第七章知識資料知識資料彎曲變形

§7-1引言

§7-2撓曲軸近似微分方程

§7-3計(jì)算梁位移的積分法

§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

§7-6簡單靜不定梁

§7-7梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)第七章彎曲變形

§7-1引言思考：梁在載荷作用下，要有足夠的強(qiáng)度，因此必須滿足強(qiáng)度條件。但是，是否梁滿足了強(qiáng)度條件之后，它就能夠正常地工作呢？起重機(jī)正常運(yùn)行時，車輪輪緣與運(yùn)行軌道之間需保持一定的間隙，但梁變形情況下，車輪不在其踏面中間運(yùn)行，當(dāng)起重機(jī)運(yùn)行中輪緣與軌道側(cè)面相擠時，則出現(xiàn)啃軌現(xiàn)象，影響起重機(jī)安全運(yùn)行。梁變形引起的事故與安全問題撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線

對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線撓曲軸

軸線變?yōu)榍€，變彎后的梁軸，稱為撓曲軸，彎曲變形的特點(diǎn)如何計(jì)算和描述梁的變形？AB對稱彎曲條件下,如果忽略梁橫截面的面內(nèi)變形和截面形心的軸向位移，那么梁橫截面上任一點(diǎn)的位移可以通過如下兩個變量描述:1、各截面形心的線位移

——撓度w2、截面繞中性軸的角位移

——轉(zhuǎn)角

及轉(zhuǎn)角方程q(x)F撓度隨坐標(biāo)變化的方程——撓曲軸方程w=w(x)

梁變形的描述方法：撓曲軸方程w=w(x)AB這樣，梁的變形描述可由單一方程完成：梁的轉(zhuǎn)角不再是獨(dú)立量,一般很小—q=q’?dw/dx，

對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計(jì)，因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交§7-2撓曲軸近似微分方程Q

中性層曲率表示的彎曲變形公式Q

由高等數(shù)學(xué)知識

Q

撓曲軸微分方程

——二階非線性常微分方程（純彎）（推廣到非純彎）方程推導(dǎo)Q簡化的撓曲軸方程正負(fù)號確定:彎矩:

坐標(biāo)系：w

向上為正小變形時：曲線下凹撓曲線下凹,彎矩M為正方程取正號

正彎矩負(fù)彎矩xwoxo??

小變形Q應(yīng)用條件：Q撓曲軸的近似微分方程正彎矩xo撓度坐標(biāo)軸w向上，彎矩下凹為正土木建筑部門，采用坐標(biāo)軸w

向下坐標(biāo)系小結(jié)F

C、D為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。一、梁的撓曲軸方程§7-3計(jì)算梁位移的積分法位移邊界條件w=0w=0w=0q=0二、位移邊界條件與連續(xù)條件自由端：無位移邊界條件。位移連續(xù)與光滑條件ACDMFB撓曲軸在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑連續(xù)：wB左=wB右光滑：qB左=qB右

自由端：無位移邊界條件固定端：

連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件：例：中間支撐C：E點(diǎn)：中間鉸B：ABCDFEABCDFE思考：該梁可分幾段積分（判斷依據(jù)是什么）？(2).分3段。ED段不受力，保持直線，僅作剛性轉(zhuǎn)動。

(1).分4段。已知EI,建立該梁的撓曲軸方程AB解:2、撓曲軸近似微分方程1、彎矩方程:例：AB3、積分常數(shù)的確定w(0)=0D=0w’(0)=0C=0已知EI,建立該梁的撓曲軸方程

AB解:計(jì)算約束反力，建立坐標(biāo)系。AB段BC段例:x(分幾段積分？）邊界和連續(xù)條件:

四個方程定4個常數(shù)ABxADBC繪制撓曲軸的大致形狀：彎矩圖過零點(diǎn)處為撓曲軸拐點(diǎn)彎矩正負(fù)突變處也經(jīng)常是拐點(diǎn)支座性質(zhì)定該處線和角位移1.繪制彎矩圖。2.繪制撓曲軸的大致形狀F彎矩圖符號定撓曲軸凹凸性凹凸凹直線撓曲軸大致形狀+_Fs+M曲線，直線？上凸，下凹？關(guān)鍵點(diǎn)的，w以及拐點(diǎn)若彎矩圖中有一段M=0，則此段撓曲線為直線作業(yè)7-1b7-3c,d7-67-7§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

載荷疊加法

逐段變形效應(yīng)疊加法

兩類疊加法比較

例題一、載荷疊加法(原理）梁在同時承受多個載荷時的撓度和轉(zhuǎn)角，等于該梁在各個載荷單獨(dú)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和成立條件：材料線彈性和小變形M(x)＝Mi(x),為載荷(F,q,Me)的線性齊次函數(shù)EIw=

Mi(x)dx=

Mi(x)dx=wi

積分后，w仍然是載荷(F,q,Me)的線性齊次函數(shù)依據(jù)：(前提：材料線彈性)前提：(梁的變形很小,不影響其它載荷的作用效果)載荷疊加法的應(yīng)用例：EI=常數(shù)，求，載荷由集中力F，均布力q和力偶M0構(gòu)成，分別計(jì)算各個載荷在A端引起的位移，然后將它們疊加。AFqQ分析方法：基本梁在幾種基本載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角方程已被總結(jié)成表（請熟記P351附錄E中1，3，4，6，8，9各梁的撓度和轉(zhuǎn)角）查表,p351AAFAqAFq()Fq疊加：例：載荷集度為，求自由端撓度xq0BFB分析方法：將任意分布載荷看作無窮微集中力的疊加。注意(1)a

取為變量x(2)載荷向上為正查表P351(2):例：載荷集度為，求自由端撓度xq0BFB例：EI=常值，求ACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：故：為什么？例：矩形截面梁斜彎曲問題——求撓曲軸方程與端點(diǎn)C位移yCzF分析思路：載荷沿兩對稱軸分解：

分解為對稱彎曲問題2.求解各分載荷作用下的撓曲軸方程與C點(diǎn)位移3.合成為總的撓曲軸方程與總的C點(diǎn)位移解：(1)載荷分解方位角F

一般b

1

q，彎曲變形不發(fā)生在外力作用面內(nèi)。(2)分力撓曲軸方程與端點(diǎn)位移端點(diǎn)C：yCzF靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各梁段單獨(dú)變形(其余梁段剛化)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和。二、逐段變形效應(yīng)疊加法（逐段剛化法）該方法更多地應(yīng)用于單載荷、多段組合梁（如階梯梁、直角拐）的變形計(jì)算。思考：該方法的優(yōu)點(diǎn)是什么？ABC例:求圖示外伸梁C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角ABCABCqa/2qa2/2僅考慮BC段變形(剛化AB,可視BC為懸臂梁)僅考慮AB段變形(剛化BC)總撓度和轉(zhuǎn)角ABCABCABCqaqa2/2ABCqa2/2BCqa2/2A三、兩類疊加法比較1、靜定條件下，等價2.逐段變形效應(yīng)疊加法與載荷疊加法適用范圍不同右圖的疊加法為什么不成立？兩類疊加法適用范圍比較線彈性、非線彈性與非彈性線彈性小變形小變形靜定桿系與剛架靜定與靜不定結(jié)構(gòu)，包括桿、板、殼及一般三維體逐段變形效應(yīng)疊加法載荷疊加法例：EI=常數(shù)，求ABCFABCBC剛化FBCAFFaAB剛化加

a.BC彎曲剛度剛化b.BC扭轉(zhuǎn)剛度剛化w32.BC扭轉(zhuǎn)(AB剛化，BC彎曲剛度剛化)3.BC彎曲(AB剛化，BC扭轉(zhuǎn)剛度剛化)1.AB彎曲(BC剛化）例：E常數(shù),,求，F(xiàn)ABC剛化AB段：1.BC段變形效應(yīng)（剛化AB段）2.AB段變形效應(yīng)（剛化BC段）剛化BC段：ABCABCF,求例：E常數(shù),，F(xiàn)ABCEFABCEFABCEF對稱性的應(yīng)用F/2CFBABCEFF/2F/2逐段變形效應(yīng)疊加法思考：圖示各階梯剛架幾何尺寸，材料與外載均相同，加陰影線段表示.該段已剛化，設(shè)圖示(a)、(b)、(c)、(d)各剛架自由端(即A端)的垂直位移分別為Wa，Wb，Wc，Wd,，則Wa＝Wb＋Wc＋Wd,。該結(jié)論對嗎？ACBqBACq/2ACq/2反對稱：中點(diǎn)撓度為0，彎矩0→鉸支對稱：思路：載荷分解Cq/2例：利用對稱性求

(

)(↓)例：組合梁的變形分析，求：AqCBABC’解：梁撓曲軸如圖CB保持直線AC懸臂梁問題分析：采用逐段變形效應(yīng)疊加法例：組合梁/剛架各處EI,EA,B處梁間活動鉸，求ABCF剛化剛架BDH,AB為簡支梁，剛化梁AB，下面求剛架的位移ABHDCF解：1.求BHDF/2（1）剛化DH的拉壓與彎曲剛度，BD相當(dāng)于懸臂梁（2）剛化BD和DH的拉壓剛度（3）剛化BD和DH的彎曲剛度ABCF

2.求2EA2EA3.求設(shè)b×h矩形截面4.比較彎曲與拉壓位移結(jié)論:

(如果題意沒有要求)，拉壓與彎曲共同作用時，拉壓引起的位移可以忽略。ABHDCF例：細(xì)長梁置于水平剛性平臺上。設(shè)單位長度重量為q，彎曲剛度EI，求wc解：設(shè)拱起長度為aDA段包括A點(diǎn)截面上的彎距MA為零，B點(diǎn)同理A,B兩點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角為零AB段的簡化模型由疊加法確定A處的轉(zhuǎn)角：再由疊加法確定C處的撓度：圖示直梁和剛性園拄面，求梁在集中力F作用下的端點(diǎn)撓度lRFABC梁、拄面接觸的條件設(shè)F>Fo，AC段與拄面接觸，AC段長度為x作業(yè)7-9b,d7-117-127-14a§7-6簡單靜不定梁靜不定度與多余約束多余約束多于維持平衡所必須的約束多余反力與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)5-3=2度靜不定6-3

=

3度靜不定AB靜定基:一個靜不定系統(tǒng)解除多余約束后所得的靜定系統(tǒng)(左下)相當(dāng)系統(tǒng)：作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的基本系統(tǒng)(右下)AB靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)qABABRBqABq靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的小結(jié)：分析方法與分析步驟

步驟：

1、判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；2、選取與解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；3、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件；4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。方法：選取并解除梁多余約束，代之以支反力,構(gòu)造相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處的變形滿足位移邊界或連續(xù)條件相當(dāng)系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種例：求支反力1.

靜不定度：6-3=32.選取相當(dāng)系統(tǒng)：右中、下圖都合適。選右中圖。小變形，軸向變形可忽略

HA=HB=0。兩多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立變形協(xié)調(diào)條件4.聯(lián)立求解qABRBMB對稱性的應(yīng)用利用對稱性直接求出RA=RB=ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。三人扛木問題等截面原木長l=5m,直徑d=30cm,密度=0.7g/cm3,彈性模量E=4GPa.三個等身高工人的著力點(diǎn)分別為原木的兩端及中點(diǎn).試求每人分擔(dān)的原木重量.解:首先將問題抽象成材料力學(xué)模型,然后依據(jù)相關(guān)理論求解.ABCll/2三支座梁，q=A＝495g/cm=484N/m

問題轉(zhuǎn)化為求解上述靜不定梁三個支座的支反力!移去支座B,代之以支反力FB,解靜定梁,求支反力FB,變形協(xié)調(diào)條件

B=0qABCll/2FBABC查附錄E－8：均布力q引起的B點(diǎn)撓度：ABCl/2FB查附錄E－6：集中力FB引起的B點(diǎn)撓度：令例:

直徑為d

的圓截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：AB存在裝配誤差的靜不定問題分析例：求A點(diǎn)的垂直方向的位移，A處梁間活動鉸。ADR’A組合梁/剛架靜不定問題的分析ABCDM0方法：將鉸鏈拆開，建立鉸鏈處的變形協(xié)調(diào)條件BCM0RA例：求支反力

變形協(xié)調(diào)條件：RRB點(diǎn)位移按右圖計(jì)算

ABRqaqa2/2ABqCDECABqRDRE§6-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)一、梁的剛度條件[d