2024年1月“七省聯(lián)考”考前押題預(yù)測數(shù)學(xué)試卷02（新高考地區(qū)）解析版

PAGEPAGE12024年1月“七省聯(lián)考”考前押題預(yù)測卷02（新高考地區(qū)）數(shù)學(xué)一、選擇題1．集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，即.故選：C2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，則，所以.故選：A.3．展開式中項的系數(shù)為（）A. B. C.20 D.240〖答案〗D〖解析〗展開式通項由，可得，則，則展開式中項的系數(shù)為240.故選：D4．函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，對于函數(shù)，有函數(shù)，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除A?B；當(dāng)時，，則恒有，排除D；故選：C.5．中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是正四棱臺，，，側(cè)面以及對角面為等腰梯形，故，，，所以，所以該四棱臺的體積為，故選：B.6．公元9世紀(jì)，阿拉伯計算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用csc（角）表示，則（）A. B. C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗依題意，角可視為某直角三角形的內(nèi)角，由銳角三角函數(shù)定義及已知得，所以.故選：C7．已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則為R上可導(dǎo)的奇函數(shù)，，由題意得，得，所以，，又，即，所以，等式兩邊對x求導(dǎo)，得，令，，所以.由，兩邊對x求導(dǎo)，，所以的周期為4，所以，因為，所以，所以.故選：B8．如圖，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點分別為，則，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故選：D.二、選擇題9．2023年10月3日第19屆杭州亞運會跳水女子10米跳臺迎來決賽，中國“夢之隊”包攬了該項目的冠亞軍.已知某次跳水比賽中運動員五輪的成績互不相等，記為，平均數(shù)為，若隨機刪去其任一輪的成績，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，下面說法正確的是（）A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差D.若，則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗對于A中，若隨機刪去任一輪的成績，恰好不是最高成績和最低成績，此時新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差，所以A正確；對于B中，不妨假設(shè)，當(dāng)時，若隨機刪去的成績是，此時新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以B正確；對于C中，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，根據(jù)方差的計算公式，分子不變，分母變小，所以方差會變大，所以C正確；對于D中，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，在按從小到大的順序排列的5個數(shù)據(jù)中，因為，此時原數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二數(shù)和第三個數(shù)的平均數(shù)；刪去一個數(shù)據(jù)后的4個數(shù)據(jù)，從小到大的順序排列，可得，此時新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二個數(shù)，顯然新數(shù)據(jù)的分位數(shù)小于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)，所以D錯誤.故選：ABC.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）A.的圖象關(guān)于中心對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)圖象所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象〖答案〗ABD〖解析〗由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達式為，對于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.11．已知是圓上一點，是圓上一點，則（）A.的最小值為2B.圓與圓有4條公切線C.當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為D.當(dāng)時，點到直線的距離小于2〖答案〗AB〖解析〗的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，圓與圓外離，因此的最小值為，圓與圓有4條公切線，AB正確；直線的方程為，代入，得，當(dāng)取得最小值時，為線段與圓的交點，因此點的坐標(biāo)為，C錯誤；過點作圓的切線，切點為，則，當(dāng)為線段的延長線與圓的交點，且點與重合時，，此時點到直線的距離等于，D錯誤.故選：AB12．已知正四面體的棱長為2，下列說法正確的是（）A.正四面體的外接球表面積為B.正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值C.正四面體的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為D.正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的體積最大值為〖答案〗ABD〖解析〗A.棱長為2的正四面體的外接球與棱長為的正方體的外接球半徑相同，設(shè)為R，則：，所以，所以A對.B.設(shè)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離分別為，，，，設(shè)正四面體的高為d，由等體積法可得：，所以為定值，所以B對.C.設(shè)中點為D，連接，，則，則為所求二面角的平面角，，所以，所以正弦值為，所以C錯.D.要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時，正四面體的體積最大值，由于正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，所以正四面體的外接球半徑為，設(shè)正四面體的邊長為a，則，所以，故體積，所以D對.故選：ABD.三、填空題13．已知等差數(shù)列前3項和，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差_______________．〖答案〗或〖解析〗由，可知，即，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或，故〖答案〗為：或214.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為________．〖答案〗〖解析〗由，得，又，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故〖答案〗為：15.正三棱臺中，，，點，分別為棱，的中點，若過點，，作截面，則截面與上底面的交線長為________．〖答案〗〖解析〗連接并延長交的延長線于點，連接交于點，連接，如圖，則線段即為截面與上底面的交線，因為F為的中點，，所以過點E作的平行線交于點，因為，，所以，在中，.故〖答案〗為：16．已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為________.〖答案〗〖解析〗由，且，令，則，即在上遞增，所以在上遞增，又，，，，所以，使，且時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，所以由，得，令函數(shù)，，所以在上是增函數(shù)，注意到，所以，所以.故〖答案〗為：四、解答題17．已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前和.解：（1）由得，則，解得，當(dāng)時，，所以，整理得，因為是正項數(shù)列，所以，所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，.（2）由（1）可得，，所以，所以.18．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）若，求的最大值．解：（1）因為，所以，所以，，因為，，所以（舍），或，所以．（2）要使不等式恒成立，只需要即可，由（1）可知，，∴由正弦定理得，，因為，所以A，B都為銳角，又因為，所以．所以時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最小值為，由，得即．所以的最大值為2．19．如圖，底面ABCD是邊長為2的菱形，，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成的角為.（1）求證：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.（1）證明：∵平面ABCD，平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形，∴.∵，∴平面BDE，設(shè)AC，BD交于O，取BE的中點G，連FG，OG，，，四邊形OCFG是平行四邊形，平面BDE∴平面BDE，又因平面BEF，∴平面平面BDE.（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系∵BE與平面ABCD所成的角為，，，，，，.，設(shè)平面BEF法向量為，，，設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為..20．“村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男?女同學(xué)各50名進行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計男生20女生15合計100附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（2）社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點射門.據(jù)統(tǒng)計，這兩名男生進球的概率均為，這名女生進球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人進球相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計男生302050女生153550合計4555100零假設(shè)：該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別無關(guān)，的觀測值為，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).（2）依題意，的所有可能取值為，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期.21．已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，與有公切線，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，可得，當(dāng)時，可得時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，可得時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減.（2）設(shè)公切線與和的切點分別為，可得，可得切線方程為，即，即由，可得，則，所以切線方程為所以，可得，設(shè)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為，又由當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以時，即實數(shù)取值范圍為.22．已知橢圓T：，其上焦點F與拋物線K：的焦點重合.（1）若過點F的直線交橢圓T于點A、B，同時交拋物線K于點C、D（如圖1所示，點C在橢圓與拋物線第一象限交點上方），試證明：線段AC大于BD長度的大?。唬?）若過點F的直線交橢圓