廣東省深圳市南山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省深圳市南山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗或，故或=.故選：B2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A.2 B. C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意由可得，可得，所以.故選：D3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，對(duì)稱(chēng)軸，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴上單調(diào)遞增，且，∴且，即且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.4.已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，將兩邊平方可得；可得，可得；設(shè)與的夾角為，則，所以.故選：C5.龍洗作為我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故得其名.龍洗的盆體可近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高，盆口直徑盆底直徑盆內(nèi)倒?jié)M水，若不考慮盆體厚度，則盆內(nèi)水的體積近似為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題，，，高，.故選：B.6.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗變形為，故直線過(guò)定點(diǎn)，的圓心為，半徑為3，則當(dāng)⊥時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：C7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得函數(shù)的最小正周期，∴，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則且，則且，即，又，則取，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.2〖答案〗A〖解析〗，，且，令函數(shù)，因?yàn)槠涠x域?yàn)椋遥以谏暇鶈握{(diào)遞增，則為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且，，即，顯然.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題9.下列命題中，為真命題的有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即A正確；對(duì)于B，對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即命題不成立，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知當(dāng)時(shí)，，即，所以D正確.故選：AD10.已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為和，則下列結(jié)論正確的為（）A.甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B.甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會(huì)大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D.甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)：若甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，且5個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列為：時(shí)；那么乙組樣本數(shù)據(jù)的大小排列為：，此時(shí)乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故用反例法證明了A選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)于B選項(xiàng)：甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……①甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……②①②式相等，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)分三種情況討論：情況一：變化只改變了最大值，即……③由不等式性質(zhì)對(duì)上式變形有：……④④說(shuō)明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況二：變化只改變了最小值，即……⑤對(duì)⑤式利用不等式變形有：……⑥⑥說(shuō)明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況三：變化改變了最大值與最小值，即……⑦；……⑧對(duì)⑦利用不等式變形有：……⑨⑧⑨有：……⑩⑩說(shuō)明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；綜上所述：只能得到甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)甲組數(shù)據(jù)的分別為；那么乙組數(shù)據(jù)的分別為；此時(shí)有；故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述應(yīng)選B.故選：B.11.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)（其中），與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.為中點(diǎn)〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，則，可得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由A選項(xiàng)可知拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，不妨設(shè)，由圖可知，，則，所以，，解得，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，所以，，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，D對(duì).故選：BD.12.已知數(shù)列的首項(xiàng)不為零，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的為（）A.不可能為常數(shù)列B.C.當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則的公比唯一〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，若為常數(shù)列，則，且，所以，即由，所以，顯然為常數(shù)，則為常數(shù)，矛盾，所以不可能為常數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，所以，所以，整理得①，?dāng)時(shí)，由①得，所以，所以，或，所以不一定為等差數(shù)列，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，，設(shè)的公比為，則，由①得，整理得②，（i）當(dāng)時(shí)，②顯然不成立；（ii）當(dāng)時(shí)，由②得；（iii）當(dāng)時(shí)，由②得，因?yàn)槭浅?shù)，所以為常數(shù)列，所以，與矛盾，故若為等比數(shù)列，則的公比，即的公比唯一，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.三?填空題13.若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.已知，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，得，則，因?yàn)椋?，所以，故〖答案〗為：?5.著名數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個(gè)大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫(xiě)成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗，可得，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個(gè)，則十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的有共5個(gè)，所以的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為.故〖答案〗為：.16.已知菱形的邊長(zhǎng)為2，且，將沿直線翻折為，記的中點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，三棱錐的外接球表面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可知，如下圖所示：當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，即取得最大值，可得，由對(duì)稱(chēng)性可知，可得；又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，由勾股定理可知棱兩兩垂直，所以三棱錐的外接球半徑為，可得該外接球的表面積，故〖答案〗為：.四?解答題17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，且，求的面積.解：（1），由題意得，，解得.（2）方法一：，由（1）可知，在中，由正弦定理，得，，，的面積.方法二：，由（1）可知，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，得，，解得，，，∴，的面積.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，的通項(xiàng)公式為.（2），則，，則，，又，.19.如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，且，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，不妨設(shè)，，在直角三角形中，，，，平面，平面，，在三棱臺(tái)中，，；（2）解：方法一：空間向量法以為原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，得，平行于軸，取的方向向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.方法二：幾何法，直線與平面所成角等于直線與平面所成角，設(shè)為，由（1）得平面，平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，則平面，，在中，，由（1）得平面，平面，，在中，，由，得，，直線與平面所成角的正弦值為.20.已知定義在上的函數(shù).（1）若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.（1）解：，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，則，在上單調(diào)遞減，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）證明：只需證明：當(dāng)時(shí)，恒成立，即證當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.21.已知在一個(gè)不透明的盒中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗(yàn)的規(guī)則如下：試驗(yàn)者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個(gè)小球，從第一輪開(kāi)始，若試驗(yàn)者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗(yàn)成功，并停止試驗(yàn).否則再將一個(gè)黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進(jìn)行下一輪試驗(yàn).（1）若規(guī)定試驗(yàn)者甲至多可進(jìn)行三輪試驗(yàn)（若第三輪不成功，也停止試驗(yàn)），記甲進(jìn)行的試驗(yàn)輪數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若規(guī)定試驗(yàn)者乙至多可進(jìn)行輪試驗(yàn)（若第輪不成功，也停止試驗(yàn)），記乙在第輪使得試驗(yàn)成功的概率為，則乙能試驗(yàn)成功的概率為，證明：.（1）解：由題意得，的可能取值為，在第一輪中，試驗(yàn)者每次抽到白球的概率為，，依題意，在第二輪中，盒中有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球和一個(gè)黃球，每次摸到白球的概率為，，易知，的分布列為：123的數(shù)學(xué)期望.（2）證明：當(dāng)時(shí)，不難知道，，，由（1）可知，又，，.即.22.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與它到定點(diǎn)的距離之比為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）記與軸的上?下半軸的交點(diǎn)依次為，若為上異于的一點(diǎn)，且直線分別交直線于兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（異于）.（i）求直線的斜率之積；（ii）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).（1）解：