數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程(第二版)課后習(xí)題答案

./0.1算法1、〔p.11,題1用二分法求方程在[1,2]內(nèi)的近似根,要求誤差不超過10-3.[解]由二分法的誤差估計(jì)式,得到.兩端取自然對(duì)數(shù)得,因此取,即至少需二分9次.求解過程見下表.符號(hào)0121.5+1234567892、〔p.11,題2證明方程在區(qū)間[0,1]內(nèi)有唯一個(gè)實(shí)根；使用二分法求這一實(shí)根,要求誤差不超過.[解]由于,則在區(qū)間[0,1]上連續(xù),且,,即,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知,在區(qū)間[0,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn).又,即在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)的,故在區(qū)間[0,1]內(nèi)有唯一實(shí)根.由二分法的誤差估計(jì)式,得到.兩端取自然對(duì)數(shù)得,因此取,即至少需二分7次.求解過程見下表.符號(hào)0010.512345670.2誤差1．〔p.12,題8已知e=2.71828…,試問其近似值,,x2=2.71,各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對(duì)誤差限.[解]有效數(shù)字： 因?yàn)?所以有兩位有效數(shù)字； 因?yàn)?所以亦有兩位有效數(shù)字； 因?yàn)?所以有四位有效數(shù)字；；；.評(píng)〔1經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù),其所有數(shù)字均為有效數(shù)字；〔2近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字.2．〔p.12,題9設(shè),,均為經(jīng)過四舍五入得出的近似值,試指明它們的絕對(duì)誤差<限>與相對(duì)誤差<限>.[解],；,；,；評(píng)經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù),其絕對(duì)誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個(gè)單位.3．〔p.12,題10已知,,的絕對(duì)誤差限均為,問它們各有幾位有效數(shù)字？[解] 由絕對(duì)誤差限均為知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)后兩位算起,故,有三位；有一位；而,也是有一位.1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、〔p.54,習(xí)題1求作在節(jié)點(diǎn)的5次泰勒插值多項(xiàng)式,并計(jì)算和估計(jì)插值誤差,最后將有效數(shù)值與精確解進(jìn)行比較.[解]由,求得；；；；；,所以插值誤差：,若,則,而,精度到小數(shù)點(diǎn)后5位,故取,與精確值相比較,在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合！2、〔p.55,題12給定節(jié)點(diǎn),試分別對(duì)下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項(xiàng)：〔1；〔2[解]依題意,,拉格朗日余項(xiàng)公式為〔1→；〔2因?yàn)?所以3、〔p.55,題13依據(jù)下列數(shù)據(jù)表,試用線性插值和拋物線插值分別計(jì)算的近似值并估計(jì)誤差.0120.320.340.360.3145670.3334870.352274[解]依題意,,拉格朗日余項(xiàng)公式為線性插值因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)和之間,先估計(jì)誤差；須保留到小數(shù)點(diǎn)后4為,計(jì)算過程多余兩位.拋物線插值插值誤差：拋物線插值公式為：經(jīng)四舍五入后得：,與精確值相比較,在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合！1.3分段插值與樣條函數(shù)1、〔p.56,習(xí)題33設(shè)分段多項(xiàng)式是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù),試確定系數(shù)b,c的值.[解]依題意,要求S<x>在x=1節(jié)點(diǎn)函數(shù)值連續(xù)： ,即：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)： ,即： 解方程組〔1和〔2,得,即 由于,所以S<x>在x=1節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù).2、已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù),和,〔1求其分段線性插值函數(shù)；〔2計(jì)算的近似值,并根據(jù)余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差.[解]〔1依題意,將x分為[0,1]和[1,2]兩段,對(duì)應(yīng)的插值函數(shù)為,利用拉格朗日線性插值公式,求得；〔2,而 ,實(shí)際誤差為：.由,可知,則余項(xiàng)表達(dá)式1.4曲線擬合1、〔p.57,習(xí)題35用最小二乘法解下列超定方程組：[解] 構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：, 分別就Q對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù),并令其為零：： ,： , 解方程組〔1和〔2,得2、〔p.57,習(xí)題37用最小二乘法求形如的多項(xiàng)式,使之與下列數(shù)據(jù)相擬合.[解]令,則為線性擬合,根據(jù)公式<p.39,公式43>,取m=2,a1=0,N=5,求得； 依據(jù)上式中的求和項(xiàng),列出下表xiyiXi<=xi2>Xi2<=xi4>Xiyi<=xi2yi>191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8∑157271.453277277699369321.5 將所求得的系數(shù)代入方程組〔1和〔2,得；；即：.2.1機(jī)械求積和插值求積1、〔p.94,習(xí)題3確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明求積公式所具有的代數(shù)精度：；；.[解] 〔1令時(shí)等式精確成立,可列出如下方程組： 解得：,即：,可以驗(yàn)證,對(duì)公式亦成立,而對(duì)不成立,故公式〔1具有3次代數(shù)精度.〔2令時(shí)等式精確成立,可列出如下方程組：解得：,即：,可以驗(yàn)證,對(duì)公式亦成立,而對(duì)不成立,故公式〔2具有3次代數(shù)精度.〔3令時(shí)等式精確成立,可解得：即：,可以驗(yàn)證,對(duì)公式亦成立,而對(duì)不成立,故公式〔3具有2次代數(shù)精度.2、〔p.95,習(xí)題6給定求積節(jié)點(diǎn)試構(gòu)造計(jì)算積分的插值型求積公式,并指明該求積公式的代數(shù)精度.[解]依題意,先求插值求積系數(shù)：；；插值求積公式：=1\*GB3①當(dāng),左邊=；右邊=；左=右；=2\*GB3②當(dāng),左邊=；右邊=；左=右；=3\*GB3③當(dāng),左邊=；右邊=；左≠右； 故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度.2.2梯形公式和Simpson公式1、〔p.95,習(xí)題9設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表,x0.000.250.500.751.00f<x>1.000001.655341.551521.066660.72159分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分的近似值.[解] 〔1用復(fù)化梯形法： 〔2用復(fù)化辛普生法：2、〔p.95,習(xí)題10設(shè)用復(fù)化梯形法計(jì)算積分,為使截?cái)嗾`差不超過,問應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間[0,1]為多少等分？如果改用復(fù)化辛普生法呢？[解]〔1用復(fù)化梯形法,,設(shè)需劃分n等分,則其截?cái)嗾`差表達(dá)式為：；依題意,要求,即,可取.〔2用復(fù)化辛普生法,,截?cái)嗾`差表達(dá)式為：；依題意,要求,即,可取,劃分8等分.2.3數(shù)值微分1、〔p.96,習(xí)題24導(dǎo)出三點(diǎn)公式<51>、<52>和<53>的余項(xiàng)表達(dá)式[解]如果只求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值,利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項(xiàng)表達(dá)式為由三點(diǎn)公式<51>、<52>和<53>可知,,則2、〔p.96,習(xí)題25設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表,x1.01.11.2f<x>0.25000.22680.2066試用三點(diǎn)公式計(jì)算的值,并估計(jì)誤差.[解]已知,用三點(diǎn)公式計(jì)算微商：,用余項(xiàng)表達(dá)式計(jì)算誤差3、〔p.96,習(xí)題26設(shè),分別取步長(zhǎng),用中點(diǎn)公式〔52計(jì)算的值,令中間數(shù)據(jù)保留小數(shù)點(diǎn)后第6位.[解]中心差商公式：,截?cái)嗾`差：.可見步長(zhǎng)h越小,截?cái)嗾`差亦越小.<1>,則；<2>,則<3>,則而精確值,可見當(dāng)時(shí)得到的誤差最小.在時(shí)反而誤差增大的原因是與很接近,直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失.因此,從舍入誤差的角度看,步長(zhǎng)不宜太小.3.1Euler格式1、〔p.124,題1列出求解下列初值問題的歐拉格式,,??；,,??；[解] 〔1； 〔2.2、〔p.124,題2取,用歐拉方法求解初值問題,.[解]歐拉格式：；化簡(jiǎn)后,,計(jì)算結(jié)果見下表.n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.46133、〔p.124,題3取,用歐拉方法求解初值問題,.并與精確解比較計(jì)算結(jié)果.[解]歐拉格式：；化簡(jiǎn)后,,計(jì)算結(jié)果見下表.1、〔p.124,題7用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2,并比較計(jì)算結(jié)果.[解] 因?yàn)?,且,則改進(jìn)的歐拉公式：.計(jì)算結(jié)果見下表.n0123xn0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.413與原結(jié)果比較見下表n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn<改進(jìn)>0.880.69110.53560.4133.3龍格-庫(kù)塔方法1、〔p.124,題11用四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法求解初值問題,,試取步長(zhǎng)計(jì)算的近似值,要求小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字.[解] 四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法公式：；列表求得如下：nxnyn00.02.00010.22.300420.42.46544.1迭代法及收斂定理1、〔p.153,題1試取,用迭代公式,求方程的根,要求準(zhǔn)確到.[解] 迭代計(jì)算結(jié)果列于下表kxk|xk-xk-1|<0.001kxk|xk-xk-1|<0.00111.538460.53846N61.365930.00937N21.295020.24344N71.370090.00416N31.401820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109N因?yàn)?所以.2、〔p.153,題2證明方程有且僅有一實(shí)根.試確定這樣的區(qū)間,使迭代過程對(duì)均收斂.[證明]設(shè)：,則當(dāng)時(shí),,且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),,所以迭代過程對(duì)均收斂.〔壓縮映像定理,方程有且僅有一實(shí)根.<證畢>3、〔p.153,題4證明迭代過程對(duì)任意初值均收斂于.[證明]設(shè)：,對(duì)于任意,因?yàn)?所以.一階導(dǎo)數(shù),根據(jù)壓縮映像定理,迭代公式對(duì)任意初值均收斂.假設(shè),對(duì)迭代式兩邊取極限,則有,則,解得,因不在范圍內(nèi),須舍去.故.<證畢>4.2牛頓迭代法1、〔p.154,題17試用牛頓迭代法求下列方程的根,要求計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字：〔1,〔2,[解] 〔1設(shè),則,牛頓迭代公式：,迭代計(jì)算過程見下列表.kxk|xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N 因?yàn)?所以.〔2設(shè),則,牛頓迭代公式：,迭代計(jì)算過程見下列表.kxk|xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y 因?yàn)?所以.2、〔p.154,題18應(yīng)用牛頓法于方程,導(dǎo)出求立方根的迭代公式,并證明該迭代公式具有二階收斂性.[證明]〔1設(shè)：,則,對(duì)任意,牛頓迭代公式〔2由以上迭代公式,有：.設(shè)；；.,可見該迭代公式具有二階收斂性.<證畢>5.1線性方程組迭代公式1、〔p.170,題1用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解方程組：,要求結(jié)果有3位有效數(shù)字.[解] 雅可比迭代公式：,迭代計(jì)算結(jié)果列于下表.?000--12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.004630.00925N70.600310.201390.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025Y；由上表可見,所求根皆為小數(shù)點(diǎn)后第1位不為零的小數(shù),要取3位有效數(shù),則誤差限為.高斯-賽德爾迭代公式：,迭代計(jì)算結(jié)果列于下表.?000--12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000Y；2、〔p.171,題7取,用松弛法求解下列方程組,要求精度為.[解]歐先寫出高斯-賽德爾迭代：引入松弛因子,得將方程組〔1代入〔2,并化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果見下表.?0000152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.158203.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N61.549593.28508-2.17800N71.532843.30793-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.508803.32615-2.16847N01.504533.32951-2.16762N11.502453.33130-2.16717N21.501293.33225-2.16694N31.500693.33276-2.16672N41.500373.33306-2.16676N51.500163.33318-2.16670N61.500103.33325-2.16668N71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y迭代解：精確解：5.1線性方程組迭代公式1、〔p.170,題2試列出求解下列方程組的雅可比迭代公式與高斯-賽德爾迭代公式,并考察迭代過程的收斂性.[解]〔1雅可比迭代公式：<1> ,,迭代收斂.〔2高斯-賽德爾迭代公式：<2>將方程組〔1帶入〔2,經(jīng)化簡(jiǎn)后,得：<3>,,迭代收斂.2、〔p.171,題5分別用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解下列方程組：〔1〔2[解]〔1雅可比迭代：,,不收斂.高斯-賽德爾迭代：或,,不收斂.〔2雅可比