5.1.4用樣本估計總體

5.1.4用樣本估計總體TOC\o"13"\h\z\u題型1用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 2◆類型1用樣本估計總體人數(shù) 2◆類型2用樣本方差估計總體方差 7◆類型3分位數(shù) 13題型2用樣本的分布估計總體的分布 18題型3雷達圖問題 24知識點一.用樣本估計總體用樣本估計總體：前提：樣本的容量恰當，抽樣方法合理.（2）必要性：①在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本估計總體，這樣能節(jié)省人力和物力等.②有時候總體的數(shù)字特征不可能獲得，只能用樣本估計總體.（3）誤差：估計一般是有誤差的．但是，大數(shù)定律可以保證，當樣本的容量越來越大時，估計的誤差很小的可能性將越來越大.注意：特別地，樣本平均數(shù)（也稱為樣本均值）、方差（也稱為樣本方差）與總體對應的值相差不會太大。當總體的數(shù)字特征不可能獲得時，只能用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征。估計一般是有誤差的。但是，大數(shù)定律可以保證，當樣本的容量越來越大時，估計的誤差很小的可能性將越來越大。一般來說，在估計總體的數(shù)字特征時，只需直接算出樣本對應的數(shù)字特征即可。2.用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征（1）一般來說，在估計總體的數(shù)字特征時，只需直接算出樣本對應的數(shù)字特征即可.（2）樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征．以分兩層抽樣的情況為例.條件假設第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s2；第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，方差為t2.結(jié)論如果記樣本均值為a，樣本方差為b2，則a=知識點二.用樣本的分布來估計總體的分布一般情況下，如果樣本的容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的分布與總體分布會差不多．特別地，每一組的頻率與總體對應的頻率相差不會太大.注意：如果總體在每一個分組的頻率記為π1，π2，…，πm，樣本在每一組對應的頻率記為p1，P2，…，Pm，一般來說，1ni=1n注意：一般是利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率近似地估計總體在所求范圍內(nèi)的頻率。所以，首先樣本抽取要合理科學，其次頻率分布表（直方圖）要正確繪制，或者找出題目所給頻率分布表（直方圖）中的相關信息，最后由樣本分布估計出總體分布情況。知識點三.“大數(shù)據(jù)”簡介凡是可以被“數(shù)據(jù)化”的信息載體都可以看成數(shù)據(jù)．信息載體包括的數(shù)據(jù)量達到一定的規(guī)?；蛘哌_到一定的復雜程度，都可以被認為是"大數(shù)據(jù)".題型1用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征◆類型1用樣本估計總體人數(shù)【例題11】（·湖北·高考真題（文））為了了解某學校學生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)此圖，估計該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為（

）A．300 B．360 C．420 D．450【答案】B【分析】由題意，根據(jù)頻率分布直方圖得出高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)在總體中所占的比例，再根據(jù)總?cè)藬?shù)是2000，即可求出人數(shù)得出答案.【詳解】由圖可知，高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)在總體中所占的比例是2×(0.04+0.035+0.015)=0.18，故該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為故選：B.【變式11】1．（2023下·吉林長春·高一長春吉大附中實驗學校?？计谀┠承?500名學生參加交通安全知識競賽，隨機抽取了100名學生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.0045B．估計這100名學生競賽成績的中位數(shù)為73C．估計這100名學生競賽成績的眾數(shù)為80D．估計總體中成績落在70,80內(nèi)的學生人數(shù)為525【答案】D【分析】先根據(jù)頻率之和為1可得a=0.005，進而可得每組的頻率，再結(jié)合統(tǒng)計相關知識逐項分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】對于選項A，因為10×2a+3a+7a+6a+2a=1，可得對于選項B，可知每組的頻率依次為0.10,0.15,0.35,0.30,0.10，設100名學生競賽成績的中位數(shù)為x，則0.10+0.15+(x-70)×0.035=0.5，解得x=77.14，故選項B錯誤；對于選項C，因為70,80的頻率最大，所以這100名學生競賽成績的眾數(shù)為75，故選項C錯誤；對于選項D，總體中成績落在70,80內(nèi)的學生人數(shù)為0.35×1500=525，故選項D正確.故選：D.【變式11】2．（2022·全國·益陽平高學校高一期末）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為全面貫徹黨的教育方針，提高學生的審美水平和人文素養(yǎng)，促進學生全面發(fā)展．某學校高一年級舉辦了班級合唱活動．現(xiàn)從全校學生中隨機抽取部分學生，并邀請他們?yōu)榇舜位顒釉u分（單位：分，滿分100分），對評分進行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)B．學生評分的中位數(shù)的估計值為85C．學生評分的眾數(shù)的估計值為85D．若該學校有3000名學生參與了評分，則估計評分超過80分的學生人數(shù)為1200【答案】C【分析】利用頻率分布直方圖，計算頻率、中位數(shù)、眾數(shù)即可逐項判斷作答.【詳解】對于A，a=0.1對于B，學生評分在[80,100]內(nèi)的頻率為0.6，則學生評分的中位數(shù)t在[80,90)內(nèi)，則有(t-80)對于C，學生評分在[80,90)的頻率最大，則學生評分的眾數(shù)的估計值為85，C正確；對于D，因評分超過80分的頻率為0.6，則估計評分超過80分的學生人數(shù)為3000×故選：C【變式11】3．（2023下·湖南長沙·高一長郡中學?？计谀δ承８呷昙墝W生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率10,15100.2515,2024n20,25mp25,3020.05合計M1

(1)寫出表中M、p及圖中a的值（不需過程）；(2)若該校高三年級學生有240人，試估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間10,15上的人數(shù)；(3)估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)的中位數(shù)．（結(jié)果精確到0.01）【答案】(1)M=40，p=0.1，a=0.12(2)60人(3)中位數(shù)是17.08．【分析】（1）根據(jù)頻率分布表求出M、n、p，結(jié)合頻率分布直方圖求出a；（2）由頻率估計人數(shù)；（3）根據(jù)中位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】（1）由頻率分布表可得M=10÷0.25=40，n=24÷40=0.6，所以p=1-0.25-0.6-0.05=0.1，a=0.6÷5=0.12．（2）因為該校高三年級學生有240人，在10,15上的頻率是0.25，所以估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在此區(qū)間上的人數(shù)為240×0.25=60人．（3）因為0.25<0.5且0.25+0.6>0.5，所以中位數(shù)在區(qū)間15,20上，因為中位數(shù)及前面的數(shù)的頻率之和為0.5，設樣本中位數(shù)為x，則0.25+0.12x-15=0.5，解得估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)的中位數(shù)是17.08．【變式11】4．（2023·高一課時練習）某校240名學生參加某次數(shù)學選擇題測驗（共10題每題1分），隨機調(diào)查了20個學生的成績?nèi)缦拢撼煽?分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人數(shù)6002423210(1)求樣本的均值；(2)請問估計有多少學生可達7分（包括7分）以上？【答案】(1)4.6(2)72【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式求解即可；（2）先求出抽樣的20名學生中，可達7分（包括7分）以上的學生頻率，再估計可達7分（包括7分）以上的學生人數(shù)即可.【詳解】（1）樣本的均值為：120（2）抽樣的20名學生中，可達7分（包括7分）以上的學生頻率為3+2+120所以估計可達7分（包括7分）以上的學生有240×3◆類型2用樣本方差估計總體方差【方法總結(jié)】在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究其偏離平均值的離散程度（即方差或標準差）.方差大說明取值離散程度大，方差小說明取值離散程度小或者取值集中、穩(wěn)定.）【例題12】（2022下·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）一所初級中學為了估計全體學生的平均身高和方差，通過抽樣的方法從初一年級隨機抽取了30人，計算得這30人的平均身高為154cm，方差為30；從初二年級隨機抽取了40人，計算得這40人的平均身高為167cm，方差為20；從初三年級隨機抽取了30人，計算得這30人的平均身高為170cm，方差為10．依據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用樣本的方差估計全校學生身高的方差，則全校學生身高方差的估計值為．【答案】64.4【分析】利用方差及平均數(shù)公式可得s2【詳解】初一學生的樣本記為x1，x2，…，x30，方差記為s12，初二學生的樣本記為y1，y2，…，y40，方差記為s2設樣本的平均數(shù)為ω，則ω=30×154+40×167+30×170設樣本的方差為s2則s=又i=130故i=130同理i=1402y因此，s==1故答案為：64.4.【變式12】1．（多選）（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）為響應自己城市倡導的低碳出行，小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時間（單位：分鐘），得到下列兩個頻率分布直方圖：基于以上統(tǒng)計信息，則（

）A．騎車時間的中位數(shù)的估計值22分鐘B．坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值是19分鐘C．坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值D．坐公交車時間的方差的估計值大于騎車時間的方差的估計值【答案】BCD【分析】A根據(jù)頻率分布直方圖中位數(shù)計算方法可得；B選項根據(jù)頻率分布直方圖百分位數(shù)計算方法可得；C選項根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)計算方法可得；D選項根據(jù)頻率分布直方圖觀察數(shù)據(jù)集中程度可得.【詳解】A選項：設騎車時間的中位數(shù)為m，由頻率分布直方圖可知0.1×2+m-20得m=21.5，故A錯誤；B選項：設坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值是y，由頻率分布直方圖可知0.025×2+0.05×2+0.075×2+n-18得n=19，故B正確；C選項：坐公交車時間的平均數(shù)的估計值xx騎車時間的平均數(shù)的估計值y故x<選項D：由頻率分布直方圖觀察可知，騎車時間的數(shù)據(jù)更集中，所以坐公交車時間的方差的估計值大于騎車時間的方差的估計值.故D正確.故選：BCD【變式12】2．（2022·山東淄博·高一期末）某校有高一學生1000人，其中男女生比例為3:2，為獲得該校高一學生的身高（單位：cm）信息，采用隨機抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計算得到男生樣本的均值為172，標準差為3，女生樣本的均值為162，標準差為4．(1)計算總樣本均值，并估計該校高一全體學生的平均身高；(2)計算總樣本方差．【答案】(1)167；168(2)37.5【分析】（1）根據(jù)男女生的樣本均值計算樣本均值；根據(jù)男女生的平均身高得到全校所有學生的身高總和，再求學生身高的平均值；（2）根據(jù)男女生的樣本均值和方差，直接計算樣本總體的方差即可.（1）把男生樣本記為x1,x2,把女生樣本記為y1,y2,把樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2；高一全體學生的身高均值記為Z根據(jù)平均數(shù)的定義，總樣本均值為：z=150高一全體學生的身高均值為：Z=600x（2）根據(jù)方差的定義，總樣本方差為：s=1由i=125(同理，j=125所以，總的樣本方差為37.5.【變式12】3．（2023上·遼寧沈陽·高一遼寧實驗中學?？茧A段練習）某次考試后，年級組抽取了100名同學的數(shù)學考試成績，繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算參數(shù)a的值，并估算這100名同學成績的平均數(shù)和中位數(shù)，結(jié)果保留至百分位；(2)已知這100名同學中，成績位于80,90內(nèi)的同學成績方差為12，成績位于90,100內(nèi)的同學成績方差為10，為了分析學優(yōu)生的成績分布情況，請估算成績在80分及以上的同學的成績的平均數(shù)和方差．【答案】(1)a=1(2)平均數(shù)87.5分，方差30.25．【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列方程求a，然后直接求解平均數(shù)和中位數(shù)即可；（2）先求出平均數(shù)，在利用方差公式計算方差即可.【詳解】（1）依題意，20a+30a+70a+60a+20a=1，得a=1∴各組的頻率依次為0.1,0.15,0.35,0.3,0.1，∴平均數(shù)為0.1×55+0.15×65+0.35×75+0.3×85+0.1×95=76.50分，中位數(shù)為70+10×0.25（2）分數(shù)在80,90區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為100×0.3=30，分數(shù)在90,100區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為100×0.1=10，所以成績在80分及以上的同學的成績的平均數(shù)為30×85+10×9530+10方差為30×12+【變式12】4.（2023下·廣西·高一期末）某中學400名學生參加全市高中數(shù)學競賽，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)由頻率直方圖求樣本中分數(shù)的中位數(shù)；(2)已知樣本中分數(shù)在40,50的學生有5人，試估計總體中分數(shù)小于40的人數(shù)；(3)已知樣本中男生與女生的比例是3:1，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請計算出總體的方差．【答案】(1)72.5(2)20人(3)117【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（3）由總樣本的均值與方差的公式計算求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，設分數(shù)中位數(shù)為x，則有0.04x-70=0.1，解得所以分數(shù)的中位數(shù)為72.5；（2）由頻率分布直方圖知，分數(shù)在50,90的頻率為0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9在樣本中分數(shù)在50,90的人數(shù)為100×0.9=90（人），在樣本中分數(shù)在40,90的人數(shù)為95人，所以估計總體中分數(shù)在40,90的人數(shù)為400×0.95=380（人），總體中分數(shù)小于40的人數(shù)為20人；（3）總樣本的均值為34所以總樣本的方差為s總◆類型3分位數(shù)【例題13】（2023下·廣西·高一統(tǒng)考期末）某市為了了解該市的“全民健身運動”的開展情況，從全體市民中隨機調(diào)查了100位市民每天的健身運動時間（健身運動時間是考查“全民健身運動”情況的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40（單位：分鐘）中，其頻率直方圖如圖所示，估計市民健身運動時間的樣本數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)是（

）A．29分鐘 B．27分鐘 C．29.5分鐘 D．30.5分鐘【答案】B【分析】首先分析可得70百分位數(shù)一定位于25,30內(nèi)，再根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】健身運動時間在30分鐘以下的比例為0.01+0.01+0.04+0.06+0.05×5=0.85=85在25分鐘以下的比例為85%-0.05×5=60%，因此70由25+5×0.7-0.60.85-0.6=27故選：B【變式13】1．（2022·河北唐山·高一期末）通過簡單隨機抽樣，得到50戶居民的月用水量數(shù)據(jù)（單位：t），這50戶居民平均用水量是8t，方差是36.其中用水量最少的5戶用水量為2t，3t，4t，5t，6t.用水量最多的5戶用水量為15t，16t，20t，23t，26t.(1)求50個樣本數(shù)據(jù)的7%和96%分位數(shù)；(2)估計其它40戶居民的月用水量的平均數(shù)和方差.【答案】(1)7%分位數(shù)為5，96%分位數(shù)為21.5(2)平均數(shù)7，方差為21.6【分析】（1）由百分位數(shù)的定義，直接求解；（2）先求出40戶居民的月總用水量，利用平均數(shù)的定義直接求解；利用方差與期望的關系式DX(1)50×7%=3.5，則50×96%=48，則(2)設其它40個樣本為x1，x2，x3，x4，…，i=1所以i=140x50戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)的方差記為s12，所求40戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)的方差記為s解得i=140x所以這40戶的用水量的平均數(shù)7，方差為21.6.【變式13】2．（2023下·天津和平·高一統(tǒng)考期末）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（

）A．a(chǎn)的值為0.005B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75C．估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86D．估計成績低于60分的有25人【答案】D【分析】對A：根據(jù)頻率之和為1，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，計算即可；對B：找出面積最大的小長方形對應的區(qū)間，求得眾數(shù)即可；對C：根據(jù)百分位數(shù)定義，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對D：求得成績低于60分的頻率，結(jié)合總?cè)藬?shù)計算即可.【詳解】對A：10×2a+3a+3a+6a+5a+a即10×20a=1，a=0.005，故A正確；對B：由面積最大的小長方形可知，估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；對C：前4組頻率之和為14×0.005×10=0.7，前5組頻率之和為19×0.005×10=0.95，設這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為x，則0.7+x-80×0.025=0.85，對D：成績低于60分的頻率為0.025×10=0.25，故估計成績低于60分的有1000×0.25=250人，D錯誤.故選：D【變式13】3．（2022·安徽·渦陽縣第九中學高一期末）某縣在創(chuàng)文明縣城期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解市民的學習成果，該縣從某社區(qū)隨機抽取了160名市民作為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分為100分，將數(shù)據(jù)收集，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示：(1)求a的值；(2)估計此樣本中的160名市民成績的平均數(shù)x和第75百分位數(shù).【答案】(1)0.015(2)74,82.5【分析】（1）根據(jù)所有頻率和為1，計算求解；（2）以同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表結(jié)合平均數(shù)的定義求解，根據(jù)百分位數(shù)的定義運算求解．（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得：每組的頻率依次為0.05,0.1,10∵0.05+0.1+10a+0.4+0.2+0.1=1（2）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表則x=0.05×45+0.1×∴m【變式13】4．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）為激發(fā)中學生對天文學的興趣，某校舉辦了“2022～2023學年中學生天文知識競賽”，并隨機抽取了200名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（

）A．直方圖中x的值為0.035B．估計全校學生的平均成績不低于80分C．估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分D．在被抽取的學生中，成績在區(qū)間60,70的學生數(shù)為10【答案】B【分析】根據(jù)各頻率和為1可求x=0.03，故可判斷A的正誤，根據(jù)公式可求均值，故可判斷B的正誤，根據(jù)前4組的頻率之和可求60百分位數(shù)，故可判斷C的正誤，根據(jù)區(qū)間60,70對應的頻率可求對應的人數(shù)，故可判斷D的正誤.【詳解】由頻率分布直方圖可得100.005+0.010+0.015+x+0.04故x=0.03，故A錯誤.由頻率分布直方圖可得全校學生的平均成績估計為：1055×0.005+65×0.01+75×0.015+85×0.03+95×0.04故B正確.前4組的頻率為100.005+0.010+0.015+0.03故全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)大于80，故C錯誤.區(qū)間60,70對應的頻率為10×0.01=0.1，故對應的人數(shù)為200×0.1=20，故D錯誤.故選：B.題型2用樣本的分布估計總體的分布【例題2】（2022·陜西·西安市第七十五中學高一階段練習）某校為了解高二年級學生某次數(shù)學考試成績的分布情況，從該年級的1120名學生中隨機抽取了100名學生的數(shù)學成績，發(fā)現(xiàn)都在[80,150]內(nèi)現(xiàn)將這100名學生的成績按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120)，[120,130),[130,140),[140,150]分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.040 B．樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為0.3C．總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計為123 D．總體分布在[90,100)的頻數(shù)一定與總體分布在[100,110)的頻數(shù)相等【答案】C【分析】由頻率分布直方圖先計算出a值，判斷A，然后計算頻率判斷B，由頻率分布直方圖計算中位數(shù)判斷C，根據(jù)頻率判斷D．【詳解】由頻率分布直方圖，(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×樣本數(shù)據(jù)不低于130分的頻率為(0.025+0.005)×10=0.3，因此低于130分的頻率為分數(shù)低于120分的頻率為(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4，因此中位數(shù)在[210,130)這一組，設中位數(shù)為n，則n-總體分布在[90,100)與[100,110)的頻率相等，因此頻數(shù)只能大致相等但不一定相等，D錯誤．故選：C．【變式21】1．（2022·全國·高一課時練習）某校為了解學校學生作業(yè)完成情況，對學生每天完成作業(yè)時間抽樣調(diào)查，觀察隨機抽取的100人每天完成作業(yè)時間的累計數(shù)（單位：小時），在各區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)記錄如下表所示．完成作業(yè)時間分布區(qū)間頻數(shù)0,0.520.5,181,1.5151.5,2192,2.5222.5,3173,3.5123.5,45(1)我們研究的總體是什么？樣本是什么？總體的分布是什么？(2)試估計該學校學生的每天完成作業(yè)時間大于等于3.5小時人數(shù)的占比．【答案】(1)總體：學校學生每天完成作業(yè)時間；樣本：抽取的100人每天完成作業(yè)時間；總體的分布：在各時間段人數(shù)在總體中所占的比例(2)5%【分析】（1）根據(jù)題意可直接寫出總體，樣本以及總體的分布；（2）計算樣本中學生的每天完成作業(yè)時間大于等于3.5小時人數(shù)的占比，即可得答案.（1）總體：學校學生每天完成作業(yè)時間；樣本：抽取的100人每天完成作業(yè)時間；總體的分布：在各時間段人數(shù)在總體中所占的比例．（2）在抽取的100人每天完成作業(yè)時間大于等于3.5小時人數(shù)為5，占比為5100故估計該學校學生的每天完成作業(yè)時間大于等于3.5小時人數(shù)的占比為5%.【變式21】2.（2022·北京市陳經(jīng)綸中學高一期中）2022年2月8日，中國選手谷愛凌在北京冬奧會女子大跳臺項目決賽中以之前從未有人在正式比賽中完成的“左轉(zhuǎn)1620”動作一舉奪得冠軍，為中國代表團攬入一枚里程碑式的金牌．受奧運精神的鼓舞，某滑雪俱樂部組織100名滑雪愛好者進行了一系列的大跳臺測試，并記錄他們的動作得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該100名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)該俱樂部計劃招募成績位列前10%的滑雪愛好者組成集訓隊備戰(zhàn)明年的滑雪俱樂部聯(lián)盟賽，請根據(jù)圖中信息，估計集訓隊入圍成績（記為k）．【答案】(1)0.025(2)76(3)k【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列式求解；（2）用該組區(qū)間的中點值估計，代入x=i=1nx(1)由題意可得：100.005+0.010+a(2)由題意可得：x估計該100名射擊愛好者的射擊平均得分76(3)根據(jù)頻率分布直方圖可知：85,95的頻率為10設入圍成績的臨界值為m∈85,95，則m估計集訓隊入圍成績k【變式21】3.（2023下·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）某校有高一學生1000人，其中男生600人，女生400人，為了解該校全體高一學生的身高信息，甲與乙分別進行了調(diào)查.(1)甲采用調(diào)查問卷的形式收集了所有高一學生的身高分布情況并整理繪制了頻率分布直方圖，請估計高一年級學生身高的下四分位數(shù)；(2)乙采用分層抽樣的方法選取了20位男生，30位女生進行觀測，并計算得到男生的樣本均值為175cm，方差為19；女生的樣本均值為160cm，方差為34.①試用上述數(shù)據(jù)計算出總樣本的均值和方差；②將乙的數(shù)據(jù)作為總體的均值與方差估計合適嗎?為什么?【答案】(1)163cm(2)①166cm，82；②不合適，沒有按比例分層抽樣【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算四分位數(shù)步驟計算即可；（2）①根據(jù)頻率分布直方圖計算均值和方差；②沒有按比例分層抽樣判斷即得.【詳解】（1）由已知，下四分位數(shù)在155，165，設為x

則x-15510=0.25-0.050.25，解得（2）①x=

s

②不合適，沒有按比例分層抽樣【變式21】4.（2023下·高一課時練習）某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30，30,40，?，80,90，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分數(shù)在40,50的學生有5人，試估計總體中分數(shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計測評成績的第三四分位數(shù)；(3)已知樣本中男生與女生的比例是3：1，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請計算出總體的方差.【答案】(1)20人(2)78.75(3)117【分析】（1）（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解，（3）由平均數(shù)與方差的計算公式求解，【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，分數(shù)在50,90的頻率為0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9在樣本中分數(shù)在50,90的人數(shù)為100×0.9=90（人），在樣本中分數(shù)在40,90的人數(shù)為95人，所以估計總體中分數(shù)在40,90的人數(shù)為400×0.95=380（人），總體中分數(shù)小于40的人數(shù)為20人（2）測試成績從低到高排序，樣本中分數(shù)在40,70的頻率為0.4，樣本中分數(shù)在40,80的頻率為0.8，則75%分位數(shù)在70,80之間，所以估計測評成績的75%分位數(shù)為70+10×0.75-0.4（3）總樣本的均值為34所以總樣本的方差為s題型3雷達圖問題【例題3】（2021·全國·）2021年開始，某省將試行“3+1+2”的普通高考新模式，即除物理語文、數(shù)學、外語3門必選科目外，考生再從物理、歷史中選1門，從化學、生物、地理、政治中選2門作為選考科目．為了幫助政治學生合理選科，某中學將高一每個學生的六門科目綜合成績按比例均縮放成5分制，繪制成雷達圖．甲同學的成績雷達圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是（

）A．甲的物理成績領先年級平均分最多B．甲有2個科目的成績低于年級平均分C．甲的成績從高到低的前3個科目依次是地理、化學、歷史D．對甲而言，物理、化學、地理是比較理想的一種選科結(jié)果【答案】C【分析】根據(jù)雷達圖，判斷甲各科成績與年級平均分的高低，以及各科成績的高低，進而可確定理想的選科組合，即可判斷各選項的正誤.【詳解】A：由圖知：甲的物理成績領先年級平均分1.5分左右，比化學、地理要高，正確；B：其中有政治、歷史比年級平均分低，正確；C：甲的成績從高到低的前3個科目依次是地理、化學、物理或生物，錯誤；D：由C知：物理、化學、地理對于甲是比較理想的一種選科結(jié)果，正確；故選：C.【變式31】1．（2022下·山西朔州·高一?？茧A段練習）某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項能力（每項能力的指標值滿分均為5分，分值高者為優(yōu)），繪制如圖所示的六維能力雷達圖，圖中點A表示甲的創(chuàng)造能力指標值為4，點B表示乙的空間能力指標值為3，則下列敘述正確的有（

）個①乙的記憶能力優(yōu)于甲

②乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造能力③甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙

④甲的六大能力比乙較均衡A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C