2021年中考數(shù)學(xué)沖刺訓(xùn)練：《中考數(shù)學(xué)新定義題型》測試卷、練習(xí)卷（答案及解析）

《中考數(shù)學(xué)新定義題型》測試卷、練習(xí)卷（答案及解析）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.已知a,b,c,"為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運算J：^\=ad-bc,那么當(dāng)

1（1-r）以=一時,則x的值是（）

711

A.x=1B.x=-C.%=—D.x=—1

117

2.對于兩個不相等的實數(shù)a,b,我們規(guī)定符號表示①b中的較大值，如：

Max{5,8}=8,按照這個規(guī)律，那么方程Max{x,一行=手的解為（）

A.3,1B.-3,-1C.±3D.土3或±1

3.定義新運算%*b":對于任意實數(shù)a,b,都有a*b—（a+b）（a~b）-1,其中等

式右邊是通常的加法.減法.乘法運算，例如：4*3=（4+3）（4-3）-1=7-1=6.

若x*k=x（々為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況為（）

A.有一個實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

4.對于實數(shù)a,b,我們定義符號max{a,b}的意義為：當(dāng)時，max{a,b}=a；當(dāng)

a<b時,max{a,b}=b；如:max{4,—2]=4,max{3,3}=3.若關(guān)于x的函數(shù)為

y=max[x+3,-x+1},則該函數(shù)的最小值是（）

A.4B.3C.2D.0

5.我們知道，如果一個矩形的寬與長之比為漁二，那

2

么這個矩形就稱為黃金矩形.如圖，A、B兩點都

在反比例函數(shù)y=[（k>0）位于第一象限內(nèi)的圖像

上，過A、B兩點分別作坐標(biāo)軸的垂線，垂足分別

為C、。和E、F,設(shè)AC與BF交于點G,已知四邊形OC4O和四邊形CEBG都是

正方形.設(shè)FG、OC的中點分別為尸、Q,連接PQ.給出以下結(jié)論：①四邊形4OFG

為黃金矩形；②四邊形。CGF為黃金矩形；③四邊形OQPF為黃金矩形.以上結(jié)

論中，正確的是（）

A.①B.②C.②③D.①②③

6.函數(shù)的零點是指使函數(shù)值等于零的自變量的值，則下列函數(shù)中存在零點的是（）

A.y=x2+x+2B.y=Vx4-1C?y=%+：D.y=|%|—1

韓哥智慧之窗-精品文檔

7.定義：如果一個關(guān)于x的分式方程三=匕的解等于‘小我們就說這個方程叫差解方

xa-b

程，比如：2就是一個差解方程.如果關(guān)于X的分式方程當(dāng)=血-2是一個差解

x3x

方程，那么加的值是（）

C.-7D.-2

8.已知max{4,x2,x}表示取三個數(shù)中最大的那個數(shù)，例如：當(dāng)％=9時，

max{y[x,x2,x}=max（V9,92,9]=81.^imax（Vx,x2,x}=,則x的值為（）

A.一；B.4C.-D.i

41642

9.如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”

如（8=32-仔,16=52-32,即8,16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整

數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）

A.255054B.255064C.250554D.255024

10.我們知道，如果一個矩形的寬與長之比為與i,那\

么這個矩形就稱為黃金矩形.如圖，A、8兩點都\

在反比例函數(shù)y=：（k>0）位于第一象限內(nèi)的圖像尸用濘、-

（AQCE"

上，過A、3兩點分別作坐標(biāo)軸的垂線，垂足分別I

為C、。和E、F,設(shè)AC與BF交于點G,已知四邊形OC4O和四邊形CEBG都是

正方形.設(shè)FG、OC的中點分別為尸、Q,連接PQ,給出以下結(jié)論：①四邊形AOFG

為黃金矩形；②四邊形OCGF為黃金矩形；③四邊形OQPF為黃金矩形.以上結(jié)

論中，正確的是（）

A.①B.②C.②③D.①②③

二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）

定義運算"：》回）/=言2020團2020團20200…團202002020

共100個0

12.對于實數(shù)a,b,c,d,規(guī)定一種運算「：|=ad-bc,那么當(dāng)，瑪卜

2023時，x=.

13.我們規(guī)定這樣一種運算：如果ab=N（a>0,N>0）,那么6就叫做以a為底的N

的對數(shù)，記作b=logaN.例如：因為23=8,所以10g28=3,那么log381的值為

韓哥智慧之窗-精品文檔2

14.已知實數(shù)a,b,定義運算：a*b=F,>h/ZaK0),若但_2)*(a+1)=1,

lai9<b且a*0).

則a=.

三、解答題(本大題共7小題，共58.0分)

15.某同學(xué)模仿二維碼的方式為學(xué)校設(shè)計了一個身份識別圖案系統(tǒng)：在4x4的正方形

網(wǎng)格中，黑色正方形表示數(shù)字1,白色正方形變式數(shù)字0.如圖1是某個學(xué)生的身份

識別圖案.約定如下：把第，?行，第/列表示的數(shù)字記為a”(其中i,/=1,2,3,

4),如圖1中第2行第1列的數(shù)字由,=0；對第i行使用公式4=83+4ai2+

2%3+七4進行計算，所得結(jié)果4表示所在年級，&表示所在班級，4表示學(xué)號的

十位數(shù)字，4表示學(xué)號的個位數(shù)字?如圖1中，第二行&=8x0+4x1+2x04-

(2)請仿照圖1,在圖2中畫出八年級4班學(xué)號是36的同學(xué)的身份識別圖案

16.閱讀下列材料:

一般地,"個相同的因數(shù)a相乘a?a?a?a????a記作a”,如2x2x2=23=8.此時，

3叫做以2為底的8的“勞格數(shù)”，記為5(8),則乙2(8)=3.一般地，若4=b(a>0

且aKl),則"叫做以a為底的b的“勞格數(shù)”，記為%8)=幾，如3,=81,則

4叫做以3為底的81的“勞格數(shù)”，記為人(81)=4.

(1)下列各“勞格數(shù)”的值：L3(9)=；L3(27)=；

區(qū)(243)=:

韓哥智慧之窗-精品文檔

(2)觀察⑴中的數(shù)據(jù)易得9x27=243,此時心(9)，A3(27),Q(243)滿足關(guān)系式

(3)由(2)的結(jié)果，你能歸納出一般性的結(jié)果嗎？〃(“)+%(')=;

(a>0且aHl,M>0,N>O')

(4)根據(jù)上述結(jié)論解決下列問題：

已知，La(2)=0.3,求人(4)和人(16)的值.(a>OMa*1)

17.在一個三角形中，如果一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為

“三倍角三角形”.例如，三個內(nèi)角分別為120。，40°,20。的三角形是“三倍角三

角形”.

(1)△力BC中，乙4=35。，=40°,△ABC是“三倍角三角形”嗎？為什么？

(2)若A/IBC是“三倍角三角形"，且NB=60。，求△ABC中最小內(nèi)角的度數(shù).

18.對于任意有理數(shù)a,b,c,d我們規(guī)定符號(a,b)?(c,d)=ad-be,例如:

(1,3)0(2,4)=lx4-2x3=-2

(1)計算：(-2,3)0(4,5)

韓哥智慧之窗-精品文檔4

(2)求(3a+l,a-2)?(a+2,a-3)的值，其中a=1

19.對于有理數(shù)a,b,定義a*b=3a-4b.

(1)計算：①(一5)*3；②3*-2)*1];

(2)化簡式子(x-y)*(x+y)；

(3)求(x+3y)*t(5y-x)]*(-丫)的值，其中％=-1,y=2.

20.我們已經(jīng)學(xué)過了對頂角，鄰補角、同位角等，知道了它們的特征.現(xiàn)在有兩個角,

它們沒有共同的頂點，但這兩個角的兩邊互相平行，我們把滿足這種條件的兩個角

稱作“平行角”.如下圖①，已知AB〃CD,AD11BC,因此/B和ND是“平行

角”.(1)如下圖①，求證：4B=4D；

C

①

(2)如下圖②，延長。C到點E,可知和4BCE也是“平行角”，但它們的數(shù)量關(guān)

系是.

韓哥智慧之窗-精品文檔

(3)如下圖③，OE平分乙4DC,BF平分乙ABC,試說明N1和42是“平行角”.

21.若一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=￡同時經(jīng)過點P(x,y)則稱二次函數(shù)y=

為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“共享函數(shù)”，稱點P為共享點.

(1)判斷、=2%-1與丫=：是否存在“共享函數(shù)”，如果存在,請求出“共享點”.如

果不存在，請說明理由；

(2)已知：整數(shù)"3n,/滿足條件t<n<8m,并且一次函數(shù)y=(1+n)x+2m+2

與反比例函數(shù)y=存在"共享函數(shù)"y=(m+t)x2+(10m-t)x-2020,求

的值.

(3)若一次函數(shù)y=x+ni和反比例函數(shù)y=吟U在自變量x的值滿足的zn<x<

TH+6的情況下.其“共享函數(shù)”的最小值為3,求其“共享函數(shù)”的解析式.

韓哥智慧之窗-精品文檔6

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查了解一元一次方程，根據(jù)題意得出一元一次方程是解題關(guān)鍵.

根據(jù)題意，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案.

【解答】

解：由題意，得

2x5x-4(l-x)=18,

解得X=y,

故選C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

此題考查了解一元二次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

方程利用題中的新定義變形，計算即可求出解.

【解答】

解：當(dāng)》>—x,即x>0時，方程變形得：x=—

4

x2—4x+3=0

解得：與=3=1

當(dāng)x<-x,即x<0時，方程變形得：一萬=3,

4

/+4%+3=0

解得：x3=-3,x4=-1

綜上，方程的解為%=3,%2=1，X3=—3,%4=—1

故選：D

韓哥智慧之窗-精品文檔

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0(a力0)的根與A=b2-4ac有

如下關(guān)系：當(dāng)△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)

根;當(dāng)4<0時，方程無實數(shù)根.利用新定義得到(x+fc)(x-fc)-l=x,再把方程化為一

般式后計算判別式的值，然后利用4>?？膳袛喾匠谈那闆r.

【解答】

解：x*k=x,

■.(x+/c)(x-k)-1=x,

整理得》2一%一爐一1=(),

???△=(-1)2-4(-fc2-1)

=4fc2+5>0,

二方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選C.

4.【答案】C

【解析】略

5.【答案】B

【解析】

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，新定義問題，反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵

是掌握黃金矩形的定義，應(yīng)用黃金矩形的定義逐一判斷即可解答.

【解答】

解：設(shè)正方形。。。的邊長為正方形CEBG的邊長為江

則點A的坐標(biāo)為(a,a),點B的坐標(biāo)為(a+b,b).

由題意，得axa=b(a+b)=k,

所以/+。匕一°2=0,解得b=1盧a(負(fù)值舍去)，

所以2=在二，

a2

所以四邊形OCGF是黃金矩形；

韓哥智慧之窗-精品文檔8

因為矩形AOFG的一邊長是a,另一邊長是a-b,

則rrii-\a-—b=1-----=1----y-/-S-—--l=--3-—--y/-S。-V-5---1,

aa222

所以四邊形AOFG不是黃金矩形；

因為。是0C的中點，

所以矩形。QPF的一邊長為從另一邊長是看

則卷=2==在二，

b2b2V5-142

所以四邊形OQPF不是黃金矩形.

6.【答案】D

［解析】A.y=%2+x+2=(%+|)2+^>0,故不存在零點；

B.y=《+121,故不存在零點；

C.y=x+p若y=0,則％=-：，即/=一1,無解，故不存在零點；

D.y=\x\-l,若y=0,則|x|=1,即》=±1,故存在零點.

7.【答案】D

【解析】略

8.【答案】C

【解析】

【分析】

此題主要考查了新定義，二次根式的應(yīng)用，實數(shù)的大小比較，正確理解題意分類討論是

解題關(guān)鍵.

直接利用己知分別分析得出符合題意的答案.

【解答】

解：當(dāng)max｛悶爐,行=：時,

韓哥智慧之窗-精品文檔

①?=j解得：X=p此時符合題意；

L4

@x2=i解得：》=立(負(fù)值舍去)，此時不合題意；

N2

@X=yfx>X>X2>不合題意；

故只有％=；時，max{y/x,x2,x)=

故選：C.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

此題考查了平方差公式，弄清題中“和諧數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵.

由(2n+I)2-(2n-I)2=8n<2017,解得n<252：,可得在不超過2017的正整數(shù)中，

8

“和諧數(shù)”共有252個，依此列式計算即可求解.

【解答】

解：由(2n+l)2-(2n-l)2=8nW2017,解得nW252：,

8

則在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為

32-I2+52-32+…+5052-5032=5052-I2=255024.

故選￡>.

10.【答案】B

【解析】

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，新定義問題，反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵

是掌握黃金矩形的定義，應(yīng)用黃金矩形的定義逐一判斷即可解答.

【解答】

解：設(shè)正方形OC4。的邊長為“，正方形CEBG的邊長為尻

則點A的坐標(biāo)為(a,a),點3的坐標(biāo)為(a+b,b).

由題意，得aXa=b(a+b)=k,

所以爐+ab-a2=0,解得b=二產(chǎn)a(負(fù)值舍去)，

所以色=更二，

a2

韓哥智慧之窗-精品文檔10

所以四邊形OCGF是黃金矩形；

因為矩形AOFG的一邊長是m另一邊長是a-b,

則曰=1，=1一匹二=上正中匹二，

aa222

所以四邊形ACFG不是黃金矩形；

因為。是0C的中點，

所以矩形。。尸尸的一邊長為6,另一邊長是看

則_1=?=工x3=出于生i，

b2b2VS-l42

所以四邊形OQP/不是黃金矩形.

11.【答案】20

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)字的變化規(guī)律；運用定義，通過逐步求出部分結(jié)果，從而總結(jié)出所求式子的

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.由己知定義逐項求出部分結(jié)果，從而得到所求式子的規(guī)律為

2020

2020團2020團2020團???圖2020團2020=—

'-----------------.-----------------'101.

共100曲

【解答】

解：TX”=急，

2020

.-.202002020=—,

2

20202020

2020團202002020=—02020=—,

23

20202020

202002020團2020圖2020=-132020=—,

34

2020

2020團2020圖20200…團202002020=—=20

'----------------------------------'101.

共100個0

故答案為20.

12.【答案】一2020

【解析】提示：根據(jù)題意得(x+l)(x—3)—(x—3)(x+2)=2023,整理得—x+3=

2023,解得x=-2020.

韓哥智慧之窗-精品文檔

13.【答案】4

【解析】

【分析】

本題主要考查有理數(shù)的乘方和新定義問題，讀懂題目信息并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

先把81轉(zhuǎn)化以3為底的幕，再根據(jù)有理數(shù)的乘方定義和題目所提供的信息，即可得到

log381等于以3為底數(shù)的81的對數(shù).

【解答】

解：V34=81,

由題意可得log381=4.

故答案為4.

14.【答案】3或1或-1

【解析】略

15.【答案】解：(1)7;28；

(2)畫圖如下圖：

【解析】

【分析】

本題考查了有理數(shù)混合運算，新定義問題，實數(shù)與圖形；理解題意，將所求問題轉(zhuǎn)化為

實數(shù)運算是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)所給公式分別求出a=8x0+4x14-2x1+1=7,43=8x0+4x0+

2x14-0=2,44=8x1+4x0+2x0+0=8,即可求解；

(2)由所給信息畫出圖形即可.

【解答】

解：(1)41=8x04-4x1+2x1+1=7,713=8x0+4x04-2x1+0=2,A4=

8x14-4x0+2x0+0=8,

韓哥智慧之窗-精品文檔12

故答案為7；28；

(2)見答案.

16.【答案】解：(1)2；3；5；

(2乂3(9)+七(27)=13(243)；

(3"a(MN)；

(4)7La(M)+La(N)=La(MN),即〃(MN)=La(M)+La(N),

La(4)=La(2x2)=%Q)+La(2)=0.3+0.3=0.6；

La(16)=La(4x4)=La(4)+La(4)=0.6+0.6=1.2.

【解析】

【分析】

本題主要考查同底數(shù)第的乘法，有理數(shù)的乘方，是一道關(guān)于新定義運算的題目，解答本

題的關(guān)鍵是理解給出的“勞格數(shù)”的定義.

(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義求解即；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果進行觀察，即可解答；

(3)根據(jù)(2)得到的關(guān)系，由特殊到一般，設(shè)La(M)=m,La(N)=n,再根據(jù)嘉的運算

法則：a機-a"=以及“勞格數(shù)”的含義可得結(jié)論；

(4)根據(jù)(3)的結(jié)論進行計算即可.

【解答】

解：(1)：9=32,27=33,243=35,

￡3(9)=2；"(27)=3；L3(243)=5；

故答案為2；3；5；

(2)v9x27=243,

???5(9)+&(27)=5(243)；

故答案為心(9)+L3(27)=L3(243)；

(3)設(shè)L(M)=m,兒3)=n,

則a771=M,an=N,

am-an=am+n,

：.MN=am+n

韓哥智慧之窗-精品文檔

???La(MN)=m4-n,

???LQ(M)+LQ(N)=m+n=L0(MN)；

故答案為La(MN)；

(4)見答案.

17.【答案】解：(1)???=35°,乙B=40°,

???ZC=180°-Z-A-^B=105°,

,:Z-C=

.?.△4BC是“三倍角三角形"，因為“的度數(shù)是乙4的三倍；

(2)vZ.B=60°,

???z/1+ZC=180°一乙B=120°,

①當(dāng)NB為△4BC中最小內(nèi)角時，

???△ABC是“三倍角三角形”，

???若乙4或NC=3/B=180°,不符合三角形內(nèi)角和，故舍去，

若41=3NC或/C=3/4時，設(shè)較小角為x,則x+3x=120。，

解得：x=30°,與NB為△ABC中最小內(nèi)角矛盾，故舍去，

②當(dāng)4B不為△力BC中最小內(nèi)角時?，可設(shè)△4BC中/C為最小內(nèi)角，且度數(shù)為x,

若ZJ1=3/C時，x+3x=120°,

解得：x=30°,

???乙4=90°,ZC=30°,NB=60°,

若4B=3z_C時，3x=60°,

解得：x=20°,

/-A=100°,ZC=20°,Z.B=60°,

若4A=3NB時，44=180。，不符合三角形內(nèi)角和，故舍去，

若NB=3/4時，44=20。，則4c=100。，與ZC為最小內(nèi)角矛盾，故舍去，

綜上所述，AZBC中最小內(nèi)角的度數(shù)為20。或30。.

【解析】此題考查三角形的內(nèi)角和定理以及新定義型，掌握三角形的內(nèi)角和180。是解決

問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，求出4C,可得ZC=3乙4,即可求解；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，如果一個“三倍角三角形”有一個角為62。，可得另兩

個角的和為120。，由三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍時，可以分別求得最小角，

由此比較得出答案即可.

韓哥智慧之窗-精品文檔14

18.【答案】解：(1)(-2,3)0(4,5)=-2x5-3x4=-10-12=-22；

(2)(3Q+1,Q—2)g(a+2,CL—3),

=(3a+l)(a-3)-(a-2)(a+2),

=3a2一9a+Q—3—(a?-4),

=3Q2-9a+Q-3-Q2+4,

=2a2—8Q+1,

va=1,

:.(3a+1,Q—2)⑤(Q+2,a—3)=2—8+1=-5.

【解析】本題考查了整式的混合運算-化簡求值：先按運算順序把整式化簡，再把對應(yīng)

字母的值代入求整式的值.有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運

算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似.

⑴利用新定義得到(一2,3)0(4,5)=-2x5-3x4,然后進行有理數(shù)的混合運算即可;

(2)利用新定義得到原式=(3Q+l)(a—3)—(a—2)(Q+2),然后去括號后合并,最后

代入。的值計算.

19.【答案】解：⑴①(一5)*3=3x(—5)—4x3=—27,

(?)(-2)*1=3x(—2)—4x1=-10,

3*(-10)=3x3-4x(-10)=49.

(2)(%—y)*(%4-y)=3(%—y)—4(%+y)=3%—3y—4%—4y=—%—7y.

(3)(x+3y)*[|(5y-x)]=3(x+3y)-4x[|(5y-%)]=5x-y,

(5x—y)*(—y)=3(5x—y)—4x(—y)=15x+y,

當(dāng)x=-，，y=2時，原式=15x—2=—5+2=-3.

【解析】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，整式的混合運算，代數(shù)式求值，新定義有關(guān)

知識.

(1)根據(jù)新定義的運算法則直接進行計算即可：

(2)根據(jù)新定義的運算法進變形，然后再進行合并即可；

(3)根據(jù)新定義的法則對該式變形，然后再合并同類項，最后將x,y代入計算即可.

20.【答案】解:(1)證明："AB//CD,

Z.A+/.D=180°,

■■■AD//BC,

韓哥智慧之窗-精品文檔

???Z/l4-ZB=180°,

:.Z-B=NO;

(2”A+乙BCE=180°；

(3)-AB//CD,

AEB//DF,zl=Z.AED,

由(1)知乙4DC=Z.ABC,

????！昶椒?40。，3/平分ZJ18C,

:.2zl=2z2,

:.zl=z2,

:.z2=Z-AED,

???ED//BF,

??,乙1和42是“平行角”.

【解析】

【分析】

本題考查了新定義型、平行線的判定與性質(zhì)和角的平分線，熟練掌握平行線的判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì),得乙4+4。=180。和乙4+48=180°,即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和第(1)問，得乙D=△BCE,即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理、角的平分線以及“平行角”的定義即可得到結(jié)論.

【解答】

解：(1)見答案；

(2)乙4+Z.BCE=180°；

理由：由(1)得乙4+NO=180。，

■■■AD//BC