^+l)=0

=2e2p+1)=0

得駐點為一1).

z匯=4e2V(x+y2+2y+1)

2?=4/(y+1)

z-2e2v

yy

在點6'一1)處Z=2e‘8=℃=2e,82-/C=-4e2v0,又/>0,所以函數(shù)有極小值z(g,-l)=—

2

zx=(6-2x)(4y-y)=0

(3)解方程組〈

2

zy=(6x-x)(4-2y)=0

得駐點為(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Zs=-2(4y-y2),

Z,y=4(3—x)(2—y)

Zyy=—2(6X—X2)

在點(3,2)處，A=-8,8=0,c=-18,發(fā)一NC=-8X18<0,且N<0,所以函數(shù)有極大值

z(3,2)=36.

在點(0,0)處，A=0,8=24,C=0,B2-AC>0,所以(0,0)點不是極值點.

在點(0,4)處,4=點B=-24,C=0,B2-AOO,所以(0,4)不是極值點.

在點(6,0)處，4=0,B=~24,C=0,B2-AC>0,所以(6,0)不是極值點.

在點(6,4)處,A=0,8=24,C=0,B2-AOO,所以(6,4)不是極值點.

2立-*+戶(12與=0

(4)解方程組42/''

2ye'(x+r)(l-x2-/)=0

22

得駐點尸。(0,0),及尸(劭,泗)，其中x0+^=l,

在點Po處有z=0，而當(dāng)(x,y)W(0,0)時，恒有z>0,

故函數(shù)z在點尸。處取得極小值z=0.

再討論函數(shù)z="e"

由生=e-"(l—〃)，令史=0得"=1,

dwAu

當(dāng)心1時，—<0；當(dāng)時，—>0,

dwd"

由此可知，在滿足Xo2+y()2=l的點5皿)的鄰域內(nèi)，不論是￥+/>1或/力2<],均有

故函數(shù)z在點(XOM)取得極大值

zx-y(a-2x-y)-0

(5)解方程組<

zy=x(a-2y-x)=0

得駐點為8(0,0)出

故z的黑塞矩陣為

易知，(尸I)不定，故P|不是Z的極值點,

H(P2)當(dāng)KO時正定，故此時尸2是z的極小值點，且2(氣)吟,

H(P2)當(dāng)心0時負(fù)定，故此時P2是z的極大值點，且=

12.設(shè)Zx2+2y2+z2+8xz-z+8=0,確定函數(shù)z=z(x,y),研究其極值。

解：由已知方程分別對X”求導(dǎo)，解得

dz_-4x-8zdz_-4y

dx2z+8x-l'dy2z+8x—1

Azdzx

令廝=0⑤=0,解得、=0,z=”'

將它們代入原方程，解得X=-2,X=3.

7

從而得駐點(-2,0),與0).

匹3+")卜一喑卜(4x+8z)區(qū)+8)

dx2(2z+8x-l)2

dxdy(2z+8x+l)2

-4(2z+8x-l)-8—

oz_dy

鏟一~~(2z+8x-1)?.

44

在點(-2,0)處，Z=i,A=—,B=0,C=—.B2-AC<0,因此函數(shù)有極小值Z=1.

在點(3,o]處，Z^--,A^--,B^0,C^--,B2-AC<0,函數(shù)有極大值Z=—§.

I7J71051057

13.在平面上求一點，使它到尸0,產(chǎn)0及x+2廠16=0三直線距離的平方之和為最小。

解：設(shè)所求點為尸(x,y),P點到尸0的距離為即到尸0的距離為卜|,至U直線x+2廠16=0的距

離為

lx+2^-161_^+2^-16|

在，=忑.

距離的平方和為

Z=工2+j?+[(x+2y-16)2

—=2x+—(x+2j^-16)=0

dx5

Qz4

—=2y+_(x+2y-16)=0

dy5

得唯一駐點（1,9）,因?qū)嶋H問題存在最小值，故點（|,日）即為所求。

14.求旋轉(zhuǎn)拋物面Z=y+y2與平面x+y-z=l之間的最短距離。

解：設(shè)p（X）/）為拋物面上任一點.則點p到平面的距離的平方為勿=”+'—z—i），即

求其在條件2=￥^2下的最值。設(shè)尸（可/）（x+y-Z-l）2）

=+A（z_x2_y2

2(X+JTT).2人=0

3

2(x+y—z—1)

—2Ay=0

解方程組《3

-3+—F+…

3

22

z=x+y

1

得zn了=^=2=一

2

1

故所求最短距離為J）=多=也

736

15.拋物面Z=f+y2被平面用+2=1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。

解：設(shè)橢圓上的點為尸（X,JN）,則

|（9P|2=x2+y2+z2.

因尸點在拋物面及平面上，所以約束條件為

z=x2+y1,x+y+z=\

22i

設(shè)尸（x/2）=x^y^+z+2.i（z-x-y）+X2（x+y+z-1）

Fx=2x—24x+A,=0

Fy=2y-24y+4=0

解方程組《F.=2z+4+4—0

22

z=x+y

x+y+z=l

-1±6,Z-2+V3

得x=y

2

由題意知，距離|。。|有最大值和最小值，且

|0P|2=X2+/+Z2=2T.百）+（2干6）2=9+5>/3.

所以原點到橢圓的最長距離是J9+56,最短距離是J9-5』.

16.在第/卦限內(nèi)作橢球面

x2y2z2.

^W=1

的切平面,使切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體體枳最小，求切點坐標(biāo)。

x2V2z2

解：令E（x,y,z）=/+R+/-1

一F=—F=—F=—

,橢球面上任一點溫（Xo，”,Zo）的切平面方程為

守。-/）+爭8-%）+~^~（z~zo）=0.

c

zz

即nn至V+.鏟+,萬0一.=1.

2122

切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為T,—,J，因此切平面與三個坐標(biāo)面所圍的四面體

/y（）zo

的體積為

a2b2c2a2h2c2

6xoy（）ZQ^xoy（）zo

2b2c2x2V2一+[=1下的最小值，也即求平的最大值問題。

即求『=巴a2上在約束條件、+與

6xyzabC

=型+4+方+土11

設(shè)中(x,y,z)二

_2Ax.

^=yz+2=°，

xQ

_2Ax.

①y=XZ+MO,

解方程組'2

-2/tx八

①2=盯+,=0,

C

X2y2z2_

-r—r—~二1?

la2h2c2

abc

得'=忑'丫=忑*=忑.

故切點為白強(qiáng)君）

,此時最小體積為

展―—4c.

abc2

V3<3V3

*17.設(shè)空間有〃個點，坐標(biāo)為(Xj,%,Zj)(/.=l,2,…試在xQy面上找一點，使此點與這〃

個點的距離的平方和最小。

解：設(shè)所求點為P(x,y,O),則此點與〃個點的距離的平方和為

S=(X-X])2+('—必)2+zj+(工-工2)2+(y_y2)2+Z2、+???

+(xf)2+(y_y,)2+zj

2

=nx-2x(xI+z+…+5)+期2—2y(必+%+…+以)

22

+(X,+X2+…+xJ)+(必2+%