重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期高考第一次聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期高考第一次聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，而推不出，例如滿足，但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足：，則的最大值為（）A.2 B.C. D.3〖答案〗B〖解析〗設(shè)，其中，則，∵，∴，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，∴即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，∴的最大值為.故選：B.3.大多數(shù)居民在住宅區(qū)都會(huì)注意噪音問題.記為實(shí)際聲壓，通常我們用聲壓級(jí)（單位：分貝）來定義聲音的強(qiáng)弱，聲壓級(jí)與聲壓存在近似函數(shù)關(guān)系：，其中為常數(shù),且常數(shù)為聽覺下限閾值.若在某棟居民樓內(nèi)，測(cè)得甲穿硬底鞋走路的聲壓為穿軟底鞋走路的聲壓的倍，且穿硬底鞋走路的聲壓級(jí)為分貝，恰為穿軟底鞋走路的聲壓級(jí)的倍.若住宅區(qū)夜間聲壓級(jí)超過分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情況下的聲壓為，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗由題意，得，則，因此，，則，，則.故選：A.4.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?所以，函數(shù)的最小正周期為：.故選：B5.過直線上一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA，PB，若，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，已知圓的圓心，四邊形為正方形且邊長(zhǎng)為，所以，而到直線的距離，如下圖，令直線與直線夾角為，則，又直線過，令，則，所以，則.故選：D6.已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，所以.故選：C.7.已知雙曲線()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（）A.3 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖示，延長(zhǎng)到且，延長(zhǎng)到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內(nèi)心，則，由，則，故，即.故選：D8.已知點(diǎn)是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，分別為的左?右焦點(diǎn),的離心率和實(shí)軸長(zhǎng)都為2,過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的方程為B.點(diǎn)的坐標(biāo)為C.的長(zhǎng)度為1，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)D.四邊形面積的最小值為〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，解得，所以其方程為，故A正確；對(duì)于B，，所以的方程為，所以令得直線交軸于點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立解得，所以，故C正確；對(duì)于D，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.有款小游戲，規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點(diǎn)0出發(fā)，通過扔骰子決定向左或者向右移動(dòng)，扔出骰子，若是奇數(shù)點(diǎn)向上，則向左移動(dòng)一個(gè)單位，若是偶數(shù)點(diǎn)向上，則向右移動(dòng)一個(gè)單位，則扔出次骰子后，下列結(jié)論正確的是（）A.第二次扔骰子后，小球位于原點(diǎn)0的概率為B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個(gè)隨機(jī)變量，則這個(gè)隨機(jī)變量的期望是C.第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率〖答案〗AD〖解析〗扔出骰子，奇數(shù)點(diǎn)向上的概率為，偶數(shù)點(diǎn)向上的概率亦為；對(duì)A：若兩次運(yùn)動(dòng)后，小球位于原點(diǎn)，小球在兩次運(yùn)動(dòng)之中一定一次向左一次向右，故其概率為，故A正確；對(duì)B，設(shè)這個(gè)隨機(jī)變量為，則的可能取值為、、、，其中，，故其期望，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：第一次扔完骰子小球位于，即第一次向左移動(dòng)，且第五次位于1，則后續(xù)中小球向右3次，向左1次，故其概率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：第五次扔完骰子，小球位于1，即兩次向左，三次向右，故其概率，小球位于3，則四次向右，一次向左，故其概率，有，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)值域?yàn)锽.函數(shù)是增函數(shù)C.不等式的解集為D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，令，又因?yàn)樵谏线f增，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的值域?yàn)镽，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?，所以為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，不等式等價(jià)于即，等價(jià)于，解得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榍?，所以，故D正確.故選：ACD.11.將函數(shù)的圖象上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗BC〖解析〗依題意可得，A，當(dāng)時(shí)，，則不為對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤；B，當(dāng)時(shí)，，則為對(duì)稱中心，B正確；C，當(dāng)時(shí)，，則為對(duì)稱軸，C正確；D，當(dāng)時(shí)，，則不是對(duì)稱中心，D錯(cuò)誤；故選：BC12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為B.存在點(diǎn)，使得平面C.若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面為梯形，其周長(zhǎng)為，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，則，得只能在線段上，再由，得只能在線段上，即與重合，不符合題意，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)，連接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，其長(zhǎng)度為，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，由A，C選項(xiàng)可得，平面平面，所以當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，到平面的距離最大，此時(shí)為等邊三角形，因?yàn)槠矫?，所以三棱錐的外接球球心一定在直線上，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，由得，，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題13.設(shè)非空集合滿足，，則這樣的的個(gè)數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)可得，這5組中的每一組中的元素必定同時(shí)出現(xiàn)在集合中，故這樣的非空集合的個(gè)數(shù)為，故〖答案〗為：14.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,那么實(shí)數(shù)ω的取值范圍是____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋汕?，知，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,其中,所以其中,解得，其中,由，得，又，所以或，因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，所以實(shí)數(shù)ω的取值范圍是.15.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋远魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線，且需滿足，即，解得，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.16.已知橢圓：的離心率為，左頂點(diǎn)是A，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，且的周長(zhǎng)為，則直線的斜率為________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，又因?yàn)?，即，則，可得，所以，①又因?yàn)椋傻?，②又因?yàn)?，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得為銳角，則，所以，即的斜率為．故〖答案〗為：.四、解答題17.某區(qū)域市場(chǎng)中智能終端產(chǎn)品的制造全部由甲?乙兩公司提供技術(shù)支持．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研及預(yù)測(cè)，商用初期，該區(qū)域市場(chǎng)中采用的甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品各占一半，假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢(shì)的體現(xiàn)，每次技術(shù)更新后，上一周期采用乙公司技術(shù)的產(chǎn)品中有轉(zhuǎn)而采用甲公司技術(shù)，采用甲公司技術(shù)的產(chǎn)品中有轉(zhuǎn)而采用乙公司技術(shù)．設(shè)第次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)中采用甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為和，不考慮其他因素的影響．（1）用表示，并求使數(shù)列是等比數(shù)列的實(shí)數(shù)．（2）經(jīng)過若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比能否達(dá)到以上？若能，則至少需要經(jīng)過幾次技術(shù)更新；若不能，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意知，經(jīng)過次技術(shù)更新后，，則，即．設(shè)，則，令，解得．又，所以當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，則，．所以經(jīng)過次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比為．對(duì)于任意，所以，即經(jīng)過若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比不會(huì)達(dá)到以上．18.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角C；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理，，整理得：，又由正弦定理，，而A為三角形內(nèi)角，故，故，而C銳角三角形內(nèi)角，故（2）由（1）知，，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，解得：，則，故，所以.故的取值范圍是.19.品酒師需要定期接受品酒鑒別能力測(cè)試，測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時(shí)間，等他等記憶淡忘之后，再讓他品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試.設(shè)在第一次排序時(shí)被排為1，2，3，…，n的n種酒，在第二次排序時(shí)的序號(hào)為，并令，稱X是兩次排序的偏離度.評(píng)委根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離度的高低為其評(píng)分.（1）當(dāng)時(shí)，若等可能地為1，2，3的各種排列，求X的分布列；（2）當(dāng)時(shí)，①若等可能地為1，2，3，4的各種排列，計(jì)算的概率；②假設(shè)某品酒師在連續(xù)三輪測(cè)試中，都有（各輪測(cè)試相互獨(dú)立），你認(rèn)為該品酒師的鑒別能力如何，請(qǐng)說明理由.解：（1）的排序共有種，且每種排序等可能，此時(shí)可取，又時(shí)，的排序?yàn)?，，時(shí)，的排序?yàn)榛颍?，時(shí)，的排序?yàn)榛蚧?，，所以的分布列為：?）①排序共有種，且每種排序等可能，而，故中有偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，故必為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，的排序與第一次排序無變化時(shí)，此時(shí)僅有種排序：，則，當(dāng)時(shí)，的排序與第一次排序相比僅有相鄰兩個(gè)位置變化時(shí)，此時(shí)有種排序：、、，，所以；②因?yàn)楦鬏啘y(cè)試相互獨(dú)立，所以“連續(xù)三輪測(cè)試中，都有”的概率為，所以是一個(gè)小概率，這表明僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有的結(jié)果的可能性很小，所以我們認(rèn)為該品酒師有良好的鑒別能力，不是靠隨機(jī)猜測(cè).20.設(shè)為實(shí)數(shù)，直線和圓相交于，兩點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若點(diǎn)在以為直徑的圓外（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，由，可知圓心到直線得距離為，所以，解得或；（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，由，得，且，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓外，所以，即，即，解得，所以的取值范圍是.21.正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體.可以驗(yàn)證一共只有五種多面體.令（均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時(shí)候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個(gè)正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等.（1）當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時(shí)，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；（2）當(dāng)正面體在棱長(zhǎng)為的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時(shí)，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；（3）已知正面體的每個(gè)面均為正五邊形，正面體的每個(gè)面均為正三角形.考生可在以下2問中選做1問.（第一問答對(duì)得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結(jié)果給分）第一問：求棱長(zhǎng)為的正面體的表面積；第二問：求棱長(zhǎng)為的正面體的體積.解：（1）設(shè)正面體每個(gè)端點(diǎn)出去的棱數(shù)相等為，每個(gè)面的邊的數(shù)量相等為，端點(diǎn)數(shù)量為，面的數(shù)量為，棱的數(shù)量為，由于每個(gè)棱用兩個(gè)端點(diǎn)，所以有：，由于每?jī)蓚€(gè)相鄰的面共用一條棱，所以有：，由，解得，因?yàn)榇矶噙呅蔚倪厰?shù)，所以，因?yàn)橐玫搅Ⅲw圖形，必須有，由題意易得，所以，，所以滿足條件的只有組解，①，，，即正四面體；②，，，即正六面體；③，，，即正十二面體；④，，，即正八面體；⑤，，，即正二十面體。即，，，，，為了滿足題意，只需找到正六面體的四個(gè)端點(diǎn)，端點(diǎn)距離全部相等，滿足題意的僅有一種，如圖所示：易得線面角只有或，所以夾角最大值為；（2）、、代表正六面體的中心，、、代表截面三角形，顯然截面為邊長(zhǎng)為的正三角形，面積；（3）第一問：正二十面體各面為正三角形，表面積；第二問：正十二面體各面為正五邊形，圖形如下：按照?qǐng)D示帶箭頭的虛線分割，得到一個(gè)棱長(zhǎng)相等的平行六面體和六個(gè)相同的立體圖形，如圖、長(zhǎng)度為1，且，由易知，即正六面體邊長(zhǎng)為，正六面體邊長(zhǎng)為，則，沿著頂棱的兩個(gè)端點(diǎn)，分別作關(guān)于頂棱垂直的切面，立體圖形可以拆成兩個(gè)四面體，一個(gè)三棱柱，先算出綠色邊的長(zhǎng)度，再用勾股定理易得立體圖形高為，，所以總體積為.22.一類項(xiàng)目若投資1元，投資成功的概率為．如果投資成功，會(huì)獲得元的回報(bào)；如果投資失敗，則會(huì)虧掉1元本金．為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，分多次投資該類項(xiàng)目，設(shè)每次投資金額為剩余本金的，1956年約翰·拉里·凱利計(jì)算得出，多次投資的平均回報(bào)率函數(shù)為，并提出了凱利公式．（1）證明：當(dāng)時(shí)，使得平均回報(bào)率最高的投資比例滿足凱利公式；（2）若，，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（1）證明：證法一：因