2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第39講 數(shù)列求和-解析版92

第39講數(shù)列求和知識(shí)通關(guān)1.公式法：直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等公式求解.2.倒序相加（乘）法：如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和（積）等于首末兩項(xiàng)之和（積），可采用把正著寫和倒著寫的兩個(gè)式子相加（乘），就得到一個(gè)常數(shù)列的和（積），進(jìn)而求出數(shù)列前項(xiàng)和（積）.3.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)可把式子兩邊同乘以公比，得，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出.4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)和變成首尾的若干少數(shù)項(xiàng)之和.5.分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解.【結(jié)論第講】結(jié)論一、公式法常見數(shù)列的前項(xiàng)和（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）等差數(shù)列前項(xiàng)和：；（8）等比數(shù)列前項(xiàng)和：.【例1】已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由題設(shè)知公差，由，成等比數(shù)列得，解得，（舍去），故的通項(xiàng).（2）由（1）知，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得.【變式】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求和：.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，所以，解?所以.（2）設(shè)等比數(shù)列得公比為.因?yàn)?，所以，解?所以.從而.結(jié)論二、分組求和如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)較復(fù)雜時(shí)，把原數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)（或多項(xiàng)）的和或差，從而將原數(shù)列分解成兩個(gè)（或多個(gè)）數(shù)列的和或差，而這兩個(gè)（或多個(gè)）數(shù)列或者是等差數(shù)列、等比數(shù)列，或者是已知其和，求出這兩個(gè)（或多個(gè)）數(shù)列的和，再相加或相減，得到原數(shù)列和的方法便是分組求和法.【例2】已知等差數(shù)列滿足，.（1）若成等比數(shù)列，求的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）已知，.由得.所以即..所以.又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，.（2）由（1）知，.記，，則.【變式】已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（），由，得，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由已知可得，根據(jù)題意可知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.結(jié)論三、倒序相加如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，得到一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法.特征：【例3】已知是上的奇函數(shù)，，,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（） B． C． D．【答案】【解析】已知是上的奇函數(shù)，所以，代入得，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱令，則，得到.因?yàn)?，，倒序相加可得，?故選.【變式】設(shè)函數(shù).（1）證明:對(duì)一切，是常數(shù)；（2）記，求，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）證明因?yàn)?，所?（2），，所以，即.所以.結(jié)論四、裂項(xiàng)求和裂項(xiàng)求和的常見拆項(xiàng)公式：；；；；；若為等差數(shù)列，公差為，則.【例4】在數(shù)列中，，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）證明的兩邊同時(shí)除以，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）得，所以，故，所以.【變式】設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，.求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，符合上式，所以.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，設(shè)的公比為，則，，而，所以即，解得或.因?yàn)閱握{(diào)遞增,所以,所以.（2），所以.結(jié)論五、錯(cuò)位相減形如，其中為等比數(shù)列，公差為，是等比數(shù)列，公比為.第一步：寫出；第二步：寫出；第三步：寫出.注意:錯(cuò)位相減即由第一步的第二項(xiàng)減第二步的第一項(xiàng),后面依次類推,然后要注意項(xiàng)數(shù)問題，最后一定要化簡.【例5】已知等差數(shù)列的公差，，且，，成等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，又，解得，所以．又①，（）②，由①②得，所以（），所以為等比數(shù)列，又，解得，所以．（2）由（1）知，則，，兩式相減得，所以．【變式】已知數(shù)列的前項(xiàng)和．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，所以，兩式相減得：，所以．結(jié)論六、數(shù)列最值恒成立；能成立．【例6】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，，．求證：是等差數(shù)列；設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使對(duì)所有的都成立的最大正整數(shù)的值．【解析】（1）證明：由題意，（）①，故有（，）②，由①②得，，即（，），所以（，）．令，帶入①式可得，所以，故有（），故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故．所以，即有．故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為．（2）由（1）可知，所以，故．由可知，．依題意，，解得，則最大正整數(shù)的值為．（3）由意義對(duì)任意的都成立，故需要求的最小值，而，故數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，故的最小值為，所以，解得，則最大正整數(shù)的值為．【變式】已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，求；令（），，，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)．【解析】（1）因?yàn)?，所以是以為公差的等差?shù)列．因?yàn)?，所以．?）．（3）由題意知，當(dāng)時(shí)，．所以對(duì)一切成立，即．因?yàn)檫f增且，所以，即．所以最小正整數(shù)．結(jié)論七、數(shù)列縮放常見的縮放方法：；；；；；.【例7】已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若,且數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較和的大小并證明.【解析】（1）由題意可知數(shù)列是以2為公差，3為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以.（2）由可知，則【變式】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且構(gòu)成等