（全國通用）中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題15 三角形及其性質(zhì)（14個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版+解析）

專題15三角形及其性質(zhì)（14個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）【考點(diǎn)1三角形的三邊關(guān)系】1．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（

）A．1cm，2cm，3cm B．3cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm2．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）方程x2A．10 B．11 C．12 D．10或113．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如果2、5、m是某三角形三邊的長，則(m4．（2022·山東棗莊·二模）問題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC=4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE=AD，連接BE，證明△BED≌△CAD；請回答：(1)小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：；(2)AD的取值范圍是；(3)方法運(yùn)用：如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．(4)如圖3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且EFBE＝12，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，5．（2022·河北·模擬預(yù)測）閱讀材料：若m2?2mn+2n解：∵∴根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)a2+b2+6a?2b+10=0，則a＝(2)已知x2+2y(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+【考點(diǎn)2三角形的角平分線、中線、高】6．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的9×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．(1)在圖1中按下列步驟完成畫圖．①畫出△ABC的高CD；②畫△ACD的角平分線AE；③畫點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′(2)如圖2，P是網(wǎng)格線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的線段MN分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，且PM=PN，畫出線段MN．7．（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）如圖在5×5的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示）(1)在圖1中畫出△ABC的中線AD；(2)在圖2中畫線段CE，點(diǎn)E在AB上，使得S△ACE：S(3)在圖3中畫出△ABC的外心點(diǎn)O．8．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，以BC為底邊的等腰△BCD按如圖所示的位置擺放，且∠DBC=∠ABC．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作出△ABC的中線CM；(2)在圖2中作出△ABC的中線BN．9．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中線BD把△ABC的周長分成兩部分的比是8：7，求邊AB，AC的長．10．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE//BC．（1）如圖1，如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝8，求DE的長；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的長．【考點(diǎn)3三角形的內(nèi)角和定理】11．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．(1)如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點(diǎn)M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝62，ED＝12，求EM的長．12．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．14．（2022·福建·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△BDE都是等腰三角形，AB=BC，BD=BE，∠BAC=∠BDE，連接AD，CE【考點(diǎn)4三角形的外角性質(zhì)】16．（2022·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．(1)求證：BE=AD；(2)求∠BPQ的度數(shù)；(3)若PQ=3，PE=1，求AD的長．17．（2022·安徽合肥·合肥市廬陽中學(xué)?？既＃┤鐖D，△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D、E分別是直線BC、AC邊上的點(diǎn)，直線AD、BE交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若∠AFE=α=60°，則BEAD(2)如圖2，若∠AFE=α=45°，求BEAD(3)如圖3，若∠AFB=α，cosα=51218．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求證：CE=CM．(2)若AB=4，求線段FC的長．19．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖(1)如圖甲，已知：在ΔABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB(2)如圖乙，已知：在ΔABC中，∠A=45°，∠B=15°，AC=1，求AB20．（2022·江蘇鹽城·?？既＃?）[問題情境]小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個(gè)圖形：如圖1，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、AB為底邊在線段AB的同側(cè)作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于點(diǎn)D．當(dāng)P、Q、B在同一直線上時(shí)，他發(fā)現(xiàn)：∠PAQ=∠CPB．請幫他解釋其中的道理；（2）[問題探究]如圖2，在上述情境下中的條件下，過點(diǎn)C作CE∥AP交PB于點(diǎn)E，若PD=2CD，PA=9，求（3）[類比應(yīng)用]如圖3，△ABC是某村的一個(gè)三角形魚塘，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，AE、CD的交點(diǎn)F為魚塘的釣魚臺，測量知道∠CAD=∠CDA=67.5°，∠CEA=2∠B，AD2=40000?200002【考點(diǎn)5等腰三角形的判定與性質(zhì)】21．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延長CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的證明過程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD的長．22．（2022·山東威海·統(tǒng)考中考真題）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．23．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，點(diǎn)P在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：△ABP≌△ECP；(2)將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點(diǎn)B′落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長PB′①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；②連接B′C，求③如圖2，BB′交AE于點(diǎn)H，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，當(dāng)∠EAB′=2∠AE24．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．(1)如圖1，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；(2)將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α?xí)r①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)F，交DA的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）(1)如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB,AC,BC上的點(diǎn)，DE∥BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)G，求證：(2)如圖2，在（1）的條件下，連接CD,CG．若CG⊥DE,CD=6,AE=3，求DEBC(3)如圖3，在?ABCD中，∠ADC=45°,AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F．若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10，求【考點(diǎn)6等邊三角形的判定與性質(zhì)】26．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，AC與BD都是直線l的垂線段，且BD在AC的右側(cè)，BD=2AC，AD與BC相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接CD，則△BCD的形狀為______，AOAD(2)若將BD沿直線l平移，并以AD為一邊在直線l的上方作等邊△ADE．①如圖2，當(dāng)AE與AC重合時(shí)，連接OE，若AC=32，求②如圖3，當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，連接EC并延長交直線l于點(diǎn)F，連接OF．求證：OF⊥AB．27．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，寫出PG與PC的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時(shí)，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．28．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA=6，斜邊OB=10，點(diǎn)P為線段AB上一動點(diǎn)．(1)請直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若動點(diǎn)P滿足∠POB=45°，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，當(dāng)PA'⊥OB時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)如圖3，若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF=2，連接FP，將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時(shí)，請直接寫出OG的最小值和此時(shí)線段FP掃過的面積．29．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+A30．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E，使DE=DB，延長ED交AB于點(diǎn)F，探究AFAB(1)先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，直接寫出AFAB(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，CGBC=1nn<2，延長BC至點(diǎn)E，使DE=DG，延長ED交AB于點(diǎn)F【考點(diǎn)7含30度角的直角三角形的性質(zhì)】31．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA=60°，則A．23 B．12 C．3232．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△AB′C′，B′C′交AB于點(diǎn)E，則B′E=________．33．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=30°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在邊AB上時(shí)，點(diǎn)C′在34．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2，點(diǎn)P為斜邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A．B重合），過點(diǎn)P作PD⊥AC,PE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，連接DE,PC交于點(diǎn)Q，連接AQ，當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，AP的長是_____________35．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）【考點(diǎn)8角平分線的判定與性質(zhì)】36．（2022·重慶沙坪壩·重慶一中?？级＃┰凇鰽BC中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD,BD平分∠ABC，將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段DE．(1)如圖1，E在線段BC上時(shí)，若∠BAC=90°,AD=2,DE=3(2)如圖2，若E與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G,F分別為線段AB、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)M、H分別為GD,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在DF的延長線上，且DN=BG,∠BDN=3∠ABD，求證：BN=2MH；(3)如圖3，若射線DE過BC中點(diǎn)H,BC=6,tan∠ACB=12,∠ABC<2∠ACB，將△BHD沿DE翻折到同一平面內(nèi)得到△B′HD，過B′做B′K垂直于直線AC37．（2022·河南安陽·統(tǒng)考二模）【閱讀】通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度大小進(jìn)行比較，直觀地得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．【理解】（1）如圖1，∠MAN=120°，AC平分∠MAN,CD⊥AM,CB⊥AN，求證：AB+AD=AC．【拓展】（2）如圖2，其他條件不變，將圖1中的∠DCB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，CD交MA的延長線于點(diǎn)D，CB交射線AN于點(diǎn)B，寫出線段AD，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．【應(yīng)用】（3）如圖3，△ABC為等邊三角形，AB=4，P為BC邊的中點(diǎn)，∠MPN=120°，將∠MPN繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動使射線PM交直線AC于點(diǎn)M，射線PN交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)AM=8時(shí)，請直接寫出AN的長．38．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．(1)只用不帶刻度的直尺，在AC邊上找一點(diǎn)D，使得D到AB、BC兩邊距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)D到AB的距離是．39．（2022秋·四川廣元·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，BD為ΔABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．求證：(1)ΔABD?(2)AE=CE；(3)BA+BC=2BF．40．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，∠C的角平分線交邊AB于D點(diǎn)，BD=2，(1)請求出AC的長；(2)如圖2，E為CD上的一個(gè)動點(diǎn)，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G點(diǎn)，連接AF，當(dāng)E點(diǎn)在CD間運(yùn)動時(shí)，請判斷EFAE(3)在（2）的條件下，若AE=EC，請求出△EGC的面積．【考點(diǎn)9垂直平分線的判定與性質(zhì)】41．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥(1)求證：△ABE≌△FMN；(2)若AB=8，AE=6，求ON的長．42．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）如圖，在△ABC中，AH⊥BC，垂足為H，且BH=CH，E為BA延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BC，分別交BC,AC于F，M．(1)求證∠B=∠C；(2)若AB=5,AH=3,AE=2，求MF的長．43．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線BA、直線AC上，AF垂直平分DE，交直線BE于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上，點(diǎn)E在AC邊上時(shí)，如圖①，易證：CD+DF=BF．(1)當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在CA延長線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上，點(diǎn)E在AC延長線上時(shí)，如圖③，請直接寫出線段CD，DF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并對圖②給予證明；(2)在（1）條件下，若S△ADF=2S△ABE，CD=544．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=2，AD平分∠BAC．點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動點(diǎn)，EF垂直平分BP于E，交AD于點(diǎn)F(1)如圖1，連接FP和FC，求證：FP=FC；(2)如圖2，取PC的中點(diǎn)M；①連接EA，MF，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，設(shè)四邊形EFMA的面積為S，AP=x，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)線段EF取最小值時(shí)，求證：四邊形EFMP是矩形．45．（2022·北京豐臺·二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中點(diǎn)，連接AD．點(diǎn)M在線段AD上（不與點(diǎn)A，D重合），連接MB，點(diǎn)E在CA的延長線上且ME＝MB，連接EB．(1)比較∠ABM與∠AEM的大小，并證明；(2)用等式表示線段AM，AB，AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)10勾股定理】46．（2022·寧夏·中考真題）綜合與實(shí)踐知識再現(xiàn)如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以BC、CA、AB為邊向外作的正方形的面積為S1、S2、S3．當(dāng)S1=36問題探究如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）如圖2，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S1、S2、S3，則S1、（2）如圖3，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為S4、S5、S6，試猜想S4、實(shí)踐應(yīng)用（1）如圖4，將圖3中的△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至△BGH，△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至△AMN，GH、MN相交于點(diǎn)P．求證：S△PHN（2）如圖5，分別以圖3中Rt△ABC的邊BC、CA、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，BC、CA、AB為直徑的半圓柱的體積分別為V1、V2、V3．若AB=4，柱體的高?=847．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？48．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE=90°，連接CE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)若∠BAD=22.5°時(shí)，求BD的長．49．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ADEB、ACHI和BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長IH和FG，交于點(diǎn)L，連接LC并延長交DE于點(diǎn)J，交AB于點(diǎn)K，延長DA交IL于點(diǎn)M．(1)證明：AD=LC；(2)證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；(3)請利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI、BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．50．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC=∠ACB．求證∠ACD=∠ABC．獨(dú)立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長CA至點(diǎn)E，使CE=BD，BE與CD的延長線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF,BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動小組河學(xué)時(shí)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的長．”【考點(diǎn)11勾股定理的逆定理】51．（2022·江蘇淮安·校聯(lián)考中考模擬）如圖，一個(gè)梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B離墻角C的距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上了，測得BD長為0.9米，則梯子頂端A下滑（）．A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米52．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，BC=2CD，AB=8，CD=23，AD=2，則BD54．（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考三模）如圖，一個(gè)正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長為_________．55．（2022·山東臨沂·校考二模）如圖，圓柱底面半徑為4厘米，高18π厘米，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B【考點(diǎn)12勾股定理的應(yīng)用】56．（2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；(1)在圖①中，畫一個(gè)銳角三角形ABC，使它的三邊長都是有理數(shù)．(2)在圖②中，畫一個(gè)等腰直角三角形AMN，使它的三邊長都是無理數(shù)．(3)在圖③中，畫一個(gè)不等腰的直角三角形APQ，使它的三邊長都是無理數(shù)．57．（2022·青海西寧·統(tǒng)考一模）如圖1，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，求證：AB+AC>2AD．(1)甲說：不可能出現(xiàn)△ABD≌△ACD，所以此題無法解決；乙說：我們可以延長AD至點(diǎn)E，使得DE=AD，連接BE,CE，因?yàn)锽D=DC，就可以直接得到四邊形ABEC是平行四邊形．請寫出此處的依據(jù)：________（平行四邊形判定的文字描述）．所以AC=BE，在△ABE中，AB+BE>AE，即AB+AC>2AD．(2)請根據(jù)乙提供的思路解決下列問題：如圖2，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AB=5，AC=3，AD=2．求△ABC的面積．58．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，某海岸線MN的方向?yàn)楸逼珫|75°，甲，乙兩船分別向海島C運(yùn)送物資，甲船從港口A處沿北偏東45°方向航行，乙船從港口B處沿北偏東30°方向航行，已知港口B到海島C的距離為30海里，求港口A到海島C的距離．59．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考模擬預(yù)測）桌面上的某創(chuàng)意可折疊臺燈的平面示意圖如圖1所示，將其抽象成圖2，量得∠DCB=60°，∠CDE=165°﹔燈桿CD的長為30cm，燈管DE的長為20cm，底座AB的厚度為3cm，不考慮其他因素，求臺燈的高（點(diǎn)E到桌面的距離，結(jié)果保留根號）．60．（2022·河南周口·周口市第一初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，牧童在A處放牛，其家在C處，A、C到河岸L的距離分別為AB=2km，CD=4km且，BD=8km．（1）牧童從A處將牛牽到河邊P處飲水后再回到家C，試確定P在何處，所走路程最短？請?jiān)趫D中畫出飲水的位置（保留作圖痕跡），不必說明理由．（2）求出（1）中的最短路程．【考點(diǎn)13直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)】61．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為323，則CD的長為（）A．4 B．43 C．8 D．8362．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)．若AE=AD，DF=2，則BD的長為（

）A．22 B．3 C．2363．（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，AB=5，BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BFC=90°.連接AF并延長，交CD于點(diǎn)G.若，則DG的長為（

）A．52 B．32 C．3 64．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，則OP+PE的最小值是________．65．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）已知∠MON=α，點(diǎn)A，B分別在射線OM,ON上運(yùn)動，AB=6．(1)如圖①，若α=90°，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動，點(diǎn)A，B，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′,B′,D′，連接OD,OD′．判斷OD與OD′有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：(2)如圖②，若α=60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：(3)如圖③，若α=45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大?請說明理由，并求出△AOB面積的最大值．【考點(diǎn)14三角形中位線的定理】66．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接BD、DG．(1)試判斷△ECF的形狀，并說明理由；(2)求∠BDG的度數(shù)．67．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖1，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連結(jié)DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、(1)觀察猜想圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明把ΔADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連結(jié)MN、BD、CE，判斷Δ(3)拓展延伸把ΔADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請直接寫出ΔPMN面積的最大值68．（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DE∥AB交AC于點(diǎn)F，CE∥(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，MG∥DE交CE于點(diǎn)(3)如圖3，延長BD交AC于點(diǎn)H，若BH⊥AC，且BH=AM，則∠CAM=_________．69．（2022·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？既＃┤鐖D，在△ABC中，AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線，DF⊥CE于F，CD=AE．(1)求證：CF=EF；(2)已知BC=13，CD=5，求△BEC的周長．70．（2022·吉林長春·統(tǒng)考二模）（1）探究：如圖（1），點(diǎn)P在線段AB上，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，滿足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，連接CD，點(diǎn)E、F、G分別是AC、BD、CD邊中點(diǎn)，連接EF、FG、EG．求證：∠EFG＝∠GEF．（2）應(yīng)用：如圖（2），點(diǎn)P在線段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，圖（1）題中的其他條件不變，若EF＝2，則四邊形ABDC的面積為．專題15三角形及其性質(zhì)（14個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）【考點(diǎn)1三角形的三邊關(guān)系】1．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（

）A．1cm，2cm，3cm B．3cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知A、1+2＝3，不能組成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、3+4＞5，能夠組成三角形，故選項(xiàng)正確，符合題意；C、5+4＜10，不能組成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、2+6＜9，不能組成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．2．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）方程x2A．10 B．11 C．12 D．10或11【答案】D【分析】先解一元二次方程求出三角形的兩邊長，再分其中一條邊長為底和腰兩種情況，結(jié)合構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵x2∴x?3x?4解得x=3或x=4，∴等腰三角形的兩邊長為3、4，當(dāng)邊長為3的是腰長時(shí)，則三角形三邊長分別為3、3、4，能構(gòu)成三角形，∴此時(shí)等腰三角形的周長為3+3+4=10；當(dāng)邊長為3的是底邊長時(shí)，則三角形三邊長分別為3、4、4，能構(gòu)成三角形，∴此時(shí)等腰三角形的周長為3+4+4=11；綜上所述，這個(gè)三角形的周長為10或11，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，正確求出方程的兩個(gè)解是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如果2、5、m是某三角形三邊的長，則(m【答案】4【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到3<m<7，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得原式=m【詳解】解：∵2、5、m為三角形三邊，∴3<m∴原式=m故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，二次根式的性質(zhì)與化簡：a24．（2022·山東棗莊·二模）問題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC=4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE=AD，連接BE，證明△BED≌△CAD；請回答：(1)小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：；(2)AD的取值范圍是；(3)方法運(yùn)用：如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．(4)如圖3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且EFBE＝12，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，【答案】(1)SAS(2)1＜AD＜5(3)見解析(4)見解析【分析】（1）由“SAS”可證△BED≌△CAD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BE＝4，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（3）延長AD至H，使AD＝DH，連接BH，由“SAS”可證△BHD≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；（4）延長CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，由“SAS”可證△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通過證明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．（1）解：∵AD是中線，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案為：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（3）如圖2，延長AD至H，使DH=AD，連接BH，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如圖3，延長CG至N，使NG=CG，連接EN，NF，∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵ABAD=AB∴tan∠ADB=12∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵ABBC=CDBC=∴BE∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG=1∴EG＝GC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，延長三角形的中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.5．（2022·河北·模擬預(yù)測）閱讀材料：若m2?2mn+2n解：∵∴根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)a2+b2+6a?2b+10=0，則a＝(2)已知x2+2y(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+【答案】(1)3；1(2)16(3)9【分析】（1）通過完全平方公式進(jìn)行變式得a+32（2）由x2+2y（3）把方程通過變式得2a?12+b?42=0，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得【詳解】（1）解：由a2a+32∵a?32≥0，b?1∴a-3=0，b-1=0，∴a=3，b=1．故答案為：3；1；（2）由x2x?y2∴x=y,y=?4，∴x=?4,y=?4，∴xy=16；（3）由2a2+∴a=1,b=4，∵△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，∴4?1<c<4+1，∴3<c<5，∴c=4，∴△ABC的周長為1+4+4=9．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負(fù)性，理解閱讀材料中的解題思路是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2三角形的角平分線、中線、高】6．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的9×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．(1)在圖1中按下列步驟完成畫圖．①畫出△ABC的高CD；②畫△ACD的角平分線AE；③畫點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′(2)如圖2，P是網(wǎng)格線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的線段MN分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，且PM=PN，畫出線段MN．【答案】(1)①見解析；②見解析；③見解析(2)見解析【分析】（1）①取格點(diǎn)T，連接CT交AB于點(diǎn)D，此時(shí)CD是△ABC的高；②取格點(diǎn)H，CD與BH的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，連接AE；③分別畫AB，CT關(guān)于AC的對稱線段AB′和CT′，AB′和CT(2)連接BP并延長交網(wǎng)格線于點(diǎn)Q，則BP=PQ，連接AP并延長交網(wǎng)格線于點(diǎn)L，則AP=PL，連接QL交BC于點(diǎn)N，延長NP交AB于點(diǎn)M，則線段MN即為所畫的線段．（1）解：（1）①如圖所示,CD為所求；②如圖所示,AE為所求；③如圖所示,D′（2）如圖所示,線段MN為所求．【點(diǎn)睛】此題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考?？碱}型．7．（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）如圖在5×5的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示）(1)在圖1中畫出△ABC的中線AD；(2)在圖2中畫線段CE，點(diǎn)E在AB上，使得S△ACE：S(3)在圖3中畫出△ABC的外心點(diǎn)O．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由題知BO=CO，取兩個(gè)格點(diǎn)F、G構(gòu)造△CFD≌△BGD，即可得中點(diǎn)D．（2）由S△ACE：S△BCE＝2：3得AE：BE=2∶3，取格點(diǎn)H、J，構(gòu)造△AHE∽△BGE，且相似比為2∶3，即可得到（3）由O為△ABC的外心知O為AB、AC的中垂線的交點(diǎn)，作出兩條中垂線，交點(diǎn)即為O．（1）如圖1中，取格點(diǎn)F、G，連接FG交BC于點(diǎn)D，線段AD即為所求．（2）如圖2中，取格點(diǎn)H、J，連接HJ交AB于點(diǎn)E，線段CE即為所求．（3）如圖3中，取格點(diǎn)K、L、M、N，連接KL、MN交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．8．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，以BC為底邊的等腰△BCD按如圖所示的位置擺放，且∠DBC=∠ABC．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作出△ABC的中線CM；(2)在圖2中作出△ABC的中線BN．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線分線段定理作圖即可；（2）根據(jù)三角形的中線交于一點(diǎn)為三角形的重心作圖即可．(1)解：如圖，連接DE并延長，交AB于M，∵點(diǎn)E為等腰△BCD的底邊BC的中點(diǎn)，∴DE⊥BC，∴∠BED=90°=∠BEM，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEM，∴AC∥∴BM∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴BM=AM，即點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，連接CM，則線段CM為所求作的△ABC的中線；(2)連接AE，交CM于點(diǎn)O，連接BO，并延長，交AC于點(diǎn)N，由（1）得，CM、AE為△ABC的中線，則其交點(diǎn)O為三角形的重心，則線段BN為所求作的△ABC的中線．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線交于一點(diǎn)及簡單作圖，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中線BD把△ABC的周長分成兩部分的比是8：7，求邊AB，AC的長．【答案】AB=6,AC=4或AB=【分析】根據(jù)題意，設(shè)設(shè)AB=3x，則AC=2x，分別表示出三邊，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得出AD=CD=1【詳解】解：如圖，∵AB：AC=3：2，設(shè)AB=3x，則AC=2x，∴BC=AC+1=2x+1，∵BD是△ABC的中線，則AD=CD=1依題意，BC+CDAB+AD=7∴2x+1+x3x+x=7解得：x=2或x=711，經(jīng)檢驗(yàn)x=2或∴當(dāng)x=2時(shí)，AB=3x=6，AC=2x=4，BC=2x+1=5，當(dāng)x=711時(shí)，AB=2111，∴AB=6,AC=4或AB=21【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE//BC．（1）如圖1，如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝8，求DE的長；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的長．【答案】（1）DE＝4；（2）DF＝3．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得到∠BCD＝∠ACD，再由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠EDC＝∠BCD，繼而解得∠EDC＝∠ACD，再由等角對等邊解得ED＝EC，最后根據(jù)線段中點(diǎn)性質(zhì)解題；（2）由兩直線平行同位角相等結(jié)合角平分線性質(zhì)解得∠B＝∠BCD，再由等角對等邊解得DB＝DC，作DG⊥BC于點(diǎn)G，由等腰三角形三線合一性質(zhì)解得GB＝4.5，最后根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）∵DC平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE//BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝8，∴EC=12∴DE＝4；（2）∵DE//BC，∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，如圖，作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵DB＝DC，DG⊥BC，∴GB=12BC∵∠ABC＝30°，BF＝DF，∴∠BDF＝∠B＝30°，∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，∴∠FDG＝30°，∴BF＝DF＝2FG，∴GF＝1.5，∴DF＝2FG＝3．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)3三角形的內(nèi)角和定理】11．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．(1)如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點(diǎn)M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝62，ED＝12，求EM的長．【答案】(1)AE＝CF，AE⊥CF(2)①成立，理由見解析；②45°；③6+63【分析】（1）證明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性質(zhì)證出∠EMC＝90°，則可得出結(jié)論；（2）①同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠E＝∠F，則可得出結(jié)論；②過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，證明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DG＝DH，由角平分線的性質(zhì)可得出答案；③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案．（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案為：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的結(jié)論還成立，理由：同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝12∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM=62∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝ED2+DG2=122【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ACE+∠EFC=180°，見解析(3)30°【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出∠ACF=∠CEF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，得到∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，證得△ABM≌△CDB，得到∠MBA=∠BDC，設(shè)∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，則∠ADB=α+β，得到α+（1）∵△ABC≌∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠DCB，∴∠ABC=∠DCB，∴AB∥∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；（2）結(jié)論：∠ACE+∠EFC=180°．證明：∵△ABC≌∴∠ABC=∠DEC，∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠DEC，∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°，∴∠ACF=∠CEF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACE+∠EFC=180°；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，∠BAD=∠BCD，∴△ABM≌∴BM＝BD，∠MBA=∠BDC，∴∠ADB=∠BMD，∵∠BMD=∠BAD+∠MBA，∴∠ADB=∠BCD+∠BDC，設(shè)∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，則∠ADB=α+β，∵CA＝CD，∴∠CAD=∠CDA=α+2β，∴∠BAC=∠CAD?∠BAD=2β，∴∠ACB=1∴∠ACD=90°?β∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，

∴90°?β+α+2∴α+β=30°，即∠ADB＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用知識，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2022·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將Rt△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度得到Rt△ADE，且點(diǎn)E(1)求證：AE平分∠CED；(2)連接BD，求證：∠DBC=90°．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角性質(zhì)可將角度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，最后可證得結(jié)論；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理對角度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AE=AC，∠AED=∠C，∴∠AEC=∠C∴∠AED=∠AEC∴AE平分∠CED．（2）證明：如圖所示：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AD=AB，∠DAE=∠BAC=90°，∴∠ADB=∠ABD，∠DAE?∠BAE=∠BAC?∠BAE，即∠DAB=∠EAC，∵∠DAB=180°?2∠ABD，∴∠ABD=∠C，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠ABD=90°，即∠DBC=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變化，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等以及合理利用三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．14．（2022·福建·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△BDE都是等腰三角形，AB=BC，BD=BE，∠BAC=∠BDE，連接AD，CE【答案】證明過程見解析【分析】先證明∠ABD=∠CBE，進(jìn)而得到△ABD≌△CBE即可得到∠BAD=∠BCE．【詳解】解：∵AB=BC，BD=BE，∴∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED，由三角形內(nèi)角和定理可知：∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC，∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE，由已知條件知∠BAC=∠BDE，∴∠ABC=∠DBE，且∠ABD=∠ABC+∠CBD，∠CBE=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中：BA=BC∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴∠BAD=∠BCE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定方法，本題的關(guān)鍵是證明∠ABC=∠DBE進(jìn)一步得到∠ABD=∠CBE．15．（2022·陜西渭南·統(tǒng)考三模）如圖，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)D，使得∠ABD＝25°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見解析【分析】因?yàn)椤螦＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，則作∠B的角平分線即可．【詳解】解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，則作∠B的角平分線即可．作圖如下：【點(diǎn)睛】本題考查作角平分線，解題的關(guān)鍵是分析題意知道作∠B的角平分線，掌握作角平分線的方法．【考點(diǎn)4三角形的外角性質(zhì)】16．（2022·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．(1)求證：BE=AD；(2)求∠BPQ的度數(shù)；(3)若PQ=3，PE=1，求AD的長．【答案】(1)見解析(2)60°(3)7【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得△AEB≌△CDA，即可證得結(jié)論；(2)利用(1)中的全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ=60°；(3)利用(2)的結(jié)果求得∠PBQ=30°，由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=6，則易求BE=BP+PE=7，據(jù)此即可求得AD的長【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=CA，在△AEB與△CDA中，AB=∴△AEB≌∴BE=（2）解：∵△AEB≌∴∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠BPQ=（3）解：∵∠BPQ=60°，∴∠PBQ=∴PQ=∴BP=∴BE=∴AD=【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．17．（2022·安徽合肥·合肥市廬陽中學(xué)?？既＃┤鐖D，△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D、E分別是直線BC、AC邊上的點(diǎn)，直線AD、BE交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若∠AFE=α=60°，則BEAD(2)如圖2，若∠AFE=α=45°，求BEAD(3)如圖3，若∠AFB=α，cosα=512【答案】(1)BE(2)BE(3)BE【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)證出∠EBC=∠BAD，再利用ASA證明△ABD≌△BCE，即可求解；（2）根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)值得到BCAB=2，利用三角形外角的性質(zhì)證出∠EBC=∠BAD，推出△BCE（3）過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)M，在Rt△ABM中，求出BCAB=56，利用三角形外角的性質(zhì)證出∠E=∠D，推出(1)解：∵AB=AC，∠ABC=α=60°∴△ABC是等邊三角形∵∠ABE+∠EBC=∠ABC=60°，∠ABE+∠BAD=∠AFE=60°∴∠EBC=∠BAD在△ABD和△BCE中{∴△ABD≌△BCE（ASA）∴BE=AD∴BE(2)解：∵AB=AC，∠ABC=α=45°∴∠C=∠ABC=45°，∠BAC=90°∴cos∠ABC=AB∵∠ABE+∠EBC=∠ABC=45°，∠ABE+∠BAD=∠AFE=45°∴∠EBC=∠BAD∴△BCE∽△ABD∴BE(3)解：∵AB=AC，∠ABC=α∴∠ACB=∠ABC=α，cos過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)M，如圖所示∴BM=MC=在Rt△ABM中，cos∴1∴BC∵∠E+∠EAF=∠AFB=α，∠D+∠DAC=∠ACB=α又∵∠EAF=∠DAC∴∠E=∠D∴△BCE∽△ABD∴BE【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、解直角三角形等知識點(diǎn)，證明三角形相似是解答本題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求證：CE=CM．(2)若AB=4，求線段FC的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC=MA=MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根據(jù)等角對等邊即可得證；（2）根據(jù)CE=CM先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；（2）解：∵AB=4，∴CE=CM=12AB∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE?cos30°=3．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖(1)如圖甲，已知：在ΔABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB(2)如圖乙，已知：在ΔABC中，∠A=45°，∠B=15°，AC=1，求AB【答案】(1)2(2)3【分析】（1）如圖甲，過C點(diǎn)作CD⊥AB于點(diǎn)D，在RtΔACD中，解直角三角形可得AD與CD的長度，在RtΔBCD中解直角三角形可得（2）如圖乙，過C點(diǎn)作CD⊥AB于點(diǎn)D，在BD上取點(diǎn)E，使CE=BE，易得∠CED=30°，在RtΔACD中，解直角三角形可得CD與AD的長度，在RtΔCDE中解直角三角形得DE與【詳解】（1）解：如圖甲，過C點(diǎn)作CD⊥AB于點(diǎn)D，

在RtΔACD中，求得AD=ACcos在RtΔBCD中，求得BD=∴AB=AD+BD=23（2）解：如圖乙，過C點(diǎn)作CD⊥AB于點(diǎn)D，在BD上取點(diǎn)E，使CE=BE，

則∠BCE=∠B=15°，∴∠CED=∠BCE+∠B=30°，在RtΔACD中，AD=ACcos45在RtΔCDE中，DE=CD∴BE=CE=2∴AB=AD+DE+BE=2【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2022·江蘇鹽城·?？既＃?）[問題情境]小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個(gè)圖形：如圖1，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、AB為底邊在線段AB的同側(cè)作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于點(diǎn)D．當(dāng)P、Q、B在同一直線上時(shí)，他發(fā)現(xiàn)：∠PAQ=∠CPB．請幫他解釋其中的道理；（2）[問題探究]如圖2，在上述情境下中的條件下，過點(diǎn)C作CE∥AP交PB于點(diǎn)E，若PD=2CD，PA=9，求（3）[類比應(yīng)用]如圖3，△ABC是某村的一個(gè)三角形魚塘，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，AE、CD的交點(diǎn)F為魚塘的釣魚臺，測量知道∠CAD=∠CDA=67.5°，∠CEA=2∠B，AD2=40000?200002【答案】（1）見解析；（2）6；（3）200【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，∠PAC=∠PCA，∠B=∠QAB，由三角形外角的性質(zhì)可得∠PCA=∠B+∠CPB，根據(jù)∠PAC=∠PAQ+∠QAB，即可得證；（2）在[問題情境]的條件下，有∠PAQ=∠CPB，證明△PAD≌△CPE，即可求解；（3）過點(diǎn)D作DH⊥AC，垂足為，過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G，由sin∠ACD=DHCD=22=12，可得CD=2DH，設(shè)DH=k，則AC=CD=2k【詳解】（1）[問題情境]∵AP=PC，AQ=BQ，∴∠PAC=∠PCA，∠B=∠QAB，∵∠PCA=∠B+∠CPB，∠PAC=∠PAQ+∠QAB，∴∠PAQ=∠CPB；（2）[問題探究]在[問題情境]的條件下，有∠PAQ=∠CPB，∴∠PAD=∠CPE，∵PD=2CD，PA=9，∴PA=PC=9，PD=2∵CE∥∴∠APD=∠PCE，在△PAD和△CPE中，∠PAD=∠CPE，AP=PC，∠APD=∠PCE，∴△PAD≌△CPE，∴CE=PD=6，即CE的長為6；（3）[類比應(yīng)用]CF的長為2003過點(diǎn)D作DH⊥AC，垂足為H．∵∠CAD=∠CDA=67.5°，∴AC=CD，∠ACD=180°?∠CAD=∠CDA=45°．在Rt△CDH中，sin∴CD=2設(shè)DH=k，則AC=CD=2k，CH=k，在Rt△ADH中，A則40000?200002解得k=100，∴AC=1002過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)∴△DGB∽△ACB，∴DGAC∴DG100∴DG=200由[問題探究]可得△PAD≌△CPE，∴CF=DG=20032m，即【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5等腰三角形的判定與性質(zhì)】21．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延長CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的證明過程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD的長．【答案】(1)AC=BC+CD；理由見詳解；(2)CB+CD=2AC；理由見詳解；(3)33?3【分析】（1）如圖1中，延長CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．證明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等邊三角形，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：CB+CD=2AC．如圖2中，過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)N．證明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，證明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．如圖3-2中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，分別求解即可．（1）證明：如圖1中，延長CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE，在△ADE和△ABC中，DA=BA∠ADE=∠B∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE的等邊三角形，∴CE=AC，∵CE=DE+CD，∴AC=BC+CD；（2）解：結(jié)論：CB+CD=2AC．理由：如圖2中，過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)N．∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠CDA+∠CBA=180°，∵∠ABN+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABN，∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM=BN，AM=AN，∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴AC=2CM，∵AC=AC．AM=AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM=CN，∴CB+CD=CN?BN+CM+DM=2CM=2AC；（3）解：如圖3-1中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD=3CB，∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴SΔ∴ODOB∵AB=AD=6，∠DAB=90°，∴BD=2AD=23，∴OD=31+如圖3-2中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，同法可證ODOB=?綜上所述，滿足條件的OD的長為33?3或【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．22．（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．【答案】(1)見解析(2)添加條件CD=BE，見解析(3)能，0＜CF＜5【分析】（1）①利用ASA證明△ABD≌△ACE．②利用SAS證明△ABD≌△ACE．（2）添加條件CD=BE，證明AC+CD=AB+BE，從而利用SAS證明△ABD≌△ACE．（3）在AC上取一點(diǎn)D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當(dāng)BD=BF=BA時(shí)，可證△CBF∽△BAF，運(yùn)用相似性質(zhì)，求得CF的長即可．【詳解】（1）①如圖1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分線，∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∠∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．②如圖1，∵AB=AC，點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．（2）添加條件CD=BE，證明如下：∵AB=AC，CD=BE，∴AC+CD=AB+BE，∴AD=AE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．（3）能在AC上取一點(diǎn)D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當(dāng)BD=BF=BA時(shí)，E與A重合，∵∠A＝36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，∴△CBF∽△BAF，∴BFAF∵AB＝AC＝2=BF，設(shè)CF=x，∴2x+2整理，得x2解得x=5?1，x=?故CF=x=5?1∴0＜CF＜5?1【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形相似的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（202