湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2025屆問津教育聯(lián)合體高二12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.在等差數(shù)列中，若，則公差（）A.2 B.4 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：B.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將題中拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€可化為，所以其準(zhǔn)線方程為.故選：C.3.冰糖葫蘆是中國(guó)傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑（圖2中圓的半徑）為2，竹簽所在的直線方程為，則與該串冰糖動(dòng)蘆的山楂都相切的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求直線方程為，結(jié)合兩平行直線間的距離公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)橹窈炈诘闹本€方程為，設(shè)與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為，由兩平行直線間的距離公式，可得，解得，所以與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為.故選：D.4.三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則與空間向量基本定理，求解即可.【詳解】故選：D.5.雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過，則該雙曲線離心率為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系求解.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，將代入漸近線方程得，所以，故選:B．6.已知點(diǎn)P，Q是圓O：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l：上，若的最大值為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷直線與圓為相離，再由題設(shè)得為圓切線，根據(jù)已知確定，設(shè)應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求坐標(biāo).【詳解】由到的距離，故直線任意一點(diǎn)與圓上兩點(diǎn)所成角最大，則為圓的切線，要使的最大值為，即為邊長(zhǎng)為的正方形，則，此時(shí)，令，有，，所以，即.故選：A7.如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，由圓錐的幾何性質(zhì)可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又因?yàn)?，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.8.已知點(diǎn)為橢圓:的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，利用橢圓的定義以及圓的幾何性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，所以的最小值是.故選：C.二、多選題（每小題5分，共20分）9.若方程所表示的曲線為，則（）A.曲線可能是圓B.若，則橢圓C.若為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，則D.若為雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上，則【答案】AC【解析】【分析】AB選項(xiàng)，計(jì)算出時(shí)，曲線表示圓，A正確，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的橢圓所滿足的條件得到不等式，求出答案；D選項(xiàng)，根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線所滿足的條件得到不等式，求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)，即時(shí)，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，則，解得，故選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，若為雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上，方程即，則，解得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.（多選）已知直線與曲線，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)D.當(dāng)或時(shí)，直線與曲線沒有交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【詳解】[把化成為，因?yàn)?，，所以曲線表示圓的下半部分，如圖，，，．當(dāng)過時(shí)，，直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)過時(shí)，，這時(shí)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)與曲線相切時(shí)，，解得（舍去）．∴當(dāng)或時(shí)，直線與曲線無交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故選BCD．]11.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F.點(diǎn)M是拋物線上異于O的一動(dòng)點(diǎn)，直線OM交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，下列結(jié)論正確的是（

）A.若，則B.若，則O為線段MN的中點(diǎn)C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，求得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，結(jié)合選項(xiàng)，利用拋物線的定義，求得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，對(duì)于A中，設(shè)，若，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，可得，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，則，不妨設(shè)，則直線的方程為，令，可得，即，所以為線段的中點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)，若，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，則，可得，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得，不妨設(shè)，則直線的方程為，令，可得，即，則，所以，所以D正確.故選：ABD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，Q為線段的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A.為中點(diǎn)時(shí)，過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的周長(zhǎng)為B.不存在點(diǎn)，使得平面平面C.存在點(diǎn)P使得的值為D.三棱錐外接球體積最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正方體的截面、空間向量法、空間距離、幾何體的外接球等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，為中點(diǎn)時(shí)，連接，由于分別是，所以，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，則過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為梯形，其周長(zhǎng)為，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，，，所以直線與平面不平行，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，將正方形、正方形展開成平面圖形如下圖所示，連接，交于，此時(shí)取得最小值為，所以不存在點(diǎn)P使得的值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，對(duì)于三棱錐，其中兩兩相互垂直，其中為定值，，而三棱錐外接球的直徑，是將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，也即，所以外接球半徑的最大值為，其體積的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】求解正方體截面有關(guān)問題，主要是通過擴(kuò)展截面得到，擴(kuò)展截面的方法主要是通過平行，也即共面來進(jìn)行.求解幾何體外接球有關(guān)問題，當(dāng)幾何體可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線也即外接球的直徑.三、填空題（每小題5分，共20分）13.設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)m的值是____________．【答案】【解析】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得半徑與圓心，由點(diǎn)線距離公式用表示弦心距，利用勾股定理表示半弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)為建立方程，求解即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，由題意弦的長(zhǎng)為，則，則，解得．故答案為：.14.如圖，某高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為時(shí)，水面寬度為，當(dāng)水面再上升時(shí)，水面寬度為______________.【答案】6【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，讓拋物線的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求出，再根據(jù)求出，則答案可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，讓拋物線的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則由題意可設(shè)拋物線的方程為，由題意可知點(diǎn)在拋物線上，則，所以，所以拋物線的方程為，當(dāng)水面再上升時(shí)，，此時(shí)有，解得，所以此時(shí)的水面寬度為.故答案為：6.15.已知正方體的所有棱長(zhǎng)均為1，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則到平面的最大距離為______．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出平面的法向量，從而求出點(diǎn)到平面的距離，求出最大值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，故點(diǎn)到平面的距離為，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：16.已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，則此橢圓的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立，得到線段的中點(diǎn)為，設(shè)與的交點(diǎn)分別為，，利用點(diǎn)差法能求出橢圓的離心率.【詳解】聯(lián)立得：，所以直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)為，設(shè)與的交點(diǎn)分別為，，所以，，則，，分別把，代入到橢圓得：，兩式相減得：，因?yàn)橹本€為：，所以，且，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題（共6題，共70分）17.已知數(shù)列an=n（n+2）.（1）寫出這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)和第20項(xiàng)；（2）63是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【答案】（1）（2）63是這個(gè)數(shù)列中的第7項(xiàng)【解析】【分析】（1）代入和求解即可；（2）令求解即可【小問1詳解】由題意，，【小問2詳解】令，則，因?yàn)?，故，?3是這個(gè)數(shù)列中的第7項(xiàng)18.已知正三棱柱，底面邊長(zhǎng)，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）求三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；（2）求與夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，可知即可求三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng).（2）用求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則、、、、、，∴，，∵，則，解得，故正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為．【小問2詳解】由（1）可知，，，則，故與夾角的余弦值為．19.已知圓，兩點(diǎn)、.（1）若，直線過點(diǎn)且被圓所截的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使得，求圓半徑的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的距離為，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合可得知點(diǎn)在圓，可知圓與圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，即可解得的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且被圓所截的弦長(zhǎng)為，則圓心到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，所以，直線的方程為或.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，整理可得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則圓與圓有公共點(diǎn)，且圓的圓心為，半徑為，則，且，故，因?yàn)?，解得，故的取值范圍?20.如圖，A地在B地東偏北45°方向相距處，且B與相距4km.已知曲線形公路上任意一點(diǎn)到B地的距離等于到高鐵線（近似看成直線）的距離，現(xiàn)要在公路旁建造一個(gè)變電房M（變電房與公路之間的距離忽略不計(jì)）（1）試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求環(huán)形公路所在曲線的軌跡方程；（2）問變電房M應(yīng)建在相對(duì)A地的什么位置（方位和距離），才能使得架設(shè)電路所用電線長(zhǎng)度最短？并求出最短長(zhǎng)度.【答案】（1）（2），位于A地正南方且與A地相距，所用電線最短長(zhǎng)度為6km.【解析】【分析】（1）取經(jīng)過點(diǎn)B且垂直的直線為y軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知環(huán)形公路所在曲線的軌跡是拋物線，直接利用拋物線的定義得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用拋物線的定義，把所要求的最小值轉(zhuǎn)化為在拋物線上取一點(diǎn)，使該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離和到高鐵線的距離最小.【小問1詳解】如圖，取經(jīng)過點(diǎn)B且垂直的直線為y軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，建立直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)榄h(huán)形公路上任意一點(diǎn)到B地的距離等于到直線的距離，所以所在的曲線是以為焦點(diǎn)以l為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線方程為，則.∴環(huán)形公路所在曲線的軌跡方程為.【小問2詳解】要使架設(shè)電線長(zhǎng)度最短，即最小，過M作，垂足為H，∴，當(dāng)A、M、H三點(diǎn)共線時(shí)，即取得最小值，此時(shí)，位于A地正南方且與A地相距，所用電線最短長(zhǎng)度為6km.21.如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）若為上的一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由、可證得平面，由面面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得的值，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：在梯形中，取中點(diǎn)，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，；，，平面，平面，平面，平面平面.【小問2詳解】解：分別取中點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面，平面，平面，分別為中點(diǎn)，，平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；點(diǎn)到平面的距離，解得：，；平面軸，平面的一個(gè)法向量，，所以，平面與平面夾角的余弦值為.22.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，若點(diǎn)，是曲線上兩點(diǎn)，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）利用橢圓離心率的定義與待定系數(shù)法求得，從而得解；（2）利用橢圓的對(duì)稱性，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為的面積，再利用弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)線距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，從而，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接