46、九省聯(lián)考適應性練習04（解析版）

九省聯(lián)考適應性練習04數(shù)學試題卷注意事項：1.本卷共4頁，四大題19小題，滿分150分，答題時間120分鐘；2.答題時須在答題卡上填涂所選答案（選擇題），或用黑色字跡的簽字筆規(guī)范書寫答案與步驟（非選擇題），答在本試題卷上或草稿紙上的答案均屬無效；3.考試結束時，考生須一并上交本試題卷，答題卡與草稿紙。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．在中，，則（

）A． B． C． D．3．過點作圓的兩條切線與圓C分別切于A，B兩點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．4．某公司安排位員工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排人，每人值班天，則位員工中甲不在日值班的概率為（

）A． B． C． D．5．我國古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺（兩個底面都是正方形的四棱臺），如果一個方斗的容積為28升（一升為一立方分米），上底邊長為4分米，下底邊長為2分米，則該方斗的外接球的表面積為（

）A． B．C． D．6．已知在數(shù)列中，，且.設，且為的前項和，則的整數(shù)部分為（

）A． B． C． D．7．奔馳定理：已知點O是內的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分．）9．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則（

）A．甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23 B．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同C．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5 D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（

）A．圖像的一條對稱軸可能為直線B．函數(shù)的解折式可以為C．的圖像關于點對稱D．在區(qū)間上單調遞增11．已知定義在的函數(shù)滿足：①對恒有；②對任意的正數(shù)，恒有．則下列結論中正確的有（

）A．B．過點的切線方程C．對，不等式恒成立D．若為函數(shù)的極值點，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．某班設計了一個“水滴狀”班徽（如圖），徽章由等腰三角形，及以弦和劣弧所圍成的弓形所組成，劣弧所在的圓為三角形的外接圓，若，外接圓半徑為1，則該圖形的面積為．13．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．14．在空間直角坐標系中，定義點和點兩點之間的“直角距離”．若和兩點之間的距離是，則和兩點之間的“直角距離”的取值范圍是．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15．（13分）在中，內角，，的對邊分別為，，，已知該三角形的面積．(1)求角的大?。?2)若時，求面積的最大值．16．（15分）中醫(yī)藥學是中國古代科學的瑰寶，也是打開中華文明寶庫的鑰匙.為了調查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度，某學習小組隨機向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關中醫(yī)藥文化的調查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：規(guī)定成績在內代表對中醫(yī)藥文化了解程度低，成績在內代表對中醫(yī)藥文化了解程度高.(1)從這100位市民中隨機抽取1人，求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機抽取3人，記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望.17．（15分）在四棱錐中，底面是邊長為6的菱形，，，.(1)證明：平面；(2)若，M為棱上一點，滿足，求點到平面的距離.18．（17分）已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，曲線C是以A、B為短軸的兩端點且離心率為的橢圓，設點P在第一象限且在雙曲線上，直線AP與橢圓相交于另一點T．(1)求曲線C的方程；(2)設點P、T的橫坐標分別為x1，x2，證明：x1x2＝1；(3)設△TAB與△POB（其中O為坐標原點）的面積分別為S1與S2，且，求的取值范圍．19．（17分）對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，設為中的最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列.例如數(shù)列3，5，4，7的控制數(shù)列是3，5，5，7.(1)若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是2，3，4，6，6，寫出所有的；(2)設是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，）.證明：.(3)考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.是否存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由.參考答案：1．B【分析】由函數(shù)有意義求得集合A，進而求出集合B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】由，得，又，因此，所以．故選：B2．B【分析】本題可設，然后利用向量的數(shù)量積公式以及余弦定理得出、、，最后通過求出、、即可得出結果.【詳解】設，則，，，即，，，結合余弦定理易知，，，，聯(lián)立，解得，，，則，故選：B.3．A【分析】將化為標準方程，根據(jù)題意可知點A，B在以MC為直徑的圓上，由此得到以MC為直徑的圓的方程，兩圓方程相減可得答案.【詳解】由題意可得圓的標準方程為：，圓心為，過點作圓的兩條切線與圓C分別切于A，B兩點，則,故點A，B在以MC為直徑的圓上，而以MC為直徑的圓的方程為：，得即直線的方程為，故選：A.4．B【分析】先求出將位員工平均分成三組在1月1日至1月3日值班包含的基本事件的總數(shù)，再計算位員工中甲不在日值班包含的基本事件的總數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】該公司安排位員工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排人，每人值班1天，基本事件總數(shù)，位員工中甲不在日值班包含的基本事件個數(shù)，所以位員工中甲不在日值班的概率.故選：B.5．B【分析】根據(jù)“方斗”的形狀可確定該方斗的外接球的球心，再由方斗的容積以及勾股定理可求得外接球半徑為，即可得外接球的表面積.【詳解】如下圖所示：外接球球心為高線上的點，滿足，由方斗的容積為28升，可得，解得．設外接球半徑為，則．由上底邊長為4分米，下底邊長為2分米可得；由勾股定理可得，解得，即，所以外接球的表面積為．故選：B．6．A【分析】將整理變形可得到，利用等比數(shù)列的通項公式可得，進而可得，判斷出的單調性可得的最小值，再利用可得的最大值，進而可得的整數(shù)部分.【詳解】由得，且，故.再將等式兩邊同除以，得.由得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.，即，故.又，故是關于的遞增數(shù)列，故；當時，故.綜上有.的整數(shù)部分為故選：A.7．B【分析】延長交于點P，則利用垂心的性質結合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設，利用可求出的值，從而可求出的值.【詳解】延長交于點P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設，其中．，，解得．當時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量的線性運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，解題的關鍵是利用垂心的性質得，再結合已知條件得，設，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結果，考查計算能力和轉化思想，屬于較難題.8．C【分析】依題意可得對恒成立，記，即在上恒成立，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，分、、三種情況討論，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】，等價于，記，即在上恒成立，.當即時，，在上單調遞減，所以當時，即恒成立；當時，記，則，當時，單調遞減，又，，所以存在，使得，當時，，單調遞增，所以，即，所以當時，，即，不符合題意；當時，，不符合題意.綜上，的取值范圍是.故選：C【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理.9．BD【分析】根據(jù)已知平均數(shù)的關系求得，再由極差、中位數(shù)、方差求法判斷各項正誤即可.【詳解】由題設，，所以，甲組數(shù)據(jù)中，故第70百分位數(shù)為24，A錯；甲乙組數(shù)據(jù)的極差都為5，B對；乙組數(shù)據(jù)從小到大為，故其中位數(shù)為，C錯；由上易知：甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲的方差為，乙的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，D對.故選：BD10．BC【分析】先根圖象求出函數(shù)解析式，然后逐個分析判斷即可【詳解】由圖象可知，得，所以，所以，因為函數(shù)圖象過點，所以，所以，得，因為，所以，所以，對于A，因為，所以不是圖象的一條對稱軸，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，因為，所以的圖象關于點對稱，所以C正確，對于D，由，得，當時，，當時，，可知函數(shù)在，上遞增，所以函數(shù)在上遞減，所以D錯誤，故選：BC11．ACD【分析】由條件①結合導數(shù)的運算法則可設，再由條件②，求得，選項A，B易判斷；對C，構造函數(shù)，利用導數(shù)證明即可；對D，利用導數(shù)判斷極值點的范圍，即可得證.【詳解】恒有，，可設（其中C為常數(shù)），又對任意的正數(shù)恒有，對任意的正數(shù)恒有，，，，即，對于A，由上式可得，故A正確；對于B，，設切點為，則切線斜率為，，化簡得，解，所以點就是切點，所以切線方程為，故B錯誤；對于C，令，，則，令，可得，，可得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，所以，對恒成立，故C正確；對于D，設，，在上單調遞增，且，，所以使在上單調遞減，在上單調遞增，為函數(shù)的極小值點且滿足，，，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：本題屬于導數(shù)的應用問題，難度較大.首先分析條件①，由導數(shù)的運算法則得，可設，再由條件②，代入運算求得，再根據(jù)導數(shù)知識可依次判斷各個選項得解.12．【分析】分別求出扇形的面積，，，進而可求出圖形的面積．【詳解】解：如圖：因為所以扇形的面積為，，，則題中圖形面積為，故答案為：．【點睛】本題考查扇形的面積公式的應用，是基礎題．13．【分析】分別設兩條曲線的切點分別為根據(jù)切點處的導數(shù)即為切線斜率和切點即在曲線上又在切線上列方程組，然后求解可得.【詳解】設直線與曲線和分別相切于因為，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或因為，所以故答案為：14．【分析】根據(jù)空間兩點距離公式，結合三角代換法、輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質進行求解即可.【詳解】因為，所以設，其中，因此，因為，所以，因此，設，于是有，因為，所以，因此當且時，即當且時，有最大值，當且或時，有最小值，此時，或，所以的最小值，綜上，和兩點之間的“直角距離”的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角代換的方法、運用正弦函數(shù)的最值的性質.15．(1)；(2).【分析】（1）利用三角形面積公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，結合基本不等式求出的最大值即可得解.【詳解】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，當且僅當時取等，因此的面積，所以當時，面積取得最大值.16．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由表格得出成績在的人數(shù)，計算頻率，即可得出答案；（2）由表格得出41歲~50歲年齡段中，成績在內以及內的人數(shù)，求出概率，進而得出.然后列出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）由表格可知，成績在的人數(shù)為，所以，抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為.（2）根據(jù)表格可知，41歲~50歲年齡段中，成績在內的人數(shù)為，成績在內的人數(shù)為，則隨機抽取1人，這個人是對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.由題意可知，的可能取值為，則，，，，故的分布列為0123的數(shù)學期望.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接交于，連接，利用線面垂直的判定推理作答.（2）求出點到平面的距離，再利用等體積法求解作答.【詳解】（1）在四棱錐中，連接交于，連接，如圖，因為底面是菱形，則，又是的中點，，則，而平面，所以平面.（2）連接，由平面，平面，則，而，平面，因此平面，又是邊長為6的菱形，，則，面積，過作交于，而，且，則，顯然，于是，面積，令點到平面的距離為，又平面，由，即，得，解得，所以點到平面的距離為.18．(1)(2)證明見解析(3)(0，1]【分析】（1）設橢圓的方程為，依題意可得A（﹣1，0），B（1，0），推出b＝1，又橢圓的離心率為，解得a2，即可得出答案．（2）設點P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），則直線AP的方程為y＝k(x+1)，聯(lián)立橢圓的方程，解得x2，同理可得，進而可得x1?x2＝1．（3）由（2）得，由，得，再計算S1，S2，結合基本不等式得S12﹣S22的取值范圍．【詳解】（1）設橢圓的方程為，依題意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b＝1，因為橢圓的離心率為，所以，即a2＝4，所以橢圓方程為．（2）證明：設點P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），則直線AP的方程為y＝k(x+1)，聯(lián)立方程組，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0，解得x＝﹣1或，所以，同理聯(lián)立直線AP和雙曲線可得，，所以x1?x2＝1．（3）由（2），因為，所以，即，因