新教材2023版高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列1.4數(shù)學(xué)歸納法學(xué)生用書湘教版選擇性必修第一冊

1.4數(shù)學(xué)歸納法最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．(2)能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題.新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0?(n0∈N＋)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法?.批注?n0不一定都是1，也可以是其他正整數(shù)．批注?主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法．基礎(chǔ)自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，只有第一步就可以．()(2)在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，第二步必須利用歸納假設(shè)．()(3)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易驗(yàn)證：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性結(jié)論：對于任意n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是數(shù)學(xué)歸納法．()(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．()2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n＝1時(shí)命題正確，假定n＝k時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是()A．k∈NB．k>1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋D．k>2，k∈N＋3．用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)證明()A．f(2)＝1＋2B．f(1)＝1C．f(1)＝1＋2＋3D．f(1)＝1＋2＋3＋44．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+…A．1＋12<2B．1＋1C．1＋12+13<3D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題例1用數(shù)學(xué)歸納法證明1－12+13-14＋…＋12n-1-12n方法歸納用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：(1)n＝n0時(shí)，等式的結(jié)構(gòu)．(2)n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時(shí)的代數(shù)式比n＝k時(shí)的代數(shù)式增加(或減少)的項(xiàng)．這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：①代數(shù)式從哪一項(xiàng)(哪一個(gè)數(shù))開始，即第一項(xiàng)．②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律．③代數(shù)式中最后一項(xiàng)(最后一個(gè)數(shù))與n的關(guān)系．鞏固訓(xùn)練1求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．題型2歸納—猜想—證明例2數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝14，且an＋1＝n-1ann-an(n≥2，n∈N＋)，求方法歸納(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式．鞏固訓(xùn)練2已知數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝1，其前n項(xiàng)和Bn＝12(n＋1)bn，求數(shù)列{bn}題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例3有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個(gè)部分(n∈N＋)．方法歸納對于幾何問題的證明，可以從有限情形中歸納出一個(gè)變化的過程，或者說體會出是怎么變化的，然后再去證明，也可以采用遞推的辦法，利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律．鞏固訓(xùn)練3證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)＝12n(n－3)(n≥4)*1.4數(shù)學(xué)歸納法[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．答案：C3．解析：n的初始值應(yīng)為1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.答案：D4．解析：因?yàn)閚∈N＋，n>1，故數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)驗(yàn)證n＝2的情況，即1＋12答案：B5．解析：因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．答案：(2k＋1)＋(2k＋2)題型探究·課堂解透例1證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－12＝12，右邊＝(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立，即1－12+13-14＋…＋1那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1－12+13＝1k+1+1k+2＝1k+2+1k+3＋上式表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)均成立．鞏固訓(xùn)練1證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立．綜上所述，等式對任何n∈N＋都成立．例2解析：∵a2＝14，且an＋1＝n-1an∴a3＝a22-a2＝142-14＝1猜想：an＝13n-2(n∈N下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確：(1)當(dāng)n＝1，2時(shí)易知猜想正確．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)猜想正確，即ak＝13k當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝k-1＝k-13k-＝13k+1＝1∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也正確．由(1)(2)可知，猜想對任意n∈N＋都正確．鞏固訓(xùn)練2解析：由已知條件b1＝1，Bn＝12(n＋1)bn，得B2＝b1＋b2＝32b∴b2＝2.B3＝b1＋b2＋b3＝2b3，∴b3＝3.B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝52b4∴b4＝4.由此猜想：bn＝n(n∈N＋)為數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．(1)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立．即bk＝k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，bk＋1＝Bk＋1－Bk＝12(k＋1＋1)bk＋1－12(k＋1)b整理得bk＋1＝k+1k·bk＝k＋1即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，bk＋1＝k＋1.由(1)(2)知，對任意n∈N＋，都有bn＝n.例3證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時(shí)命題成立．②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)命題成立．即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個(gè)部分．則n＝k＋1時(shí)，在k＋1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．綜合①②可知，對一切n∈N＋，命題成立．鞏固訓(xùn)練3證明：①當(dāng)n＝4時(shí)，f(4)＝12×4×(4－3)＝2②假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)＝12k(k－3)(k≥4)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，凸k＋1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加