上海市金山區(qū)2024屆高三上學期質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學試卷（解析版）

PAGEPAGE1上海市金山區(qū)2024屆高三上學期質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學試卷一、填空題1.已知集合，，則________．〖答案〗〖解析〗兩集合的交集為兩集合相同的元素構(gòu)成的，所以2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則的共軛復(fù)數(shù)=________.〖答案〗〖解析〗由題意知，該復(fù)數(shù)為，則.故〖答案〗為：.3.不等式的解集為_________．〖答案〗或〖解析〗根據(jù)分式不等式解法可知等價于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集為或.故〖答案〗為：或4.雙曲線的離心率為____．〖答案〗〖解析〗由題意得：5.已知角，的終邊關(guān)于原點O對稱，則______．〖答案〗〖解析〗角，的終邊關(guān)于原點O對稱，，.故〖答案〗為：.6.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則圖中的值______．〖答案〗〖解析〗由莖葉圖可知：乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，即，解得：.

故〖答案〗為：.7.設(shè)圓臺的上底面和下底面的半徑分別為和，母線長為，則該該圓臺的高為_________.〖答案〗〖解析〗作出圓臺的軸截面，如圖示為等腰梯形，梯形的高即為圓臺的高，即高為，故〖答案〗為：8.從1，2，3，4，5這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)，則所抽到的兩個數(shù)的和大于6的概率為__________（結(jié)果用數(shù)值表示）．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，從1，2，3，4，5這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)共有，所抽到兩個數(shù)的和大于6共有，，，共4種，所以所抽到的兩個數(shù)的和大于6的概率為.故〖答案〗為：9.已知函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且其圖像關(guān)于點對稱，則的值為________．〖答案〗或〖解析〗因為，則，函數(shù)()在區(qū)間上嚴格增函數(shù)，所以，即；又因為的圖像關(guān)于點對稱，則（），則（），所以（），解得（），結(jié)合，所以或.故〖答案〗為：或.10.若，則________．〖答案〗〖解析〗令，則，所以，故〖答案〗為：.11.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且該函數(shù)有且僅有7個零點，則的值為________．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)，則函數(shù)的圖形過點，因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖象過點，可得，且，可得，又由，且，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以，因為函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，且該函數(shù)有且僅有7個零點，則必為函數(shù)的一個零點，即，可得，解得，所以.故〖答案〗為：.12.已知平面向量、、滿足，且，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意不妨設(shè)，為坐標原點，則，即點到的距離比到點的距離大2，根據(jù)雙曲線的定義可知的軌跡為雙曲線的一支，以2為長軸，4為焦距，則，又，易知C點軌跡為，顯然C點軌跡為點軌跡雙曲線的漸近線，如上圖所示，由圖形的對稱性不妨設(shè)，則，由題意，當時，此時點橫坐標最小，由點到直線的距離公式可知，而雙曲線漸近線下方，則，與雙曲線方程聯(lián)立，即，則，聯(lián)立，即，由雙曲線的性質(zhì)可知滿足的點橫坐標無上限，故的取值范圍是.故〖答案〗為：.二、選擇題13.對于實數(shù)，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由于不等式的基本性質(zhì)，“a＞b”?“ac＞bc”必須有c＞0這一條件．主要考查不等式的性質(zhì)．當c=0時顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊．故選B.14.已知事件A和B相互獨立，且，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意可．故選：A.15.如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個動點，下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，，則B.若，，則平面平面C.若，，則面D.若，，則〖答案〗D〖解析〗如圖所示，對于選項A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于選項B，易知，所以平面，因為平面，所以平面平面，顯然平面即平面，故B正確；如上圖所示，對于C項，由正方體的特征可知，因為平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，顯然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正確；對于D項，顯然時，與不平行，故D不正確.故選：D16.設(shè)集合，、均為的非空子集（允許）．中的最大元素與中的最小元素分別記為，則滿足的有序集合對的個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于給定的,集合是集合的任意一個子集與的并，故有種不同的取法，又,所以任意一個非空子集，共有種取法，因此，滿足的有序集合對的個數(shù)為，由于有序?qū)τ袀€，因此滿足的有序集合對的個數(shù)為故選：B.三、解答題17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為的中點，為與的交點．（1）證明：//平面；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：四邊形為正方形，為與的交點，是的中點，又是的中點，，又平面平面，//平面．（2）解：平面是的中點，到平面的距離，四邊形是正方形，，三棱錐的體積．18.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的值；（2）若數(shù)列為嚴格增數(shù)列，其中是常數(shù)，求的取值范圍．解：（1）由，得，故，即.又，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.從而，.所以.（2）設(shè)數(shù)列滿足，因為數(shù)列為嚴格增數(shù)列，故對正整數(shù)恒成立，即對正整數(shù)恒成立，當時，取到最小值.所以.19.網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務(wù)．小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計示意圖．（1）為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運送過程中發(fā)生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個頂點與地面接觸．外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠．若以傾斜角的方式進客戶家門，小金能否將冰箱運送入客戶家中？計算并說明理由．（2）由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）．推運過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設(shè)，當冰箱被卡住時(即點、分別在射線、上，點在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)果精確到）解：（1）過A，D作水平線，作如圖，當傾斜角時，冰箱傾斜后實際高度（即冰箱最高點到地面的距離），故冰箱能夠按要求運送入客戶家中．（2）延長與直角走廊的邊相交于、，則，，，又，則，．設(shè)，因為，所以，所以，則，再令，則，易知，在上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，故當，即，時，取得最小值.由實際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的冰箱高度的最大值為米．20.已知三條直線（）分別與拋物線交于點、，為軸上一定點，且，記點到直線的距離為，△的面積為．（1）若直線的傾斜角為，且過拋物線的焦點，求直線的方程；（2）若，且，證明：直線過定點；（3）當時，是否存在點，使得，，成等比數(shù)列，，，也成等比數(shù)列？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（1）解：焦點，斜率，故直線的方程為．（2）證明：聯(lián)立消去，整理，得．易，即，設(shè)、，則，.由，即，得，由于，所以，直線，故直線過定點.（3）解：當時，．由于，所以，設(shè)，則.由，得，即．①聯(lián)立消去，整理，得.由，得．于是．由，，且，得，從而，即，化簡，得．②①②相減，整理，得．而，即，故，即．又當時，比如取，，滿足題意，故存在點滿足題意．.21.設(shè)函數(shù)的定義域為，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點”．（1）試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請求出其“均值點”；如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點的橫坐標從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設(shè)等分點的橫坐標從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．（1）解：設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且均值點為，可得，解得或(舍).故為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點”.（2）解：設(shè)為該函數(shù)的“均值點”，則，且，即關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，整理得，①當時