18.1.2　平行四邊形的判定 課件 2023-2024學年人教版數(shù)學八年級下冊

人教版數(shù)學八年級下冊第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定第1課時

平行四邊形的判定（1）導入新課1．回顧平行四邊形的性質(zhì)．B2．不一定具有的性質(zhì)是(

)A．對角平行四邊形相等B．對角互補C．鄰角互補D．內(nèi)角和是360°兩組對邊分別平行，相等.兩組對角分別相等，鄰角互補.兩條對角線互相平分.兩條平行線間的距離相等探究新知思考

如圖，將兩長兩短的四根細木條用小釘絞合在一起，做成一個四邊形，使等長的木條成為對邊，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過程中，它一直是一個平行四邊形嗎？由上面的過程你得到了什么結(jié)論？是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.如何證明這個結(jié)論呢？ABCD證明：連接BD．∵AB=CD，AD=BC，BD是公共邊，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．DABC1234你能用平行四邊形的定義來證明嗎？知識歸納兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．判定定理1由上述證明可以得到：幾何語言：ABCD在四邊形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵多邊形ABCD是四邊形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．判定定理2DABC證明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴

AD∥BC．同理AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．判定定理3DABCO現(xiàn)在，我們一共有哪些判定平行四邊形的方法呢？

知識歸納定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．

判定定理：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．練習如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.圖中有哪些互相平行的線段？解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF.例題與練習例1

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠2＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，□ABCD

的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點，并且AE=CF.使得四邊形BFDE是平行四邊形.

BODACEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又BO=DO.∴四邊形BFDE是平行四邊形.例2教材P46例3.如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點.求證：BE=DF.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DO=OB，AO=OC，又E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點，∴EO=FO，在△DOF與△BOE中，DO=BO，∠DOF=∠BOE，F(xiàn)O=EO，∴△DOF≌△BOE，∴BE=DF.練習例3如圖，在△ABC中，分別以AB，AC，BC為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，等邊三角形ACE，等邊三角形BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形．解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．例題與練習練習1.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，則∠A的度數(shù)為(

)A．110°

B．80°

C．70°

D．90°C2．在四邊形ABCD中下面給出的∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(

)A．1∶2∶3∶4B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3D．1∶2∶2∶3B3．如圖，在?ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC.又∵AF＝CH，DE＝BG，∴AE＝CG，F(xiàn)B＝DH.在△AEF和△CGH中，∴△AEF≌△CGH(SAS)，∴EF＝GH.同理，可證EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．課堂小結(jié)平行四邊形的判定1定義法:兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.人教版數(shù)學八年級下冊第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定第2課時

平行四邊形的判定（2）導入新課回顧上節(jié)課學習的平行四邊形有哪些判定定理？兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.探究新知思考我們知道，兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形，如果只考慮四邊形的一組對邊，他們滿足什么條件時這個四邊形能成為平行四邊形呢？猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.你能證明嗎？如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：連接AC.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA.∴BC=DA.∴四邊形ABCD的兩組對邊分別相等，它是平行四邊形.ABCD21知識歸納一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；于是，我們又得到平行四邊形的一個判定定理：幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDAC

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，EB//FD．又∵EB=AB，F(xiàn)D=CD，∴EB=FD．∴四邊形EBFD是平行四邊形．如圖

，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.例1教材P47例4.探究新知練習1.為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長相等就可以了，你能說出其中的道理嗎？解：由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可知，兩條直鋪的鐵軌互相平行.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F(xiàn)為垂足.求證：四邊形AFCE是平行四邊形.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，又∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB，∴AE=CF.又∵∠AEF=∠CFE=90°，∴AE∥CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.例2如圖，已知E，F(xiàn)是四邊形ABCD對角線上兩點，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，試說明四邊形ABCD為平行四邊形．解：由AF＝CE，得AE＝CF.又∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠DFC＝∠BEA.又∵DF＝BE，∴△CDF≌△ABE(SAS)，∴CD＝AB，∠DCA＝∠CAB，例題與練習∴CD∥AB，∴四邊形ABCD為平行四邊形．例3如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”作為結(jié)論構(gòu)造命題．以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例．解：以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題．證明如下：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD.在△AOB和△COD中，∴OB＝OD.∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴△AOB≌△COD(ASA)，例題與練習練習1．在四邊形中，有兩條邊相等，另外兩邊也相等，則這個四邊形(

)A．一定是平行四邊形B．一定不是平行四邊形C．可能是平行四邊形，也可能不是平行四邊形D．上述答案都不對C2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由點A向點D運動，點Q以2cm/s的速度由點C向點B運動，問幾秒時，四邊形ABQP是平行四邊形？解：設(shè)xs時，四邊形ABQP是平行四邊形．根據(jù)題意，得AP＝x，CQ＝2x，∴BQ＝6－2x，只有AP＝BQ時，四邊形ABQP才是平行四邊形，∴x＝6－2x，解得x＝2，∴2s時，四邊形ABQP是平行四邊形．課堂小結(jié)平行四邊形的判定2判定定理4平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.人教版數(shù)學八年級下冊第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定第3課時

三角形的中位線導入新課1．回顧平行四邊形的概念和性質(zhì)．2．回顧三角形的中線的概念．3．如圖，在測量池塘的長AB時，由于繩長不夠，于是在平地上取一點O，找出OA，OB的中點M，N，小剛說只要量出了MN的長，就能求出AB的長.你知道這是什么原理嗎？探究新知思考如圖，△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，連接DE.像DE這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．A

B

C

D

E

我們在研究平行四邊形時，經(jīng)常采用把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的問題，反過來，能否用平行四邊形研究三角形呢？一個三角形有幾條中位線？三角形的中位線和中線一樣嗎？問題1一個三角形有幾條中位線？你能在△ABC中畫出它所有的中位線嗎？ABCDEF有三條，如圖，△ABC的中位線是DE、DF、EF.問題2三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？中位線是連接三角形兩邊中點的線段.

中線是連接一個頂點和它的對邊中點的線段.探究新知探究問題3如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC之間有什么數(shù)量關(guān)系？DE兩條線段的關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系分析：DE與BC的關(guān)系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述這一結(jié)論．平行角平行四邊形或線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長短線分析1：DE猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．問題4：如何證明你的猜想？分析2：DE互相平分平行四邊形倍長DE構(gòu)造延長DE到F，使EF=DE．F∴四邊形BCFD是平行四邊形.∴△ADE≌△CFE.∴∠ADE=∠F，連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，證法1

AD=CF.∴BDCF.又∵，∴DF

BC

.∴DE∥BC，.

∴CF

AD

,證明：如圖，在△ABC中，點D,E分別是AB,AC邊的中點，求證：

EBCAD==--證法2如圖，在△ABC中，點D,E分別是AB,AC邊的中點，求證：

BCAD證明：延長DE到F，使EF=DE．連接AF,CF,DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∴四邊形BCFD是平行四邊形.∴CF

AD

.∴CF

BD

.又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，.FE==--三角形的中位線定理：知識歸納DE符號語言：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．

1.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點，以這些點為頂點，在圖中，你能畫出多少個平行四邊形？為什么？解：能在圖中畫出3個平行四邊形，如圖，連接DE，EF，F(xiàn)D，則四邊形BFED，DECF，DFEA即為所畫的3個平行四邊形.練習ABCDEF2.如圖，直線l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使AD=BC，連接AB，CD.AB和CD有什么關(guān)系？為什么？解：ABCD.理由：∵l1∥l2，即AD∥BC又AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD3.如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC，BC.怎樣測出A，B兩點間的距離？根據(jù)是什么？解：分別取AC，BC的中點D，E，連接DE，并量出DE的長，則AB=2DE.根據(jù)三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.例題與練習例1如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是AB的中點，OE＝5cm，則AD的長是______cm.10例2如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．∴EF＝GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．證明：連接AC.∵點E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝

AC，EF∥AC.同理可得GH＝

AC，GH∥AC，解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD和△AMC中，∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∴BN＝CN，∴