1 2集合間的基本關系講義 高中數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

三集合與集合的關系【考綱解讀】理解子集和真子集的定義；掌握子集，真子集的性質及其表示的基本方法，了解子集與真子集之間的聯(lián)系和區(qū)別；理解集合相等的定義，掌握集合相等的性質及其表示的基本方法，能夠運用子集，真子集和集合相等的性質解答相關的數(shù)學問題。【知識精講】一、集合與集合的包含關系：1、子集：（1）子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xA,都有xB,那么稱集合A是集合B的子集；也可以說成集合A包含于集合B（或集合B包含集合A)；（2）子集的表示：用符號“”表示子集，讀作“包含于”，用符號“”表示不是子集，讀作“不包含于”；規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對任意的集合A，都有A；（3）子集的性質：①空集是任何集合的子集（即對任意的集合A，都有A）；②子集具有傳遞性（即若AB，BC，則AC）；③若AB，則AB=A；④含有n個元素的有限集合的子集個數(shù)為個。2、真子集：（1）真子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xA,都有xB,且存在B,但A,那么稱集合A是集合B的真子集；也可以說成集合A真包含于集合B（或集合B真包含集合A）；（2）真子集的表示：用符號“”表示真子集，讀作“真包含于”，用符號“”表示不是真子集，讀作“不真包含于”；(3)真子集的性質：①空集是任何非空集合的真子集（即對任意的非空集合A，都有A）；②真子集具有傳遞性（即若AB，BC，則AC）；③含有n個元素的有限集合的真子集個數(shù)為（-1）個。(4)真子集與子集的關系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。二、集合與集合的相等關系：1、集合與集合相等的定義：如果集合A、B滿足：AB,且BA,則稱集合A與集合B相等；2、集合與集合相等的表示：用符號“=”表示集合與集合的相等關系，例如集合A與集合B相等可表示為A=B?！咎綄Э键c】考點1集合與集合的包含關系：熱點①給出集合A，B，判斷集合A，B的包含關系；熱點②給定集合A，全集U，且BU，AB，求滿足條件的集合B的個數(shù)；熱點③給出集合A，B，已知AB，求集合B中參數(shù)的值（或取值范圍）；考點2集合與集合的相等關系：熱點①給出集合A，B，判斷集合A，B的相等關系；熱點②給出集合A，B，已知A=B，求集合A，B中參數(shù)的值（或取值范圍）?！镜淅馕觥俊镜淅?】解答下列問題：1、在下列各式中錯誤的個數(shù)是（）①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}{0，1，2}；④{0，1，2}={2，0，1}.A1B2C3D02、已知集合A={x|x是菱形}，B={x|x是正方形}，C={x|x是平行四邊形}，那么A，B，C之間的關系是（）BAABCBBACCABCDA=BCBA3、若集合A={-1,0}，B={0,1，x+2}集合A，BA的關系如圖所示，則實數(shù)x的值為；已知集合A={（x，y）|x+y=2，x，yN}，則A的所有子集個數(shù)為；5、設集合P是大于1且小于6的所有質數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個6、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,則集合M的真子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個已知集合A=｛x|1≤x＜5｝，集合C=｛x|-a＜x≤a+3｝,若CA，則a的取值范圍為()A-＜a≤-1Ba≤-Ca≤-1Da＞-8、集合M={x|x=3k-2，kZ}，P={y|y=3n+1，,nZ}，S={z|z=6m+1，,mZ}之間的關系是（）ASPMBS=PMCSP=MDP=MS9、已知集合M={（x，y）|x+y＜0,xy＞0},P={（x，y）|x＜0，y＜0}，則M，P的關系是；設A=｛x|-3x+2=0｝，B=｛x|x+2＞a｝,如果AB,求實數(shù)a的取值范圍； 11、已知集合A=｛x|0＜ax+1≤5｝,B=｛x|-＜x≤2｝.（1）若AB,求實數(shù)a的取值范圍；（2）若BA,求實數(shù)a的取值范圍；（3）A，B能否相等？若能求出實數(shù)a的值；若不能說明理由。12、已知集合A=｛x|a-3x+2=0,aR｝. （1）若A是空集，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素求出來；（3）若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍?！核伎紗栴}1』（1）【典例1】是集合與集合包含關系的問題，解答這類問題需要理解子集，真子集的定義，掌握子集，真子集的性質；（2）集合與集合的包含關系包括：①子集；②真子集；解答問題時需要注意子集與真子集之間的關系；（3）注意空集的特殊性，在具體問題中，如果沒有說明集合非空，則應該考慮空集的可能性，尤其是問題中涉及到AB時，一定要注意分A=和A兩種情況來考慮；（4）對含有參變量的集合問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，同時還應注意分類標準的確定，作到分類合理，不重復不遺漏?！簿毩?〕解答下列問題：1、設集合P是大于1且小于8的所有奇數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個2、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,則集合M的真子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個3、集合A={1，3，x}，B={1，}，且BA，則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)為（）A1B2C3D44、已知集合A={x|-x-2＜0},B={x|-1＜x＜1},則（）AABBBACA=BDA∩B=5、設A=｛x|-4x+3=0｝，B=｛x|x+2＞a｝,如果AB,求實數(shù)a的取值范圍；6、設A=｛x|-1＜x＜3｝，B=｛x||x|＞a｝,如果AB,求實數(shù)a的取值范圍.【典例2】解答下列問題：1、若集合A={-1,4}，集合B={x|-3x-4=0}，則集合A，B的關系是。2、已知集合A=｛a+2，(a+1)，+3a+3｝，B={0},若A=B，則實數(shù)a的值是（）A0B1C2D33、設集合A={x，y}，B={0，}，若A=B，則實數(shù)x=,y=；4、已知集合A=｛a,,1｝,B=｛,a+b,0｝.若A=B，求：的值?！核伎紗栴}2』【典例2】是集合與集合相等的問題，解答這類問題需要理解集合相等的定義，掌握集合相等的性質；對含有參變量的集合相等問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，注意參數(shù)分類討論的原則和基本方法。〔練習2〕解答下列問題：若集合A={2,3}，集合B={x|-5x+6=0}，則集合A，B的關系是。2、設集合A=｛2，x,y｝，集合B=｛2x,,2｝，若A=B，求實數(shù)x，y的值。3、設A=｛7，0，-2a+2｝，B=｛a-3，-2a+4，5｝,如果A=B,求實數(shù)a的值?！镜淅?】解答下列問題：1、下列集合為空集的是（）A{x|+3=3}B{（x,y）|y=-，x，yR}C{x|-0}D{x|-x+1=0，xR} 2、下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，則A。其中正確的有（）A0個B1個C2個D3個已知{x|-x+a=0}，則實數(shù)a的取值范圍是。『思考問題3』（1）【典例3】是與空集相關的問題，解答這類問題需要理解空集的定義，分辨清楚空集和數(shù)0之間的關系；（2）空集是指沒有元素的集合，它雖然沒有元素，但它是一個集合，它的子集只有一個就是它本身，由此可以得出以空集為真子集的集合一定不是空集?！簿毩?〕按要求解答下列各題：1、下列集合為空集的是（）A{x|+1=1}B{（x,y）|y=，x，yR}C{x|-|x|0}D{x|-x+2=0，xR}）已知{x|-ax+1=0}，則實數(shù)a的取值范圍是?！纠讌^(qū)警示】【典例4】解答下列問題：1、已知集合A={x|-2x-8=0},B={x|ax=1},若BA，則滿足條件的實數(shù)a的值是。2、已知集合A=｛a,,1｝,B=｛,a+b,0｝.若A=B，求：的值?！核伎紗栴}4』【典例4】是解答集合與集合關系問題時，容易觸碰的雷區(qū)。該類問題的雷區(qū)主要包括：①求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任何集合的子集，導致解答問題出現(xiàn)錯誤；②求解集合相等問題時，忽視集合元素的基本性質，導致解答問題出現(xiàn)錯誤；解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任何集合子集的雷區(qū)，對問題中含有參數(shù)的集合需要從集合是空集和集合不是空集兩種情況分別求解，避免漏解的情況發(fā)生；解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合相等問題時，忽視集合元素基本性質的雷區(qū)，需要理解并掌握集合元素的基本性質，尤其注意集合元素的互異性?！簿毩?〕解答下列問題：1、已知集合A={xR|a-3x+2=0}，B={1}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是。2、設a，bR，集合A={1，a+b，a}，集合B={0，，b}，若A=B，則b-a=。【追蹤考試】【典例5】解答下列問題：設集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},若AB，則a=（）（2023全國高考新高考II）A2B1CD-12、已知集合A={0，z}，B={0，2，4}，若AB，則實數(shù)z的值為（）（成都市2020高三三診）A0或2B0或4C2或4D0或2或43、（理）設集合A={x|-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B=｛x|-2≤x≤1｝，則a=（）A-4B-2C2D4（文）已知集合A=｛x|-3x-4<0｝，B=｛-4，1，3，5｝，則A∩B=（）A｛-4，1｝B｛1，5｝C｛3，5｝D｛1，3｝4、已知集合A=｛x|-2x＞0｝,B=｛x|-＜x＜｝,則（）AA∩B=BA∪B=RCABDBA『思考問題5』（1）【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一上期期末調研考試）試卷中關于集合與集合關系的問題，歸結起來主要包括：①判斷集合與集合關系；②已知集合與集合的關系，求滿足一定條件集合的個數(shù)；③已知集合與集合的關系，求集合中參數(shù)的值（或取值范圍）等幾種類型；（2）解答問題的基本方法是：①判斷問題屬于哪一種類型；②根據(jù)該種類型問題的解題思路和解答方法對問題實施解答；③得出問題的解答結果?！簿毩?〕解答下列問題：1、已知集合A=｛x|x是平行四邊形｝，B=｛x|x是矩形｝，C=｛x|x是正方形｝，D=｛x|x是菱形｝，則（）AABBCBCDCDAD2、已知集合A=｛x|-x-2＜0｝,B=｛x|-1＜x＜1｝,則（）AABBBACA=BDA∩B=3、已知集合M=｛0，1,2,3,4｝，N=｛1,3,5｝,P=M∩N,則P的子集共有（）A2個B4個C6個D8個三集合與集合的關系【考綱解讀】理解子集和真子集的定義；掌握子集，真子集的性質及其表示的基本方法，了解子集與真子集之間的聯(lián)系和區(qū)別；理解集合相等的定義，掌握集合相等的性質及其表示的基本方法，能夠運用子集，真子集和集合相等的性質解答相關的數(shù)學問題?！局R精講】一、集合與集合的包含關系：1、子集：（1）子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xA,都有xB,那么稱集合A是集合B的子集；也可以說成集合A包含于集合B,或集合B包含集合A；（2）子集的表示：用符號“”表示子集，讀作包含于，用符號“”表示不是子集，讀作不包含于；規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對任意的集合A，都有A；（3）子集的性質：子集有如下性質：①空集是任何集合的子集（即對任意的集合A，都有A）；②子集具有傳遞性（即若AB，BC，則AC）；③若AB，則AB=A；④含有n個元素的有限集合的子集個數(shù)為個。2、真子集：（1）真子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xA,都有xB,且存在B,但A,那么稱集合A是集合B的真子集；也可以說成集合A真包含于集合B,或集合B真包含集合A；（2）真子集的表示：用符號“”表示真子集，讀作真包含于，用符號“”表示不是真子集，讀作不真包含于；(3)真子集的性質：真子集具有如下性質：①空集是任何非空集合的真子集（即對任意的非空集合A，都有A）；②真子集具有傳遞性（即若AB，BC，則AC）；③含有n個元素的有限集合的真子集個數(shù)為（-1）個。(4)真子集與子集的關系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。二、集合與集合的相等關系：1、集合與集合相等的定義：如果集合A、B滿足：AB,且BA,則稱集合A與集合B相等；2、集合與集合相等的表示：用符號“=”表示集合與集合的相等關系，例如集合A與集合B相等可表示為A=B?！咎綄Э键c】考點1集合與集合的包含關系：熱點①給出集合A，B，判斷集合A，B的包含關系；熱點②給定集合A，全集U，且BU，AB，求滿足條件的集合B的個數(shù)；熱點③給出集合A，B，已知AB，求集合B中參數(shù)的值（或取值范圍）；考點2集合與集合的相等關系：熱點①給出集合A，B，判斷集合A，B的相等關系；熱點②給出集合A，B，已知A=B，求集合A，B中參數(shù)的值（或取值范圍）?！镜淅馕觥俊镜淅?】解答下列問題：1、在下列各式中錯誤的個數(shù)是（）①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}{0，1，2}；④{0，1，2}={2，0，1}.A1B2C3D0【解析】【知識點】①元素與集合的關系；②集合與集合的關系。【解題思路】根據(jù)元素與集合的關系，集合與集合的關系，結合問題條件對各式的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。【詳細解答】由元素與集合的關系，集合與集合的關系可知，①正確，②錯誤，③錯誤，④正確；B正確，選B。2、已知集合A={x|x是菱形}，B={x|x是正方形}，C={x|x是平行四邊形}，那么A，B，C之間的關系是（）AABCBBACCABCDA=BC【解析】【知識點】①集合與集合的關系；②平行四邊形，菱形，正方形之間的關系。【解題思路】根據(jù)平行四邊形，菱形，正方形之間的關系，確定出集合A，B，C之間的關系就可得出選項。B【詳細解答】集合A={x|x是菱形}，B={x|x是正方形}，C={x|x是平行四邊形}，BAC，B正確，選B。B3、若集合A={-1,0}，B={0,1，x+2}集合A，BA的關系如圖所示，則實數(shù)x的值為；A【解析】【知識點】①元素與集合的關系；②集合與集合的關系?！窘忸}思路】由圖可知AB，-1B，x+2=-1，x=-3。【詳細解答】由圖可知AB，-1B，x+2=-1，x=-3。4、已知集合A={（x，y）|x+y=2，x，yN}，則A的所有子集個數(shù)為；【解析】【知識點】①集合的表示的基本方法；②子集的定義與性質?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質，結合問題條件確定出集合A的元素，出而求出集合A子集的個數(shù)。【詳細解答】A={（x，y）|x+y=2，x，yN}A={（0，2），（1，1），（2，0）}，集合A的子集個數(shù)為8。5、設集合P是大于1且小于6的所有質數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個【解析】【知識點】①質數(shù)定義與性質；②子集定義與性質?！窘忸}思路】根據(jù)質數(shù)和子集的性質，結合問題條件確定出集合P的元素，出而求出集合P子集的個數(shù)就可得出選項?！驹敿毥獯稹考螾是大于1且小于6的所有質數(shù)組成的集合，P={2，3，5}，集合P的子集個數(shù)為8個，A正確，選A。6、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,則集合M的真子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個【解析】【知識點】①集合表示的基本方法；②真子集的定義與性質?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和真子集的性質，結合問題條件確定出集合M的元素，出而求出集合M真子集的個數(shù)就可得出選項?！驹敿毥獯稹考螹=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,集合M的元素是平面直角坐標系內的點，點的坐標由3x+4y-12＜0,x,y確定，M={（1，1），（1，2），（2，1）}，集合A的真子集個數(shù)為7，B正確，選B。7、已知集合A=｛x|1≤x＜5｝，集合C=｛x|-a＜x≤a+3｝,若CA，則a的取值范圍為()A-＜a≤-1Ba≤-Ca≤-1Da＞-【解析】【知識點】①集合表示的基本方法；②子集的定義與性質；③求解不等式組的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質，結合問題條件得到關于a的不等式組，運用求解不等式組的基本方法，求解不等式組求出a的取值范圍就可得出選項。【詳細解答】集合A=｛x|1≤x＜5｝，集合C=｛x|-a＜x≤a+3｝,若CA，1≤-a①，a+3<5②，-a<a+3③，聯(lián)立①②③解得：-<a≤-1，A正確，選A。8、集合M={x|x=3k-2，kZ}，P={y|y=3n+1，,nZ}，S={z|z=6m+1，,mZ}之間的關系是（）ASPMBS=PMCSP=MDP=MS【解析】【知識點】①集合表示的基本方法；②子集的定義與性質?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質，結合問題條件確定出結合S，P，M的關系就可得出選項。【詳細解答】集合M={x|x=3k-2，kZ}={x|x=3k+1，kZ}，，P={y|y=3n+1，,nZ}，S={z|z=6m+1，,m∈Z}SP=M，C正確，選C。9、已知集合M={（x，y）|x+y＜0,xy＞0},P={（x，y）|x＜0，y＜0}，則M，P的關系是；【解析】【知識點】①集合表示的基本方法；②子集定義與性質?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質，結合問題條件就可確定出集合M，P的關系?！驹敿毥獯稹縈={（x，y）|x+y＜0,xy＞0}={（x，y）|x＜0，y＜0}，P={（x，y）|x＜0，y＜0}集合P=M。10、設A=｛x|-3x+2=0｝，B=｛x|x+2＞a｝,如果AB,求實數(shù)a的取值范圍； 【解析】【知識點】①集合表示的基本方法；②子集定義與性質；③求解一元二次方程的基本方法；④求解一元一次不等式的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式就可求出實數(shù)a的取值范圍?！驹敿毥獯稹考螦=｛x|-3x+2=0｝={1，2}，B=｛x|x+2＞a｝=｛x|x＞a-2｝,AB,a-2≤1，a≤3，實數(shù)a的取值范圍是（-，3]。11、已知集合A=｛x|0＜ax+1≤5｝,B=｛x|-＜x≤2｝.（1）若AB,求實數(shù)a的取值范圍；（2）若BA,求實數(shù)a的取值范圍；（3）A、B能否相等？若能求出實數(shù)a的值；若不能說明理由。【解析】【知識點】①集合表示的基本方法；②一元一次不等式定義與性質；③參數(shù)分類討論的原則與方法；④子集定義與性質?！窘獯鹚悸贰扛鶕?jù)一元一次不等式的性質和參數(shù)分類討論的原則與基本方法，化簡集合A，結合問題條件得到關于參數(shù)a的不等式組（或方程），求解不等式組（或方程）就可求出實數(shù)a的取值范圍（或值）?！驹敿毥獯稹浚?）①當a＞0時，A=｛x|0＜ax+1≤5｝=｛x|-＜x｝，B=｛x|-＜x≤2｝，AB，--①，2②，a＞0③，聯(lián)立①②③解得：a2；②當a=0時，A=｛x|0＜ax+1≤5｝=R，B=｛x|-＜x≤2｝，顯然AB不成立；③當a＜0時，A=｛x|0＜ax+1≤5｝=｛x|x＜-｝,B=｛x|-＜x≤2｝，AB,-①，-2②，a＜0③，聯(lián)立①②③解得：a-8，綜上所述，當AB時,實數(shù)a的取值范圍是（-，-8]［2，+）；（2）①當a＞0時,A=｛x|0＜ax+1≤5｝=｛x|-＜x｝，B=｛x|-＜x≤2｝，BA，--①，2②，a＞0③，聯(lián)立①②③解得：0＜a2；②當a=0時，A=｛x|0＜ax+1≤5｝=R，顯然BA不成立；③當a＜0時，A=｛x|0＜ax+1≤5｝=｛x|x＜-｝,B=｛x|-＜x≤2｝，BA，＜-①，-2②，a＜0③，聯(lián)立①②③解得：-a＜0，綜上所述，若BA，則實數(shù)a的取值范圍是［-，0）（0，2］；（3）設A=B能成立，①當a＞0時,A=｛x|0＜ax+1≤5｝=｛x|-＜x｝，B=｛x|-＜x≤2｝，A=B，-=-①，=2②，a＞0③，聯(lián)立①②③解得：a=2；②當a=0時，A=｛x|0＜ax+1≤5｝=R，B=｛x|-＜x≤2｝，顯然A=B不成立；③當a＜0時，A=｛x|0＜ax+1≤5｝=｛x|x＜-｝,B=｛x|-＜x≤2｝，A=B，=-①，-=2②，a＜0③，此時無解，綜上所述，存在實數(shù)a=2，使A=B成立。12、已知集合A=｛x|a-3x+2=0,aR｝. （1）若A是空集，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素求出來；（3）若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥俊局R點】①集合表示的基本方法；②一元二次方程根的判別式及運用；③空集定義與性質；=4\*GB3④參數(shù)分類討論的原則和基本方法?！窘獯鹚悸贰扛鶕?jù)空集的性質，運用一元二次方程根的判別式，得到關于參數(shù)a的不等式（或方程），求解不等式（或方程）就可求出實數(shù)a的取值范圍（或值）?！驹敿毥獯稹浚?）集合A是空集，方程a-3x+2=0,aR沒有實數(shù)根，①當a=0時，a-3x+2=0,-3x+2=0，x=與題意不符合；②當a0時，方程a-3x+2=0沒有實數(shù)根,=9-8a＜0，a＞，綜上所述，當集合A是空集時，實數(shù)a的取值范圍是（，+）；（2）若集合A中只有一個元素，①當a=0時，a-3x+2=0,-3x+2=0，x=與題意符合；②當a0時，a-3x+2=0有兩個相等的實數(shù)根,=9-8a=0，a=，綜上所述，當集合A中只有一個元素時，實數(shù)a=0或a=；（3）當集合A中至多有一個元素時，由（1），（2）可知，實數(shù)a的取值范圍是［，+）或{0}?！核伎紗栴}1』（1）【典例1】是集合與集合的關系問題，解答這類問題需要理解子集，真子集，集合相等的定義，掌握子集，真子集的性質；（2）集合與集合的關系包括：①包含關系，包含關系中又涉及到子集和真子集兩種情況，注意子集與真子集之間的關系；②相等關系，兩個集合相等的充分必要條件是它們的元素完全一樣，解答相關問題時要特別注意這個充分必要條件，同時還要注意集合元素的互異性和無序性；（3）注意空集的特殊性，在具體問題中，如果沒有說明集合非空，則應該考慮空集的可能性，尤其是問題中涉及到AB時，一定要注意分A=和A兩種情況來考慮；（4）對含有參變量的集合問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，同時還應注意分類標準的確定，作到分類合理，不重復不遺漏。〔練習1〕解答下列問題：1、設集合P是大于1且小于8的所有奇數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個（答案：A）2、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,則集合M的真子集的個數(shù)是（）A8個B7個C6個D4個（答案：B）3、集合A={1，3，x}，B={1，}，且BA，則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)為（）A1B2C3D4（答案：C）4、已知集合A={x|-x-2＜0},B={x|-1＜x＜1},則（）（答案：B）AABBBACA=BDA∩B=5、設A=｛x|-4x+3=0｝，B=｛x|x+2＞a｝,如果AB,求實數(shù)a的取值范圍；（答案：實數(shù)a的取值范圍是（-，3]）6、設A=｛x|-1＜x＜3｝，B=｛x||x|＞a｝,如果AB,求實數(shù)a的取值范圍.（答案：實數(shù)a的取值范圍是（-，0)[3，+））【典例2】解答下列問題：若集合A={-1,4}，集合B={x|-3x-4=0}，則集合A，B的關系是?！窘馕觥俊局R點】①集合相等定義與性質；②集合表示的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合相等的性質，結合問題條件就可得出集合A，B的關系。【詳細解答】集合A={-1,4}，集合B={x|-3x-4=0}={-1,4}，A=B。2、已知集合A=｛3，(a+1)，+3a+3｝，B={3，4，7},若A=B，則實數(shù)a的值是（）A0B1C2D3【解析】【知識點】①集合相等定義與性質；②集合元素的定義與性質；③集合表示的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)集合元素和集合相等的性質，運用表示集合的基本方法，結合問題條件得到關于a的方程組，求解方程組求出a的值就可得出選項。【詳細解答】A=｛3，(a+1)，+3a+3｝，B={3，4，7},A=B，=4，且+3a+3=7，或=7，且+3a+3=4，解之得：a=1，B正確，選B。3、設集合A={x，y}，B={0，}，若A=B，則實數(shù)x=,y=；【解析】【知識點】①集合相等定義與性質；②集合元素定義與性質?！窘忸}思路】根據(jù)集合相等和集合元素的性質，結合問題條件得到關于x，y的方程組，求解方程組就可求出x，y的值?！驹敿毥獯稹考螦={x，y}，B={0，}，A=B，=x，y=0，x=0或x=1，x0，x=1，y=0。4、已知集合A=｛a,,1｝,B=｛,a+b,0｝.若A=B，求：的值?！窘馕觥俊局R點】①集合表示的基本方法；②集合相等定義與性質。【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合相等的性質，結合問題條件求出a，b的值，就可求出的值?！驹敿毥獯稹考螦=｛a,,1｝,B=｛,a+b,0｝.A=B，a0，=0，=1，a=1，b=0，當a=1時，與集合元素的互異性不符合，a=-1，b=0，即：=+=-1+0=-1?！核伎紗栴}2』【典例2】是集合與集合相等的問題，解答這類問題需要理解集合相等的定義，掌握集合相等的性質；對含有參變量的集合相等問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，注意參數(shù)分類討論的原則和基本方法?！簿毩?〕解答下列問題：1、若集合A={2,3}，集合B={x|-5x+6=0}，則集合A，B的關系是。（答案：A=B）2、設集合A=｛2，x,y｝，集合B=｛2x,,2｝，若A=B，求實數(shù)x，y的值。（答案：x=0，y=1或x=,y=）3、設A=｛7，0，-2a+2｝，B=｛a-3，-2a+4，5｝,如果A=B,求實數(shù)a的值。（答案：a=3）【典例3】解答下列問題：1、下列集合為空集的是（）A{x|+3=3}B{（x,y）|y=-，x，yR}C{x|-0}D{x|-x+1=0，xR} 【解析】【知識點】①空集的定義與性質；②集合表示的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和空集的性質，結合問題條件對各選項是否是空集進行判斷就可得出選項?！驹敿毥獯稹繉，{x|+3=3}={0}，A錯誤；對B，B{（x,y）|y=-，x，yR}表示拋物線y=-上的點，不可能是空集，B錯誤；對C，{x|-0}={0}，C錯誤，對D，{x|-x+1=0，xR}=，D正確，選D。2、下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，則A。其中正確的有（）A0個B1個C2個D3個【解析】【知識點】①空集定義與性質；②子集定義與性質；③真子集定義與性質。【解題思路】根據(jù)空集，子集和真子集性質，結合問題條件對各說法的正確與錯誤進行判斷就可得出選項?！驹敿毥獯稹靠占侨魏渭系淖蛹?，空集是任何非空集合的真子集，①錯誤，②錯誤，③錯誤，④正確；B正確，選B。3、已知{x|-x+a=0}，則實數(shù)a的取值范圍是。【解析】【知識點】①真子集定義與性質；②空集定義與性質；③集合表示的基本方法。【解題思路】根據(jù)空集和真子集的性質，運用集合表示的基本方法，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式就可求出實數(shù)a的取值范圍。【詳細解答】{x|-x+a=0}，{x|-x+a=0}，=-4a0，a，若知{x|-x+a=0}，則實數(shù)a的取值范圍是（-，]?！核伎紗栴}3』（1）【典例3】是與空集相關的問題，解答這類問題需要理解空集的定義，分辨清楚空集和數(shù)0之間的關系；（2）空集是指沒有元素的集合，它雖然沒有元素，但它是一個集合，它的子集只有一個就是它本身，由此可以得出以空集為真子集的集合一定不是空集?！簿毩?〕解答下列問題：1、下列集合為空集的是（）A{x|+1=1}B{（x,y）|y=，x，yR}C{x|-|x|0}D{x|-x+2=0，xR}）（答案：D）已知{x|-ax+1=0}，則實數(shù)a的取值范圍是。（答案：實數(shù)a的取值范圍是（-，-2][2，+））【雷區(qū)警示】【典例4】解答下列問題：已知集合A={x|-2x-8=0},B={x|ax=1},若BA，則滿足條件的實數(shù)a的值是。解析】【知識點】①集合表示的基本方法；②集合元素定義與性質；③參數(shù)分類討論原則和基本方法。【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合元素的性質，運用參數(shù)分類討論原則和基本方法，結合問題條件就可求出滿足條件的實數(shù)a的值。【詳細解答】①當a=0時，集合A={x|-2x-8=0}={-2，4},B={x|ax=1}=,顯然與題意符合；②當a0時，集合A={x|-2x-8=0}={-2，4},B={x|ax=1}={}，集合B中的元素都是集合A中的元素，=-2或=4，a=-，或a=，綜上所述，若集合B中的元素都是集合A中的元素，則滿足條件的實數(shù)a的值是0，--，。已知集合A=｛a,,1｝,B=｛,a+b,0｝.若A=B，求：的值?！窘馕觥俊局R點】①集合表示的基本方法；②集合相等定義與性質?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合相等的性質，結合問題條件求出a，b的值，就可求出的值?！驹敿毥獯稹考螦=｛a,,1｝,B=｛,a+b,0｝.A=B，a0，=0，=1，a=1，b=0，當a=1時，與集合元素的互異性不符合，a=-1，b=0，即：=+=-1+0=-1。『思考問題4』【典例4】是解答集合與集合關系問題時，容易觸碰的雷區(qū)。該類問題的雷區(qū)主要包括：①求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任何集合的子集，導致解答問題出現(xiàn)錯誤；②求解集合相等問題時，忽視集合元素的基本性質，導致解答問題出現(xiàn)錯誤；解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任何集合子集的雷區(qū)，對問題中含有參數(shù)的集合需要從集合是空集和集合不是空集兩種情況分別求解，避免漏解的情況發(fā)生；解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合相等問題時，忽視集合元素基本性質的雷區(qū)，需要理解并掌握集合元素的基本性質，尤其注意集合元素的互異性?！簿毩?〕解答下列問題：1、已知集合A={xR|a-3x+2=0}，B={1}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是。（答案：實數(shù)a的取值范圍是（-，-]{0}）2、設a，bR，集合A={1，a+b，a}，集合B={0，，b}，若A=B，則b-a=。（答案：b-a=2）【追蹤考試】1、設集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},若AB，則a=（）（2023全國高考新高考II）A2B1CD-1【解析】【考點】①集合表示的基本方法；②子集定義與性質；③集合元素定義與性質；④元素與集合之間的關系及表示?！窘忸}思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合元素與子集的性質，運用元素與集合的關系及表示，結合問題條件得到關于a的方程，求解方程求出a的值就可得出選項?！驹敿毥獯稹考螦={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},若AB，a-2=0，且-a=1，或2a-2=0，且-a=1，或a-2=0，且-a=2a-2，或2a-2=0，且-a=a