動能定理與機械能守恒律

第二講質(zhì)點組動力學

質(zhì)點組的單粒子運動和集體運動

基本概念動量定理與動量守恒定律動量矩定理與動量矩守恒定律動能定理與機械能守恒定律兩體問題質(zhì)心坐標系與實驗坐標系變質(zhì)量物體的運動第二講質(zhì)點組力學一、質(zhì)點組的質(zhì)心質(zhì)點組{m1,m2,m3,…….,mN}：對質(zhì)點組內(nèi)各質(zhì)點求和，得：（II－1）（II－2）定義：質(zhì)心：（II－3）動量定理與動量守恒律（II－4）質(zhì)心運動方程：質(zhì)心的運動宛如質(zhì)點組的全部質(zhì)量集中于質(zhì)心上，而全部外力都作用于質(zhì)心。這是一種帶權(quán)重的平均值，是權(quán)重。分量式是連續(xù)性物體質(zhì)心要用重積分定義為常數(shù)的物體，質(zhì)心就是幾何中心。總動量也就是質(zhì)心動量質(zhì)心運動定理此方程表示質(zhì)心組質(zhì)心的運動，就像一個單個質(zhì)點的運動，這個質(zhì)點的質(zhì)量相當于質(zhì)點組的總質(zhì)量，而作用于這個質(zhì)點的力等于作用在質(zhì)點組的總外力，這樣雖然不能求出每個質(zhì)點的運動，但是質(zhì)心運動是能知道的。動量定理個質(zhì)點組成的質(zhì)點組的合力為牛頓第二定律，對質(zhì)點

這樣的方程共有個，由于內(nèi)力通常未知，這個方程組無法解。由于牛頓第二定律，得但是，把這個方程加起來得到是質(zhì)點組的動量矢量和，所以

分量式是注意這不是講沒有外力，而是指外力之和為零。對質(zhì)點組，由于外力作用在不同質(zhì)點上，使外力之和為零，同時每個質(zhì)點也可能有加速度，即使這樣也不影響結(jié)果。這意味①質(zhì)點組總動量守恒，②質(zhì)點組質(zhì)心作慣性運動——質(zhì)點組的動量守恒律同樣如作用在質(zhì)點組的諸外力之和不為零，但它們在某一軸的投影之和為零。這樣我們有結(jié)論：內(nèi)力雖然可以使質(zhì)點組中個別質(zhì)點的動量改變，但不能改變整個質(zhì)點組的動量之和，也不能改變質(zhì)心的速度。如，沿水平方向發(fā)射的大炮，炮彈和炮身構(gòu)成質(zhì)點組，火藥爆炸是內(nèi)力，發(fā)射前總動量分量發(fā)射后，也必為零，故炮彈向前，要求炮身反沖，來平衡內(nèi)力改變炮彈

炮身的動量，但總動量不變。

常數(shù)恒矢量動量守恒定律如果質(zhì)點組只在內(nèi)力作用下運動，則動量定理與動量守恒律動量矩定理與動量矩守恒律動能定理與機械能守恒律二、質(zhì)點組運動的分解質(zhì)心坐標系：當質(zhì)心靜止或作勻速直線運動時，以質(zhì)心為坐標原點的坐標系為慣性系，稱為質(zhì)心坐標系。在地面坐標系的質(zhì)心的位矢為，質(zhì)點i的位矢為在質(zhì)心坐標系中，質(zhì)點i的位矢為,則有質(zhì)點組平移運動動能：在沒有外勢的情形下，質(zhì)點組的總能量是系統(tǒng)的總能量，定義為：（II－5）O質(zhì)心i（II－6）1.克尼希定理(K?nigtheorem)動能定理與機械能守恒律質(zhì)心相對于O-xyz平動1.克尼希定理(K?nigtheorem)克尼希定理表明，質(zhì)點系對慣性系的動能等于質(zhì)點系對質(zhì)心系的動能與質(zhì)心對慣性系的動能之和。（II－7）動能由兩項組成：①質(zhì)點組全部質(zhì)量集中在質(zhì)心上時，運動的動能——質(zhì)心的動能。②在質(zhì)心系中各質(zhì)點的動能——相對質(zhì)心系的動能。這就是柯尼希定理。注意此定理只對質(zhì)心系成立，對別的點就不成立了。單個質(zhì)點在力場中運動，合力作的元功為：質(zhì)點從位置1

位置2，合力作的總功一質(zhì)點在力場中運動，各質(zhì)點所受合力的元功的總和即為質(zhì)點系作的元功，為：積分得：微分形式的動能定理（II－8）積分形式的動能定理:有限路程中質(zhì)系動能的改變量等于作用在質(zhì)系上所有力在該路程上的有限功之和

（II－9）無限小位移中動能的微分等于作用在質(zhì)系上所有力的元功之和

2.質(zhì)點組的動能定理注意在動量定理，內(nèi)力的作用能相互抵消，但在動能定理中，內(nèi)力是不能消去的，這是由于一切內(nèi)力做功和不為零。變化，內(nèi)力就做功，的方向永遠與方向共線，故能使質(zhì)點組不受外力，但動能并不守恒，這是因為內(nèi)力做功不為零。若外力為保守力，故：積分后得：內(nèi)力的功為：（II－10）（II－11）（II－12）如果質(zhì)點組所受得內(nèi)力、外力都是保守力，則質(zhì)點組動能、內(nèi)勢能和外勢能得總和在運動中保持不變——機械能守恒一般而言，內(nèi)勢能不為零，且隨時間變化，即：質(zhì)點組運動時，內(nèi)力的總功并不為零。3.機械能守恒4.對質(zhì)心系的動能定理由運動方程出發(fā)，非慣性系給出對第個質(zhì)點質(zhì)點組在質(zhì)心系中，總動能的變化等于作用在質(zhì)點組的外、內(nèi)力做的元功之和。質(zhì)心系動能定理形式上與慣性系相同，慣性力不起作用，可把質(zhì)心系當成慣性系來用。三.質(zhì)點組轉(zhuǎn)動質(zhì)點組的總角動量：為各質(zhì)點角動量之和：（II－13）（II－14）質(zhì)心繞地面參照系坐標原點O轉(zhuǎn)動時的角動量質(zhì)點組相對質(zhì)心的總角動量質(zhì)點組對定點O的角動量可被分解為質(zhì)心的角動量和相對于質(zhì)心運動的角動量兩部分動量矩定理與動量矩守恒律由(II-13)式兩邊對時間求一階導數(shù)：質(zhì)點組總角動量的改變總是由外力矩引起的，與將運動分解成質(zhì)心部分及相對質(zhì)心運動部分無關。（II－15）對固定點的動量矩定理這就是質(zhì)點組的動量矩定理。分量表示常數(shù)動量矩守恒定律如所有的作用在質(zhì)點組上的外力對某一固定點O的力矩為零，則恒矢量同樣，雖力矩之和不為零，但對通過質(zhì)點O的某一坐標軸的力矩為零有兩個坐標系：隨C而平動。系中講質(zhì)點的方程，非慣性系(但是特殊的)對質(zhì)心的動量矩定理在內(nèi)力矩互相抵消是質(zhì)心到質(zhì)點的位矢

系看質(zhì)心相對C的位矢這樣或是諸外力對質(zhì)心的力矩之和。這是質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩定理，跟固定點的動量矩定理的形式一樣，慣性力不起作用，也就是對系是非慣性系，動量矩定理也成立。但是必須注意，這只是對質(zhì)心而言才對，不是對任何質(zhì)點。都對但對質(zhì)心，可以放心用動量矩定理。質(zhì)點組對質(zhì)心動量矩作業(yè)1：在具有水平軸的滑輪上懸有一根繩子，繩子的兩端距通過該軸水平面的距離為r。兩個質(zhì)量分別為m的人抓著繩子的兩端，他們同時開始以勻加速度向上爬并同時到達滑輪軸所在的水平面。假設滑輪的質(zhì)量可忽略，且所有的阻力也都忽略不計，問需多久時間，兩人可以同時到達？四、二體系統(tǒng)在中心力的作用下，可將二體系統(tǒng)問題化為等效的單體問題，即兩個質(zhì)點的運動形式上等同于一個等效質(zhì)量的質(zhì)點在中心力場中的運動。設兩質(zhì)點m1,m2間的相互作用僅依賴于兩質(zhì)點的相對位置坐標zxym1m2O運動方程：為約化質(zhì)量一般說來,r的運動并不是與Rc

無關。如果二質(zhì)點不受外力，或所受外力為萬有引力等，有：則：與質(zhì)量為m的質(zhì)點在力心處于r＝0的力場中的運動方程一致，成為有心力場中的單質(zhì)點運動。如果為有心力：耦合擺——由彈簧連接兩個單擺的裝置假定擺只作水平的簡諧振動y1－第一個擺在水平方向偏離平衡位置的位移y2－第二個擺在水平方向偏離平衡位置的位移則：令：K=mg/l,則:二振子耦合系統(tǒng)可按(II-18a)方式作集體振動，以w作同頻振動或按(II-18b)方式作集體振動，以作異步振動耦合振子三彈簧耦合振子系統(tǒng)，外側(cè)兩彈簧彈性系數(shù)為K，中間彈簧彈性系數(shù)為k運動方程：（II－17a）（II－17b）解得：（II－18a）（II－18b）振子的通解為兩種集體振動模式的疊加：五、一維質(zhì)點組固體中原子振動的模型——一維原子鏈模型：

N>>1的原子構(gòu)成一維鏈，原子間隙為a，原子間相互作用以一個彈性系數(shù)為k的彈簧代替采用循環(huán)邊界條件：鏈端的原子連接成一個一維閉合環(huán)第n個原子相對于其平衡位置的位移為作用于其上的力包括：左邊彈簧產(chǎn)生的向左的拉(或斥)力右邊彈簧產(chǎn)生的向右壓縮(或拉伸)的力運動方程：M為原子質(zhì)量設其解：代入(II-16)式，得：一維單原子鏈中原子的最高振動頻率的關系稱為色散關系一維原子鏈中所有的原子都參與頻率為w的振動－集體振動或簡正振動，每個原子不是獨立的諧振子根據(jù)循環(huán)邊界條件，有：要求：P為正整數(shù)λ為波長，在原子鏈中，要求波長故P只有N種取值范圍，簡正振動的獨立模式正好等于原子的數(shù)目N作業(yè)2：

一長為2a，質(zhì)量可以忽略的輕桿，兩端各有一個質(zhì)量為m的小球，O為一固定軸，桿的中點O與固定軸相連，并可繞該軸以勻角速度w旋轉(zhuǎn)，桿與軸相交為q角，試求以兩小球組成的質(zhì)點組相對于固定點O的角動量，所受的力矩以及可能的守恒量。（忽略重力作用）作業(yè)3：一半徑R的水平圓盤M可繞