第三章 靜力平衡問題(7學(xué)時(shí))

第三章靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦的平衡問題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問題3.1平面力系的平衡問題一、靜定與靜不定問題的概念我們學(xué)過：平面匯交力系 兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求兩個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。 一個(gè)獨(dú)立方程，只能求一個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。 力偶系平面任意力系三個(gè)獨(dú)立方程，只能求三個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。1)靜定問題完全約束住的n個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個(gè)平衡方程。若反力未知量是3n個(gè)，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題

--未知量數(shù)=獨(dú)立平衡方程數(shù)ABCF30如例1

系統(tǒng)

二根桿

六個(gè)平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個(gè)反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個(gè)，但B、C處約束力未知量也減少了二個(gè)。本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個(gè)物體

8個(gè)平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動(dòng)鉸、車輪接觸處各1

共8個(gè)反力，是靜定問題。如例3系統(tǒng)

三個(gè)物體

9個(gè)方程，反力只有8個(gè)。小車可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。CABWP2）靜不定問題或超靜定問題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨(dú)立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n<3n未完全約束

m=3n靜定問題

>3n靜不定問題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3nＣMAB討論：試判斷下列問題的靜定性。約束力數(shù)m=8

物體數(shù)n=3m<3n

未完全約束

m=6n=2m=3n靜定結(jié)構(gòu)

n=3m=1+2+2+4=9m=3n靜定結(jié)構(gòu)60

ABCDF1F2ABCFD靜力學(xué)[例]外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。物體系統(tǒng)（物系）：由若干個(gè)物體通過約束所組成的系統(tǒng)叫～。二、物體系統(tǒng)的平衡問題靜力學(xué)物系平衡的特點(diǎn)：

①物系靜止

②物系中每個(gè)單體也是平衡的。每個(gè)單體可列3個(gè)平衡方程，整個(gè)系統(tǒng)可列3n個(gè)方程（設(shè)物系中有n個(gè)物體）解物系問題的一般方法：

由整體局部（常用），由局部整體（用較少）[例3.1]

已知如圖P、Q，求平衡時(shí)=？地面的反力ND=？解：研究球受力如圖，選投影軸列方程為由②得由①得①②[例3.2]在CD上作用有一力偶，力偶矩的大小m=40N

m，求平衡時(shí)，A、B、C、D和E處的約束反力ABCDEm24032032026014030

解（1）受力分析ABCDEmRARBCDRCRDm（2）列平衡方程：對(duì)整體：求得：對(duì)CD桿：靜力學(xué)[例3.3]

已知：OA=R,AB=l,當(dāng)OA水平時(shí)，沖壓力為P時(shí)，求：①M(fèi)=？②O點(diǎn)的約束反力？③AB桿內(nèi)力？

④沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？

解：研究B靜力學(xué)[負(fù)號(hào)表示力的方向與圖中所設(shè)方向相反]再研究輪靜力學(xué)解：選整體研究受力如圖選坐標(biāo)、取矩點(diǎn)、Bxy,B點(diǎn)列方程為:

解方程得

①②③④

[例3.4]

已知各桿均鉸接，B端插入地內(nèi)，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，桿重不計(jì)。求AC桿內(nèi)力？B點(diǎn)的反力？靜力學(xué)

受力如圖取E為矩心，列方程解方程求未知數(shù)①②③④再研究CD桿靜力學(xué)[例3.5]

已知:P=100N.AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m且AB水平,ED鉛垂,BD垂直于斜面；

求?和A支座反力？(只用3個(gè)獨(dú)立方程)解：研究整體畫受力圖選坐標(biāo)列方程

靜力學(xué)再研究AB桿，受力如圖與SAB相關(guān)的D、B點(diǎn)和ED、AB桿靜力學(xué)解題步驟及解題技巧1、解物系問題的一般方法：

由整體局部（常用），由局部整體（用較少）2、由整體，把能求的力，當(dāng)作已知力（不一定要求出具體值），以便進(jìn)一步分析局部時(shí)，列出其他所需的方程。3、找二力桿，作突破口；4、正確畫出約束力（固定端-3個(gè)；鉸支-2個(gè)；滑槽/輥軸-1個(gè)）。

解題步驟：選研究對(duì)象------畫受力圖（受力分析）------選坐標(biāo)、取矩點(diǎn)、列平衡方程------解方程求出未知數(shù)解題技巧靜力學(xué)5、受平面任意力系作用的靜止（平衡）系統(tǒng)，能且只能列3個(gè)獨(dú)立方程，能且只能求解3個(gè)未知量。平面力偶系只有1個(gè)獨(dú)立方程。平面匯交或平行力系只有2個(gè)獨(dú)立方程。一個(gè)剛體（平面任意力系），提供3個(gè)方程，n個(gè)剛體提供3n個(gè)方程，能求解3n個(gè)未知量。對(duì)于題目要求的未知量，若方程不夠，可能是有些方程未找到。若多了，可能列出了不獨(dú)立方程或新增加了一些未要求的未知量，此時(shí)，盡量不要引入新的未知量，以簡化計(jì)算。不要出現(xiàn)局部1+局部2=3的問題。

靜力學(xué)6、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)。力系中各力在每個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零.兩坐標(biāo)軸不一定要垂直。只要不平行即可。力矩中心常選在未知力多或題目不要求的未知力的作用點(diǎn)處，以減少每個(gè)平衡方程中的未知量的數(shù)目。列矩方程注意矩心的限制條件。若方程數(shù)目等于未知量數(shù)目，但有些未知量解不出來，則可能是列出的方程可能與其他方程線性相關(guān)。7、平面匯交和力偶的題也可以用任意力系做，只是方程個(gè)數(shù)增加。問題1：不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)F1、F2之關(guān)系。問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計(jì)拱的重量，求A、

B處的約束力。bＣMABac4560

ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCFq2aaa45

問題1.

不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)

F1、F2之關(guān)系。4560

ABCDF1

F2FDFC

ME(F)=F2

AE-F1sin60

BE=0注意：BE=AB；AE=

AB可解得：

F2=......F12E

靜力學(xué)前面我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。[例]平衡必計(jì)摩擦

3.2含摩擦的平衡問題22靜力學(xué)1、定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)（趨勢）時(shí)，其接觸面產(chǎn)生阻止物體運(yùn)動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。（就是接觸面對(duì)物體作用的切向約束反力）

2、狀態(tài)：①靜止：

②臨界：（將滑未滑）

③滑動(dòng)：一、靜滑動(dòng)摩擦力所以增大摩擦力的途徑為：①加大正壓力N,②加大摩擦系數(shù)f

（f—靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)）（f'—?jiǎng)幽Σ料禂?shù)）23靜力學(xué)三、摩擦角：

①定義：當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值 時(shí)其全反力

與法線的夾角叫做摩擦角。 ②計(jì)算：24靜力學(xué)四、自鎖

①定義：當(dāng)物體依靠接觸面間的相互作用的摩擦力與正壓力（即全反力），自己把自己卡緊，不會(huì)松開（無論外力多大），這種現(xiàn)象稱為自鎖。

當(dāng) 時(shí)，永遠(yuǎn)平衡（即自鎖）②自鎖條件：25靜力學(xué)摩擦系數(shù)的測定：OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)使物塊剛開始下滑時(shí)測出a角，f=tga,(該兩種材料間靜摩擦系數(shù))③自鎖應(yīng)用舉例26

2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑

3.破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)）

1.木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時(shí)木楔打入后才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問題：1.木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時(shí)木楔打入后才不致退出？aa不計(jì)重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處于平衡，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對(duì)稱性)。臨界狀態(tài)有：

a=r;自鎖條件為：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN1問題：

2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在P力除去后工件不松，求偏心距e.自鎖條件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:e

fd/2aFROAFA

3.破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)）

二力平衡必共線。臨界狀態(tài):tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直徑aFRa

考慮摩擦?xí)r的平衡問題，一般是對(duì)臨界狀態(tài)求解，這時(shí)可列出 的補(bǔ)充方程。其它解法與平面任意力系相同。只是平衡場是一個(gè)范圍（從例子說明）。[例3.7]

已知：a=30o，G=100N，f=0.2求：①物體靜止時(shí)，水平力Q的平衡范圍。②當(dāng)水平力Q=60N時(shí)，物體能否平衡？五考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題30靜力學(xué)解：①先求使物體不致于上滑的圖(1)31靜力學(xué)同理：

②再求使物體不致下滑的圖(2)解得：平衡范圍應(yīng)是32靜力學(xué)[例3.12]

已知：B塊重Q=2000N，與斜面的摩擦角j=15°，A塊與水平面的摩擦系數(shù)f=0.4，不計(jì)桿自重。求：使B塊不下滑，物塊A最小重量。解：①研究B塊，若使B塊不下滑33靜力學(xué)②再研究A塊34摩擦小結(jié)：

1、列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮在內(nèi)；

2、解題方法：①解析法②幾何法

3、除平衡方程外，增加補(bǔ)充方程(一般在臨界平衡

4、解題步驟同前。 狀態(tài)計(jì)算）靜力學(xué)三、解題中注意的問題：

1、摩擦力的方向不能假設(shè)，要根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)趨勢來判斷。（只有在摩擦力是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向）

2、由于摩擦情況下，常常有一個(gè)平衡范圍，所以解也常常是力、尺寸或角度的一個(gè)平衡范圍。（原因是 和）35靜力學(xué)由物系的多樣化，引出僅由桿件組成的系統(tǒng)——桁架

§3-3平面靜定桁架靜力學(xué)工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學(xué)工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學(xué)工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學(xué)工程中的桁架結(jié)構(gòu)靜力學(xué)1.各桿件都用光滑鉸鏈相連接2.各桿件軸線都是直線，并通過鉸鏈中心3.所有外力(荷載及支座反力)都作用在節(jié)點(diǎn)上一、桁架簡化計(jì)算的假設(shè)工程上把幾根直桿連接的地方稱為節(jié)點(diǎn)故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點(diǎn)處受力的二力桿。桿內(nèi)力是沿桿的拉/壓力。靜力學(xué)桁架的優(yōu)點(diǎn)：輕，充分發(fā)揮材料性能。桁架的特點(diǎn)：①直桿，不計(jì)自重，均為二力桿；②桿端鉸接；

③外力作用在節(jié)點(diǎn)上。

力學(xué)中的桁架模型(基本三角形)

三角形有穩(wěn)定性(a)(b)(c)無余桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個(gè)節(jié)點(diǎn)均為匯交力系，有2n個(gè)平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和三個(gè)約束，m+3=2n，是靜定問題?；救切斡腥鶙U和三個(gè)節(jié)點(diǎn)，其余(n-3)個(gè)節(jié)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)二根桿，故無余桿桁架中桿數(shù)m和節(jié)點(diǎn)數(shù)n應(yīng)當(dāng)滿足：m=3+2(n-3),即m=2n-3顯然，無余桿桁架是靜定桁架。有余桿桁架（m>2n-3）則是靜不定的。AB123C45D67保證桁架形狀的必要條件：以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加二根桿件。F討論下列桁架及問題的靜定性桿數(shù)m=7節(jié)點(diǎn)數(shù)n=5m=2n-3靜定桁架約束力3

靜定問題

靜定桁架，反力4一次靜不定問題

桿數(shù)m=6節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4m-(2n-3)=1靜不定桁架約束力3

一次靜不定

m-(2n-3)=2靜不定桁架，約束力4

三次靜不定問題

F靜力學(xué)取各節(jié)點(diǎn)為考察對(duì)象二、平面桁架平衡時(shí)各桿的內(nèi)力計(jì)算1、節(jié)點(diǎn)法

節(jié)點(diǎn)法就是假想將某節(jié)點(diǎn)周圍的桿件割斷，取該節(jié)點(diǎn)為考察對(duì)象，建立其平衡方程，以求解桿件內(nèi)力的一種方法。靜力學(xué)1)約定各桿內(nèi)力為拉力30°30°30°30°aFPFPFPIGDBAHECaaaFIyFACFPFNCAFNCBFNCDFNCExy2)各節(jié)點(diǎn)上的力系都是平面匯交力系靜力學(xué)解：①研究整體，求支座反力已知：如圖

P=10kN，求各桿內(nèi)力？[例3.13]②依次取A、C、D節(jié)點(diǎn)研究，計(jì)算各桿內(nèi)力。靜力學(xué)節(jié)點(diǎn)D的另一個(gè)方程可用來校核計(jì)算結(jié)果恰與相等,計(jì)算準(zhǔn)確無誤。靜力學(xué)2、截面法用適當(dāng)?shù)慕孛鎸㈣旒芙亻_，取其中一部分為研究對(duì)象，建立平衡方程，求解被切斷桿件內(nèi)力的一種方法。截取的部分上的力系是平面一般力系解：研究整體求支反力①[例3.14]已知：如圖，h,a,P.

求:4,5,6桿的內(nèi)力。②選截面I-I，取左半部研究IIA'靜力學(xué)FP123AKBCDEOGHIJa4×ah

[例3.15]：試求平面桁架中1、2、3桿的內(nèi)力。靜力學(xué)FP123AKBCDEOGHIJmma4×ahKOHIJFK123KOGHIJFKFN1FN2FN3截面法中所用的截面可以是曲面.靜力學(xué)三桿節(jié)點(diǎn)無載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零桿四桿節(jié)點(diǎn)無載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿內(nèi)力等值、同性。兩桿節(jié)點(diǎn)無載荷、且兩桿不在一條直線上時(shí)，該兩桿是零桿。三、特殊桿件的內(nèi)力判斷①②③靜力學(xué)一、力在空間軸上的投影與分解：

1.力在空間的表示：

力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)(線)

大?。? 作用點(diǎn)：在物體的哪點(diǎn)就是哪點(diǎn) 方向：由、、g三個(gè)方向角確定 由仰角

與俯角

來確定。bgqFxyO3.4空間力系的平衡問題靜力學(xué)2、一次投影法（直接投影法）由圖可知：3、二次投影法（間接投影法）

當(dāng)力與各軸正向夾角不易確定時(shí)，可先將F投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即靜力學(xué)4、力沿坐標(biāo)軸分解：若以 表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，則：

而：所以：FxFyFz靜力學(xué)3、合力投影定理：

空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。在平面中：力對(duì)點(diǎn)的矩是代數(shù)量。在空間中：力對(duì)點(diǎn)的矩是矢量。

1、力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量表示如果r表示A點(diǎn)的矢徑，則：四，空間力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩靜力學(xué)即：力對(duì)點(diǎn)的矩等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。兩矢量夾角為O靜力學(xué)定義： 它是代數(shù)量，方向規(guī)定+–2、力對(duì)軸的矩結(jié)論：力對(duì)//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。[證]靜力學(xué)力對(duì)//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。

定理：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的任意軸上的投影等于這力對(duì)于該軸的矩。這就是力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)通過該點(diǎn)軸之矩的關(guān)系。

3、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系又由于把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為空間坐標(biāo)系。

設(shè)作用在剛體上有空間一般力系向O點(diǎn)簡化（O點(diǎn)任選）1，空間力系向一點(diǎn)的簡化五，空間力系的合成與平衡靜力學(xué)①根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬到O點(diǎn)得到一空間匯交力系：和附加力偶系

[注意] 分別是各力對(duì)O點(diǎn)的矩。②由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點(diǎn)。靜力學(xué)③合成 得主矢即 （主矢過簡化中心O，

且與O點(diǎn)的選擇無關(guān)）合成 得主矩即： （主矩與簡化中心O有關(guān)）靜力學(xué)若取簡化中心O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則：

主矢大小

主矢方向主矩大小為：

主矩方向： 靜力學(xué)主矢：作用在簡化中心，大小和方向卻與中心的位置無關(guān)；主矩：作用在該剛體上，大小和方向一般與中心的位置有關(guān)。思考：主矢,主矩與簡化中心的位置有無關(guān)系?靜力學(xué)固定端約束平面：

空間：

靜力學(xué)若簡化中心為O1點(diǎn)，如何?12.簡化結(jié)果分析靜力學(xué)若簡化中心為O1點(diǎn)，如何?2靜力學(xué)OO’合力3如果一個(gè)力與一個(gè)力系等效，稱該力是這個(gè)力系的合力！力螺旋力螺旋45靜力學(xué)空間力系簡化結(jié)果分析平衡

合力偶合力合力力螺旋力螺旋主矢(O)主矩(O)簡化結(jié)果靜力學(xué)3、空間任意力系的平衡充要條件是：所以空間任意力系的平衡方程為：

還有四矩式，五矩式和六矩式， 同時(shí)各有一定限制條件。靜力學(xué)空間匯交力系的平衡方程為： 因?yàn)楦髁€都匯交于一點(diǎn)，各軸都通過 該點(diǎn)，故各力矩方程都成為了恒等式?？臻g平行力系的平衡方程，設(shè)各力線都//z軸。

因?yàn)? 均成為了恒等式。靜力學(xué)[例3.16]已知:P=2000N,C點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)求：力P對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的矩解：①選研究對(duì)象；②畫受力圖；③選坐標(biāo)列方程。靜力學(xué)靜力學(xué)此題訓(xùn)練：①力偶不出現(xiàn)在投影式中②力偶在力矩方程中出現(xiàn)是把力偶當(dāng)成矢量后，類似力在投影式中投影③力爭一個(gè)方程求一個(gè)支反力④了解空間支座反力[例3.18]曲桿ABCD,∠ABC=∠BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3

求：支座反力及m1=?靜力學(xué)解：靜力學(xué)[例3.20]已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N