云南省昆明市2024屆高三“三診一模”摸底診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1云南省昆明市2024屆高三“三診一?！泵自\斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第一象限.故選：A.3.已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且的縱坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知得，由于的縱坐標(biāo)為，結(jié)合拋物線定義可得，故選：D.4.在中，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：易知；即可得.故選：C5.某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績(jī)（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，則B.若該八名選手成績(jī)的眾數(shù)僅為，則C.若該八名選手成績(jī)的極差為，則D.若該八名選手成績(jī)的平均數(shù)為，則〖答案〗A〖解析〗對(duì)A,因?yàn)?，?dāng),八名選手成績(jī)從小到大排序，故該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)，B正確；對(duì)C,當(dāng)，極差，不符合題意舍去；當(dāng)，極差為，符合題意當(dāng)，極差為不符合題意舍去，綜上，，C正確；對(duì)D,平均數(shù)為解得，故D正確.故選：A6.已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，最小正周期為，作出的圖像，可知當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，所以，即或，解得根分別為，又因?yàn)?，所以，故選：B.7.若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”.已知，互為“平行函數(shù)”，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，而將函?shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故選：B.8.第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽?qǐng)D案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，,，再依次作相似三角形,，，……，直至最后一個(gè)三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，設(shè)第三角形的斜邊長(zhǎng)為，面積為，由題意可知：，，，則，，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以所作的所有三角形的面積和為.故選：D.二、多選題9.在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（）A. B.與平面所成的角為C. D.平面〖答案〗AB〖解析〗易知正四棱柱是長(zhǎng)方體，故以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，連接，設(shè)，，，與平面所成的角為，故，,，，易知面的法向量,易知，故，可得，化簡(jiǎn)得，結(jié)合底面是正方形，可得，故，，即，故A正確，易知面的法向量，，設(shè)與平面所成的角為，故，化簡(jiǎn)得，故，故B正確，易知，，故，即不垂直，故C錯(cuò)誤，易知，，故，，，，，設(shè)面的法向量，故，，解得，，，即，則與不平行，故與面不垂直，故D錯(cuò)誤，故選：AB10.已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最大時(shí)，則（）A.直線的斜率為1 B.四邊形的面積為C. D.〖答案〗AC〖解析〗若要最大，則只需銳角最大，只需最大，即最小，所以若最小，則，由垂徑分線定理有，所以，所以，故A正確；由題意，此時(shí)，，所以此時(shí)，故D錯(cuò)誤；而當(dāng)時(shí)，，所以四邊形的面積為，故B錯(cuò)誤；由等面積法有四邊形的面積為，又由題意，所以，故C正確.故選：AC.11.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptolemy85-165）對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他研究出角與弦之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個(gè)度量單位來度量弦長(zhǎng)，將圓心角（）所對(duì)的弦長(zhǎng)記為.例如圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于60個(gè)度量單位，即.則（）A.B.若，則C.D.（）〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)為若，則弦長(zhǎng)為,顯然,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則弦長(zhǎng)為,而直徑為，故，B正確，對(duì)于C，圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，故，C正確，對(duì)于D,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知：所對(duì)的弦長(zhǎng)之和大于所對(duì)的弦長(zhǎng)，所以，（），故D正確，故選：BCD12.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C.存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)D.存在，使得有5個(gè)零點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗由的圖象可知，的值域?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)AC：令，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，令，若，可得，令，當(dāng)，則，可知；當(dāng)，結(jié)合圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)，方程有根，解得；即或，結(jié)合圖象可知：有1個(gè)根；有2個(gè)根；綜上所述：當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，若，可得，令，即，注意到，由圖象可知方程有兩個(gè)根為一根為，另一根不妨設(shè)為，即或，結(jié)合圖象可知：有1個(gè)根；有1個(gè)根；綜上所述：當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，若，可得，令，即，令，解得，由圖象可設(shè)方程有三個(gè)根為，且，即或或，結(jié)合圖象可知：或有1個(gè)根；有3個(gè)根；綜上所述：當(dāng)時(shí)，有5個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：BCD.三、填空題13.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)（）在角終邊上，且，則的值可以是______.（寫一個(gè)即可）〖答案〗（，，均可）〖解析〗，即，解得，又，故的值可為、、、、，則，即的值可以是或或.故〖答案〗為：（，，均可）.14.春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）〖答案〗18〖解析〗把小王、小李視為1組，剩下的3個(gè)人先分成2組，分組的方式是：1，2；則有，把這3組人再分配給3個(gè)敬老院，則.故〖答案〗為：1815.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則的離心率為______.〖答案〗〖解析〗雙曲線的半焦距為c，漸近線方程為，點(diǎn)到漸近線距離為，由雙曲線定義得，由為等腰三角形，得，即，因此，則，所以的離心率為.故〖答案〗為：16.已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為______.〖答案〗〖解析〗由，故該球半徑，設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，則，，則有，化簡(jiǎn)得，，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有極大值，即該正四棱錐體積的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.在中，，，.（1）求的面積；（2）如圖，，，求.解：（1）因?yàn)椋?所以，因?yàn)?，，所以，在中，由正弦定理可得，解?又因?yàn)?，所?（2）由（1）可知，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，故，所以，，在中，由余弦定理可得，解?18.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即.（2）由題意，，則，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以.19.如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，.（1）證明：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.（1）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，在直角中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．（2）解：存在點(diǎn)滿足條件，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，所以平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由已知得，解得，即，所以存在點(diǎn)使平面與平面的夾角為，此時(shí)．20.聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個(gè)經(jīng)由對(duì)話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序.當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對(duì)某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為10%.（1）求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；（2）在某次測(cè)試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.解：（1）記“輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件，“一次應(yīng)答被采納”為事件，由題意，，，則，.（2）依題意，，，當(dāng)最大時(shí)，有即解得：，，故當(dāng)最大時(shí)，.21.已知是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在不過原點(diǎn)的直線上，交于，兩點(diǎn).當(dāng)與互補(bǔ)時(shí)，，.（1）求的方程；（2）證明：為定值.（1）解：因?yàn)榕c互補(bǔ)，由橢圓的對(duì)稱性可得與關(guān)于軸對(duì)稱，所以軸，又因?yàn)橹本€過，故的方程為，設(shè)在第一象限，因?yàn)椋瑒t，設(shè)為左焦點(diǎn)，則，故，即,因?yàn)樵谏希?，解得，所以的方程為；?）證明：設(shè)，，由題意知直線斜率存，設(shè)直線，聯(lián)立，得，，則，，所以，故，所以為定值.22.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，令，得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在