第三章 靜力平衡問題(7學時)

第三章靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦的平衡問題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問題3.1平面力系的平衡問題一、靜定與靜不定問題的概念我們學過：平面匯交力系 兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)。 一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。 力偶系平面任意力系三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是3n個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題

--未知量數(shù)=獨立平衡方程數(shù)ABCF30如例1

系統(tǒng)

二根桿

六個平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個，但B、C處約束力未知量也減少了二個。本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個物體

8個平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸處各1

共8個反力，是靜定問題。如例3系統(tǒng)

三個物體

9個方程，反力只有8個。小車可能發(fā)生水平運動。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少于獨立的平衡方程數(shù)，有運動的可能。CABWP2）靜不定問題或超靜定問題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n<3n未完全約束

m=3n靜定問題

>3n靜不定問題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3nＣMAB討論：試判斷下列問題的靜定性。約束力數(shù)m=8

物體數(shù)n=3m<3n

未完全約束

m=6n=2m=3n靜定結(jié)構(gòu)

n=3m=1+2+2+4=9m=3n靜定結(jié)構(gòu)60

ABCDF1F2ABCFD靜力學[例]外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)叫～。二、物體系統(tǒng)的平衡問題靜力學物系平衡的特點：

①物系靜止

②物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列3個平衡方程，整個系統(tǒng)可列3n個方程（設物系中有n個物體）解物系問題的一般方法：

由整體局部（常用），由局部整體（用較少）[例3.1]

已知如圖P、Q，求平衡時=？地面的反力ND=？解：研究球受力如圖，選投影軸列方程為由②得由①得①②[例3.2]在CD上作用有一力偶，力偶矩的大小m=40N

m，求平衡時，A、B、C、D和E處的約束反力ABCDEm24032032026014030

解（1）受力分析ABCDEmRARBCDRCRDm（2）列平衡方程：對整體：求得：對CD桿：靜力學[例3.3]

已知：OA=R,AB=l,當OA水平時，沖壓力為P時，求：①M=？②O點的約束反力？③AB桿內(nèi)力？

④沖頭給導軌的側(cè)壓力？

解：研究B靜力學[負號表示力的方向與圖中所設方向相反]再研究輪靜力學解：選整體研究受力如圖選坐標、取矩點、Bxy,B點列方程為:

解方程得

①②③④

[例3.4]

已知各桿均鉸接，B端插入地內(nèi)，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，桿重不計。求AC桿內(nèi)力？B點的反力？靜力學

受力如圖取E為矩心，列方程解方程求未知數(shù)①②③④再研究CD桿靜力學[例3.5]

已知:P=100N.AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m且AB水平,ED鉛垂,BD垂直于斜面；

求?和A支座反力？(只用3個獨立方程)解：研究整體畫受力圖選坐標列方程

靜力學再研究AB桿，受力如圖與SAB相關(guān)的D、B點和ED、AB桿靜力學解題步驟及解題技巧1、解物系問題的一般方法：

由整體局部（常用），由局部整體（用較少）2、由整體，把能求的力，當作已知力（不一定要求出具體值），以便進一步分析局部時，列出其他所需的方程。3、找二力桿，作突破口；4、正確畫出約束力（固定端-3個；鉸支-2個；滑槽/輥軸-1個）。

解題步驟：選研究對象------畫受力圖（受力分析）------選坐標、取矩點、列平衡方程------解方程求出未知數(shù)解題技巧靜力學5、受平面任意力系作用的靜止（平衡）系統(tǒng)，能且只能列3個獨立方程，能且只能求解3個未知量。平面力偶系只有1個獨立方程。平面匯交或平行力系只有2個獨立方程。一個剛體（平面任意力系），提供3個方程，n個剛體提供3n個方程，能求解3n個未知量。對于題目要求的未知量，若方程不夠，可能是有些方程未找到。若多了，可能列出了不獨立方程或新增加了一些未要求的未知量，此時，盡量不要引入新的未知量，以簡化計算。不要出現(xiàn)局部1+局部2=3的問題。

靜力學6、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個未知數(shù)。力系中各力在每個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零.兩坐標軸不一定要垂直。只要不平行即可。力矩中心常選在未知力多或題目不要求的未知力的作用點處，以減少每個平衡方程中的未知量的數(shù)目。列矩方程注意矩心的限制條件。若方程數(shù)目等于未知量數(shù)目，但有些未知量解不出來，則可能是列出的方程可能與其他方程線性相關(guān)。7、平面匯交和力偶的題也可以用任意力系做，只是方程個數(shù)增加。問題1：不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時F1、F2之關(guān)系。問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、

B處的約束力。bＣMABac4560

ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCFq2aaa45

問題1.

不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時

F1、F2之關(guān)系。4560

ABCDF1

F2FDFC

ME(F)=F2

AE-F1sin60

BE=0注意：BE=AB；AE=

AB可解得：

F2=......F12E

靜力學前面我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。[例]平衡必計摩擦

3.2含摩擦的平衡問題22靜力學1、定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對滑動（趨勢）時，其接觸面產(chǎn)生阻止物體運動的力叫滑動摩擦力。（就是接觸面對物體作用的切向約束反力）

2、狀態(tài)：①靜止：

②臨界：（將滑未滑）

③滑動：一、靜滑動摩擦力所以增大摩擦力的途徑為：①加大正壓力N,②加大摩擦系數(shù)f

（f—靜滑動摩擦系數(shù)）（f'—動摩擦系數(shù)）23靜力學三、摩擦角：

①定義：當摩擦力達到最大值 時其全反力

與法線的夾角叫做摩擦角。 ②計算：24靜力學四、自鎖

①定義：當物體依靠接觸面間的相互作用的摩擦力與正壓力（即全反力），自己把自己卡緊，不會松開（無論外力多大），這種現(xiàn)象稱為自鎖。

當 時，永遠平衡（即自鎖）②自鎖條件：25靜力學摩擦系數(shù)的測定：OA繞O軸轉(zhuǎn)動使物塊剛開始下滑時測出a角，f=tga,(該兩種材料間靜摩擦系數(shù))③自鎖應用舉例26

2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑

3.破碎機軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計）

1.木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時木楔打入后才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問題：1.木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時木楔打入后才不致退出？aa不計重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處于平衡，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對稱性)。臨界狀態(tài)有：

a=r;自鎖條件為：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN1問題：

2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在P力除去后工件不松，求偏心距e.自鎖條件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:e

fd/2aFROAFA

3.破碎機軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計）

二力平衡必共線。臨界狀態(tài):tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直徑aFRa

考慮摩擦時的平衡問題，一般是對臨界狀態(tài)求解，這時可列出 的補充方程。其它解法與平面任意力系相同。只是平衡場是一個范圍（從例子說明）。[例3.7]

已知：a=30o，G=100N，f=0.2求：①物體靜止時，水平力Q的平衡范圍。②當水平力Q=60N時，物體能否平衡？五考慮滑動摩擦時的平衡問題30靜力學解：①先求使物體不致于上滑的圖(1)31靜力學同理：

②再求使物體不致下滑的圖(2)解得：平衡范圍應是32靜力學[例3.12]

已知：B塊重Q=2000N，與斜面的摩擦角j=15°，A塊與水平面的摩擦系數(shù)f=0.4，不計桿自重。求：使B塊不下滑，物塊A最小重量。解：①研究B塊，若使B塊不下滑33靜力學②再研究A塊34摩擦小結(jié)：

1、列平衡方程時要將摩擦力考慮在內(nèi)；

2、解題方法：①解析法②幾何法

3、除平衡方程外，增加補充方程(一般在臨界平衡

4、解題步驟同前。 狀態(tài)計算）靜力學三、解題中注意的問題：

1、摩擦力的方向不能假設，要根據(jù)物體運動趨勢來判斷。（只有在摩擦力是待求未知數(shù)時，可以假設其方向）

2、由于摩擦情況下，常常有一個平衡范圍，所以解也常常是力、尺寸或角度的一個平衡范圍。（原因是 和）35靜力學由物系的多樣化，引出僅由桿件組成的系統(tǒng)——桁架

§3-3平面靜定桁架靜力學工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學1.各桿件都用光滑鉸鏈相連接2.各桿件軸線都是直線，并通過鉸鏈中心3.所有外力(荷載及支座反力)都作用在節(jié)點上一、桁架簡化計算的假設工程上把幾根直桿連接的地方稱為節(jié)點故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點處受力的二力桿。桿內(nèi)力是沿桿的拉/壓力。靜力學桁架的優(yōu)點：輕，充分發(fā)揮材料性能。桁架的特點：①直桿，不計自重，均為二力桿；②桿端鉸接；

③外力作用在節(jié)點上。

力學中的桁架模型(基本三角形)

三角形有穩(wěn)定性(a)(b)(c)無余桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個節(jié)點均為匯交力系，有2n個平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和三個約束，m+3=2n，是靜定問題?；救切斡腥鶙U和三個節(jié)點，其余(n-3)個節(jié)點各對應二根桿，故無余桿桁架中桿數(shù)m和節(jié)點數(shù)n應當滿足：m=3+2(n-3),即m=2n-3顯然，無余桿桁架是靜定桁架。有余桿桁架（m>2n-3）則是靜不定的。AB123C45D67保證桁架形狀的必要條件：以基本三角形框架為基礎，每增加一個節(jié)點就增加二根桿件。F討論下列桁架及問題的靜定性桿數(shù)m=7節(jié)點數(shù)n=5m=2n-3靜定桁架約束力3

靜定問題

靜定桁架，反力4一次靜不定問題

桿數(shù)m=6節(jié)點數(shù)n=4m-(2n-3)=1靜不定桁架約束力3

一次靜不定

m-(2n-3)=2靜不定桁架，約束力4

三次靜不定問題

F靜力學取各節(jié)點為考察對象二、平面桁架平衡時各桿的內(nèi)力計算1、節(jié)點法

節(jié)點法就是假想將某節(jié)點周圍的桿件割斷，取該節(jié)點為考察對象，建立其平衡方程，以求解桿件內(nèi)力的一種方法。靜力學1)約定各桿內(nèi)力為拉力30°30°30°30°aFPFPFPIGDBAHECaaaFIyFACFPFNCAFNCBFNCDFNCExy2)各節(jié)點上的力系都是平面匯交力系靜力學解：①研究整體，求支座反力已知：如圖

P=10kN，求各桿內(nèi)力？[例3.13]②依次取A、C、D節(jié)點研究，計算各桿內(nèi)力。靜力學節(jié)點D的另一個方程可用來校核計算結(jié)果恰與相等,計算準確無誤。靜力學2、截面法用適當?shù)慕孛鎸㈣旒芙亻_，取其中一部分為研究對象，建立平衡方程，求解被切斷桿件內(nèi)力的一種方法。截取的部分上的力系是平面一般力系解：研究整體求支反力①[例3.14]已知：如圖，h,a,P.

求:4,5,6桿的內(nèi)力。②選截面I-I，取左半部研究IIA'靜力學FP123AKBCDEOGHIJa4×ah

[例3.15]：試求平面桁架中1、2、3桿的內(nèi)力。靜力學FP123AKBCDEOGHIJmma4×ahKOHIJFK123KOGHIJFKFN1FN2FN3截面法中所用的截面可以是曲面.靜力學三桿節(jié)點無載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零桿四桿節(jié)點無載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿內(nèi)力等值、同性。兩桿節(jié)點無載荷、且兩桿不在一條直線上時，該兩桿是零桿。三、特殊桿件的內(nèi)力判斷①②③靜力學一、力在空間軸上的投影與分解：

1.力在空間的表示：

力的三要素：大小、方向、作用點(線)

大?。? 作用點：在物體的哪點就是哪點 方向：由、、g三個方向角確定 由仰角

與俯角

來確定。bgqFxyO3.4空間力系的平衡問題靜力學2、一次投影法（直接投影法）由圖可知：3、二次投影法（間接投影法）

當力與各軸正向夾角不易確定時，可先將F投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即靜力學4、力沿坐標軸分解：若以 表示力沿直角坐標軸的正交分量，則：

而：所以：FxFyFz靜力學3、合力投影定理：

空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。在平面中：力對點的矩是代數(shù)量。在空間中：力對點的矩是矢量。

1、力對點的矩的矢量表示如果r表示A點的矢徑，則：四，空間力對點的矩和力對軸的矩靜力學即：力對點的矩等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積。兩矢量夾角為O靜力學定義： 它是代數(shù)量，方向規(guī)定+–2、力對軸的矩結(jié)論：力對//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。[證]靜力學力對//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。

定理：力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關(guān)系。

3、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關(guān)系又由于把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。

設作用在剛體上有空間一般力系向O點簡化（O點任選）1，空間力系向一點的簡化五，空間力系的合成與平衡靜力學①根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬到O點得到一空間匯交力系：和附加力偶系

[注意] 分別是各力對O點的矩。②由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點。靜力學③合成 得主矢即 （主矢過簡化中心O，

且與O點的選擇無關(guān)）合成 得主矩即： （主矩與簡化中心O有關(guān)）靜力學若取簡化中心O點為坐標原點，則：

主矢大小

主矢方向主矩大小為：

主矩方向： 靜力學主矢：作用在簡化中心，大小和方向卻與中心的位置無關(guān)；主矩：作用在該剛體上，大小和方向一般與中心的位置有關(guān)。思考：主矢,主矩與簡化中心的位置有無關(guān)系?靜力學固定端約束平面：

空間：

靜力學若簡化中心為O1點，如何?12.簡化結(jié)果分析靜力學若簡化中心為O1點，如何?2靜力學OO’合力3如果一個力與一個力系等效，稱該力是這個力系的合力！力螺旋力螺旋45靜力學空間力系簡化結(jié)果分析平衡

合力偶合力合力力螺旋力螺旋主矢(O)主矩(O)簡化結(jié)果靜力學3、空間任意力系的平衡充要條件是：所以空間任意力系的平衡方程為：

還有四矩式，五矩式和六矩式， 同時各有一定限制條件。靜力學空間匯交力系的平衡方程為： 因為各力線都匯交于一點，各軸都通過 該點，故各力矩方程都成為了恒等式?？臻g平行力系的平衡方程，設各力線都//z軸。

因為 均成為了恒等式。靜力學[例3.16]已知:P=2000N,C點在Oxy平面內(nèi)求：力P對三個坐標軸的矩解：①選研究對象；②畫受力圖；③選坐標列方程。靜力學靜力學此題訓練：①力偶不出現(xiàn)在投影式中②力偶在力矩方程中出現(xiàn)是把力偶當成矢量后，類似力在投影式中投影③力爭一個方程求一個支反力④了解空間支座反力[例3.18]曲桿ABCD,∠ABC=∠BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3

求：支座反力及m1=?靜力學解：靜力學[例3.20]已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N