數(shù)學(xué)-專項09 二次函數(shù)拋物線與三角形存在性問題（原版）

專題09二次函數(shù)拋物線與三角形存在性問題（原卷版）類型一二次函數(shù)與等腰三角形1．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x＝1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積最大，若存在，求出點F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐標(biāo)．（4）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P，C，A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．2．（2019?黃岡）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四點，動點M以每秒2個單位長度的速度沿B→C→D運動（M不與點B、點D重合），設(shè)運動時間為t（秒）．（1）求經(jīng)過A、C、D三點的拋物線的解析式；（2）點P在（1）中的拋物線上，當(dāng)M為BC的中點時，若△PAM≌△PBM，求點P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)M在CD上運動時，如圖②．過點M作MF⊥x軸，垂足為F，ME⊥AB，垂足為E．設(shè)矩形MEBF與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（4）點Q為x軸上一點，直線AQ與直線BC交于點H，與y軸交于點K．是否存在點Q，使得△HOK為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

類型二二次函數(shù)與直角三角形3．（2022?呼和浩特）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c經(jīng)過點B（4，0）和點C（0，2），與x軸的另一個交點為A，連接AC、（1）求拋物線的解析式及點A的坐標(biāo)；（2）如圖1，若點D是線段AC的中點，連接BD，在y軸上是否存在點E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸，分別交BC、x軸于點M、N，當(dāng)△PMC中有某個角的度數(shù)等于∠OBC度數(shù)的2倍時，請求出滿足條件的點P的橫坐標(biāo)．4．（2019?廣西）如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線C1上時，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖，已知拋物線C1：y1=14x2+x與C2：y2＝ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點A，B分別是拋物線C1，C2的頂點，拋物線C2經(jīng)過點（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請求出點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

5．（2021?鄖西縣校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是拋物線上的一個動點．（1）求直線BD的解析式；（2）當(dāng)點P在第一象限時，求四邊形BOCP面積的最大值，并求出此時P點的坐標(biāo)；（3）在點P的運動過程中，是否存在點P，使△BDP是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型三二次函數(shù)與等腰直角三角形6．（2020?岳陽）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線F1：y＝a（x?25）2+6415與x軸交于點A（?65，0）和點（1）求拋物線F1的表達式；（2）如圖2，將拋物線F1先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線F2，若拋物線F1與拋物線F2相交于點D，連接BD，CD，BC．①求點D的坐標(biāo)；②判斷△BCD的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，拋物線F2上是否存在點P，使得△BDP為等腰直角三角形，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

7．（2022?黔東南州一模）拋物線y＝ax2+bx?32經(jīng)過點（1，﹣1），現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如圖的方式放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A、C坐標(biāo)分別為（0，2）、（﹣1，0）．B點在拋物線y＝ax2+b