兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角公式

兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角公式、三角恒等式證明基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．兩角和的余弦公式的推導(dǎo)方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝;tan(α±β)＝.3．公式的變式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1－tanαtanβ＝4．常見的角的變換：2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α－)－(－β)；＝5.二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.6．公式的變用：1＋cos2α＝；1－cos2α＝．7．三角函數(shù)式的化簡的一般要求：①函數(shù)名稱盡可能少；②項(xiàng)數(shù)盡可能少；③盡可能不含根式；④次數(shù)盡可能低、盡可能求出值．8．常用的基本變換方法有：異角化同角、異名化同名、異次化同次．9．求值問題的基本類型及方法①“給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時(shí)應(yīng)該仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，通常是將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或相互抵消等方法進(jìn)行求解．②“給值求值”即給出某些角的三角函數(shù)（式）的值，求另外的一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于：變角，使其角相同；③“給值求角”關(guān)鍵也是：變角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．10．三角恒等式的證明實(shí)質(zhì)是通過恒等變形，消除三角恒等式兩端結(jié)構(gòu)上的差異（如角的差異、函數(shù)名稱的差異等）．11．證三角恒等式的基本思路是“消去差異，促成同一”，即通過觀察、分析，找出等式兩邊在角、名稱、結(jié)構(gòu)上的差異，再選用適當(dāng)?shù)墓剑ゲ町?，促進(jìn)同一．12．證明三角恒等式的基本方法有：⑴化繁為簡；⑵左右歸一；⑶變更問題．13．三角條件等式的證明就是逐步將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為結(jié)論等式的過程，須注意轉(zhuǎn)化過程確保充分性成立．14．三角條件等式的證明，關(guān)鍵在于仔細(xì)地找出所附加的條件和所要證明的結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，其常用的方法有：⑴代入法：就是將結(jié)論變形后將條件代入，從而轉(zhuǎn)化為恒等式的證明．⑵綜合法：從條件出發(fā)逐步變形推出結(jié)論的方法．⑶消去法：當(dāng)已知條件中含有某些參數(shù)，而結(jié)論中不含這些參數(shù)，通過消去條件中這些參數(shù)達(dá)到證明等式的方法．⑷分析法：從結(jié)論出發(fā)，逐步追溯到條件的證明方法，常在難于找到證題途徑時(shí)用之．典型例題典型例題例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.變式訓(xùn)練1：(1)已知∈(,)，sin=,則tan()等于（）A.B.7C.－D.－7(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－B.C.－D.例2.已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．變式訓(xùn)練2：設(shè)cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.例3.若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.例4．化簡sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.變式訓(xùn)練4：化簡：（1）sin+cos;(2）.小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．三角函數(shù)式的化簡、求值、證明等是三角變形常見的題型，三角函數(shù)式變形的過程就是分析矛盾、發(fā)現(xiàn)差異，進(jìn)而消除差異的過程。在這一過程中須仔細(xì)觀察到式子中各項(xiàng)的角、函數(shù)名稱及運(yùn)算式子的差異，找出特征，從中找到解題的突破口。對于角與角之間的關(guān)系，要充分應(yīng)用角的恒等變換，以整體角來處理和解決有關(guān)問題，這樣可以避免一些較復(fù)雜的計(jì)算，如：2α＋β=α+(α＋β)等．2．在應(yīng)用過程中要能靈活運(yùn)用公式，并注意總結(jié)公式的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。對一些公式不僅會(huì)正用，還要會(huì)逆用、變形用，如正切的和角公式的變形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外還要能對形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函數(shù)式要?jiǎng)?chuàng)造條件使用公式．例5.求值：變式訓(xùn)練5：(cos＋sin)＝（）A．－B．－C．D．例6．已知α為銳角，且，求的值.變式訓(xùn)練6：化簡：例7．已知；(1)求的值；(2)設(shè)，求sinα的值．變式訓(xùn)練7：已知sin()＝，求cos()的值．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．二倍角公式是和角公式的特殊情況，在學(xué)習(xí)時(shí)要注意它們之間的聯(lián)系；2．要理解二倍角的相對性，能根據(jù)公式的特點(diǎn)進(jìn)行靈活應(yīng)用(正用、逆用、變形用)．3．對三角函數(shù)式的變形有以下常用的方法：①降次（常用降次公式）②消元（化同名或同角的三角函數(shù)）③消去常數(shù)“1”或用“1”替換④角的范圍的確定例8.（1）化簡：（2）化簡：變式訓(xùn)練8：已知，若，則可化簡為．例9.已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．變式訓(xùn)練9：在△ABC中，，，，求A和△ABC的面積．例10.已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.例11．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．變式訓(xùn)練11：已知（<α<），試用k表示sin－cos的值．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．三角函數(shù)的化簡與求值的難點(diǎn)在于：眾多的公式的靈活運(yùn)用和解題突破口的選擇，認(rèn)真分析所給式子的整體結(jié)構(gòu)，分析各個(gè)三角函數(shù)及角的相互關(guān)系是靈活選用公式的基礎(chǔ)，是恰當(dāng)尋找解題思維起點(diǎn)的關(guān)鍵所在;2．要熟悉角的拆拼、變換的技巧，倍角與半角的相對性，熟悉幾種常見的入手方式：①變換角度②變換函數(shù)名③變換解析式結(jié)構(gòu)3．求值常用的方法：切割化弦法、升冪降冪法、輔助元素法、“1”的代換法等．例12．求證：＝變式訓(xùn)練12：求證：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α例13．求證：變式訓(xùn)練13：已知2tanA＝3tanB，求證：tan(A－B)＝．例14.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求證：sinA＋sinC＝2sinB．變式訓(xùn)練14：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求證：2cos2α＝cos2β．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．證明三角恒等式的基本思路，是根據(jù)等式兩端的特征通過三角恒等變換，應(yīng)用化