2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第42講 基本不等式-原卷版1

第42講基本不等式通關(guān)一、均值不等式的使用條件1.一正:函數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù),在異號(hào)時(shí)不能運(yùn)用均值不等式,在同負(fù)時(shí)可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再運(yùn)用均值不等式;實(shí)際過(guò)程中,兩項(xiàng)全是負(fù)的其實(shí)也可以用均值,提出一個(gè)負(fù)號(hào)即可.所以說(shuō)“一正”這個(gè)條件可以擴(kuò)展為“同號(hào)”。2.二定:函數(shù)式中含變量的各項(xiàng)的和或積或平方和必須是定值;特殊情況下,至少要求各項(xiàng)的和、積、平方和是一個(gè)可化簡(jiǎn)的定式。3.三相等:只有具備了不等式中等號(hào)成立的條件,才能使函數(shù)式取到最大或最值,否則不能由均值不等式求最值,只能用函數(shù)的單調(diào)性求最值。通關(guān)二、已知,則其中稱(chēng)為平方平均數(shù),稱(chēng)為算術(shù)平均數(shù),稱(chēng)為幾何平均數(shù),稱(chēng)為調(diào)和平均數(shù).【證明】因?yàn)?所以.因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)“"時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)“"時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)樗?當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí),等號(hào)成立.結(jié)論一、常見(jiàn)基本不等式1.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).2.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).3.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).4.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).5.同號(hào),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【例1】,給出下列推導(dǎo),其中正確的有_______________(1)的最小值為;(2)的最小值為4;(3)的最小值為.【變式】已知且，則（）. A. B. C. D.結(jié)論二、和定積最大，積定和最小1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a,b∈?，且若a+b=M，M為定值,則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a,b∈?，且ab=P，P為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【例2】已知.(1)若,求的最小值;(2)若，求ab的最大值.【變式】已知,則的最大值為結(jié)論三、已知,求的范圍把整體代換,展開(kāi)得:【例3】已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且,則的最小值為_(kāi)_____________ A.24 B.16 C.18 D.12【變式】設(shè),若是與的等比中項(xiàng),則的最小值為() A. B.4 C.1 D.結(jié)論四、己知,求的范圖把整體代換,展開(kāi)得:【例4】已知,且,求的最小值.【變式】若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,且恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A. B. C. D.結(jié)論五、柯西不等式若都是實(shí)數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.【例5】設(shè),且,則的最小值為_(kāi)____________【變式】已知關(guān)于的不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)求的最大值.結(jié)論六、權(quán)方和不等式已知,則,當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.【例6】