【數(shù)學(xué)】2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考（新高考專用）01（解析版）

2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考01（新高考專用）數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題1．若全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，則，A錯(cuò)誤，，B錯(cuò)誤，C正確，或，D錯(cuò)誤.故選：C.2．設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則設(shè)，由得，由，得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選：B.3．記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若是遞增數(shù)列，則公差，所以，故，所以為遞增數(shù)列，若為遞增數(shù)列，則，則，故，所以是遞增數(shù)列，故“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的充要條件，故選：C4．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定義域是，令，其在定義域上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，.故選：A.5．北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過(guò)約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中大于0的常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓.聲壓級(jí)的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說(shuō)話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)比人正常說(shuō)話時(shí)的聲壓級(jí)約大，則火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令人正常說(shuō)話時(shí)的聲壓級(jí)為，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)為，則，而人正常說(shuō)話的聲壓，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為.故選：D6．已知為銳角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由誘導(dǎo)公式可得，由倍角公式有，所以，由為銳角，則.故選：D7．如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與分別在第一?二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為，則，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故選：D.8．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.綜上，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題9．袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取5次，每次取一個(gè)球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（

）A．可能取到數(shù)字4 B．中位數(shù)可能是2C．極差可能是4 D．眾數(shù)可能是2【答案】BD【解析】設(shè)這5個(gè)數(shù)字為，對(duì)于A：若取到數(shù)字4，不妨設(shè)為，則，可得，可知這4個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)1，不妨設(shè)為，則這5個(gè)數(shù)字的方差，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)檫@5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個(gè)數(shù)字至少有1個(gè)1，不妨設(shè)為，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設(shè)為，則這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，則，可知這3個(gè)數(shù)有2個(gè)1，1個(gè)2，此時(shí)這5個(gè)數(shù)字的方差，不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；故選：BD.10．英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過(guò)程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．【答案】ACD【解析】，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，令0，得，故A正確.，故，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確，所以，D正確.故選ACD.11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，C1重合)，過(guò)點(diǎn)P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點(diǎn)，若CP＝CM＝CN，則下列說(shuō)法正確的是（）A．A1C⊥平面B．存在點(diǎn)P，使得AC1∥平面C．存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為D．用過(guò)點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】

連接，因?yàn)?，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可證，平面又，、平面，所以平面平面，易證⊥平面，所以⊥平面，A正確又平面，所以與平面相交，不存在點(diǎn)P，使得∥平面，B不正確.因?yàn)椋c(diǎn)到平面的距離為所以點(diǎn)A1到平面的距離的取值范圍為又，所以存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為，C正確.因?yàn)?，所以，所以用過(guò)點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形又，且，所以截面為梯形，D正確故選：ACD12．已知是定義在R上的函數(shù)，且不恒為0，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A．B．C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．【答案】ABD【解析】為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于對(duì)稱.又為偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，可得，則的周期為4，對(duì)A，，令得，故A選項(xiàng)正確；對(duì)B，又，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，，令，則，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；又，所以，由以上可知，，，函數(shù)的周期為4，則，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240，則．【答案】3【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令得，令，無(wú)解，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以.故答案為：314．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則．【答案】4【解析】因?yàn)?，所以是函?shù)圖象的對(duì)稱中心，則為線段的中點(diǎn)，可得，則．故答案為：4.15．設(shè)函數(shù)，且函數(shù)在恰好有5個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)在恰好有5個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上恰有5條對(duì)稱軸．當(dāng)時(shí)，，令，則在上恰有5條對(duì)稱軸，如圖：所以，解得．16．如圖，在直三棱柱中，，若為空間一動(dòng)點(diǎn)，且，則滿足條件的所有點(diǎn)圍成的幾何體的體積為；若動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，則線段長(zhǎng)的最小值為．

【答案】【解析】由可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的球面，所以圍成的球的體積為，過(guò)作，由，則由等面積法可得,由于在直三棱柱中，平面平面故,由于平面，故平面，由于平面，故,所以,由于到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離相等，均為，又，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的球與側(cè)面的截面圓，該截面圓的半徑為,圓心為,且滿足，因此點(diǎn)的最小距離為，故，故答案為：，

四、解答題17．已知數(shù)列滿足，且點(diǎn)在直線上(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列前項(xiàng)和為，求能使對(duì)恒成立的（）的最小值．解：(1)由點(diǎn)在直線上得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，故，即．(2)，所以，要使對(duì)恒成立，，即，又，所以的最小值為5．18．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求的大??；(2)若，直線分別交于兩點(diǎn)，且把的面積分成相等的兩部分，求的最小值.解：(1)方法一：由已知，即，，又.方法二：，即.(2)，，.在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立，的最小值為.19．2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國(guó)舉行，我國(guó)因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)？了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生女生合計(jì)(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)選取人贈(zèng)送科普材料，求選取的人中至少有人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：．常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)因?yàn)?，所以了解人工智能的女生為，了解人工智能人?shù)為，則了解人工智能的男生有人，結(jié)合男生和女生各有人，填寫(xiě)列聯(lián)表為：了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生401050女生302050合計(jì)7030100則，故沒(méi)有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān).(2)①由題意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，選取的人中至少有人了解人工智能的概率為；②由列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學(xué)生的頻率為，將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為，由題意可知，，所以，，.20．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，是線段上一點(diǎn)．(1)若平面，求；(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大？解：(1)，所以，解得，由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，所以垂直平分，，在三角形中，由正弦定理得，則，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.(2)由(1)得，設(shè)，，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.21．已知圓，點(diǎn)，P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，線段PN的中垂線與直線PM交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)，點(diǎn)E、F（不在曲線C上）是直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線、與曲線C分別交于點(diǎn)A、B（不與、重合），證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)．(1)解：連接，則，故，所以曲線C是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)C的方程為，則，解得，所以曲線C的方程為(2)證明：設(shè)，，直線，令得，直線，令得，因?yàn)镋、F關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，所以①，因?yàn)椋裕寓?，將②代入①得，所以，所以，由得，解得且，，所以，所以，所以，即，因?yàn)橹本€AB不過(guò)點(diǎn)，所以，所以，直線過(guò)定點(diǎn)．22．已知函數(shù).(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)求所有的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào).(1)證明：設(shè)（），則，設(shè)（），則，顯然所以在上單調(diào)遞增，故，所以.則在上單調(diào)遞增，所以，因此(2)解：解法1：因?yàn)?，所以為奇函?shù).要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào).又.因?yàn)椋?/p>