浙教版八年級下冊數(shù)學舉一反三系列 專題7.1 期中期末專項復習之二次根式十六大必考點（教師版）

專題7.1二次根式十六大必考點【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1二次根式的概念】 1【考點2二次根式有意義的條件】 3【考點3利用二次根式的性質化簡】 4【考點4同類二次根式的概念】 6【考點5最簡二次根式】 8【考點6比較二次根式的大小】 10【考點7求二次根式中的參數(shù)值】 12【考點8化簡并估算二次根式的值】 14【考點9二次根式中的規(guī)律探究】 16【考點10復合二次根式的化簡】 20【考點11二次根式的混合運算】 24【考點12二次根式的化簡求值】 28【考點13二次根式的應用】 30【考點14二次根式中的新定義問題】 34【考點15利用分母有理化求值】 37【考點16二次根式中的閱讀理解類問題】 43【考點1二次根式的概念】【例1】（2022·北京·人大附中八年級期末）下列式子中，是二次根式的是()A．2 B．32 C．x D．【答案】A【分析】一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，據(jù)此可得結論．【詳解】解：A、2是二次根式，符合題意；B、32C、當x＜0時，x無意義，不合題意；D、x屬于整式，不合題意；故選：A．【點睛】此題考查二次根式的定義，關鍵是根據(jù)二次根式的定義理解被開方數(shù)是非負數(shù)．【變式1-1】（2022·河北滄州·八年級期中）下列式子一定是二次根式的是()A．a(chǎn)2 B．－a C．3a 【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的定義，直接判斷得結論．【詳解】解：A、a2B、a<0時，－a不是二次根式，故B錯誤；C、3aD、a<0時，a不是二次根式，故D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的定義，形如a(a≥0)是二次根式，注意二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．【變式1-2】（2022·全國·八年級課時練習）若a=5，則下列各式是二次根式的是(

)A．3?a B．5?a C．a(chǎn)?5【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義進行判斷．【詳解】A、當a=5時，3-a＜0，該式子不是二次根式，故本選項錯誤；B、當a=5時，5-a=0，符合二次根式的定義，故本選項正確；C、該代數(shù)式不是二次根式，故本選項錯誤；D、該代數(shù)式不是二次根式，故本選項錯誤；故選B．【點睛】此題考查了二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．【變式1-3】（2022·內蒙古·北京師范大學烏海附屬學校八年級期中）a是任意實數(shù)，下列各式中：①a+2；②(?2a)4；③a2+3；④aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】∵二次根式a必須滿足a≥0∴只有②③④可以確定被開方數(shù)非負一定是二次根式的個數(shù)是3個故選C【點睛】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關鍵．【考點2二次根式有意義的條件】【例2】（2022·山東·日照山海天旅游度假區(qū)青島路中學七年級期中）若a，b為實數(shù)，且b=a2?1+1?a2A．±1 B．4 C．3或5 D．5【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，列出不等式組，即可解得a=1，b=4，即可得解．【詳解】根據(jù)題意，得a解得a=±1∴b=4∴a+b=5或3故答案為C．【點睛】此題主要考查二次根式的性質，熟練運用，即可解題．【變式2-1】（2022·廣東惠州·八年級期末）若式子x+6在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（

）A．x≥－6 B．x≤－6 C．x>－6 D．x＜－6【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：由題意得，x+6≥0，解得，x≥-6，故選：A．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．【變式2-2】（2022·新疆·烏魯木齊市第三中學八年級期末）下列二次根式一定有意義的是（

）A．2 B．?2 C．a(chǎn) D．?a【答案】A【分析】二次根式有意義的條件是二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)．【詳解】解：A．2是二次根式，被開方數(shù)大于0，有意義，故本選項符合題意；B．?2，被開方數(shù)小于0，無意義，故本選項不符合題意；C．a(chǎn)，a如果小于0時無意義，故本選項不符合題意；D．?a，?a如果小于0時無意義，故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關鍵．【變式2-3】（2022·上海外國語大學附屬雙語學校七年級期中）若1999?x+x?2006=x【答案】2006【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的取值范圍，進而可得出結論．【詳解】解：∵x?2006∴x?2006≥0，∴原等式變形為x?1999+x?2006解得19992∴x?1999故答案為：2006．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負性是解答此題的關鍵．【考點3利用二次根式的性質化簡】【例3】（2022·安徽·安慶九一六學校八年級階段練習）若a＜0，b＞0，則化簡214A．a(chǎn)﹣2b B．2a﹣b C．2b﹣a D．b﹣2a【答案】C【分析】先將原式化簡為212a?b2，再由a＜0，【詳解】解：原式=2=2∵a＜0，b＞0，∴12∴21故選：C．【點睛】本題主要考查完全平方公式，二次根式的定義，掌握相關知識并正確求解是解題的關鍵．【變式3-1】（2022·河北·滄州渤海新區(qū)京師學校八年級階段練習）化簡下列二次根式（字母表示正數(shù)）(1)24(2)16【答案】(1)4ab(2)4a【分析】（1）根據(jù)二次根式的化簡運算法則化簡即可；（2）先將根式中的式子提公因式4a2（1）解：原式=2=2=4ab（2）解：原式=4a=4a=4a【點睛】本題主要考查二次根式的化簡，掌握相關運算法則是解題的關鍵.【變式3-2】（2022·云南·會澤縣以禮中學校八年級階段練習）已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：a2+b【答案】3a﹣2b-1【分析】根據(jù)數(shù)軸可知b＜﹣1＜0＜a＜1，推出a﹣b＞0，a﹣1＜0，根據(jù)二次根式的性質得出a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a），求出即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：b＜﹣1＜0＜a＜1，則a﹣b＞0，a﹣1＜0，則原式＝a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a）＝a﹣b+a﹣b﹣1+a＝3a﹣2b-1．【點睛】本題考查了二次根式的性質和數(shù)軸，注意：當a≥0時，a2=a，當a≤0時，a【變式3-3】（2022·安徽·蕪湖市第二十九中學八年級期中）化簡：x?32【答案】1【分析】運用二次根式的性質進行化簡，再合并即可．【詳解】由題意可知2?x≥0，∴x≤2，∴x?3<0，∴原式=3?x?2+x=1【點睛】本題考查了二次根式的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質．【考點4同類二次根式的概念】【例4】（2022·全國·八年級單元測試）下列二次根式中，化簡后可以合并的是

（

）A．a(chǎn)2b與a B．xyC．50與5 D．a(chǎn)+b與【答案】B【分析】先化簡，然后根據(jù)同類二次根式的定義分別進行判斷即可．【詳解】A、a2B、xy=xyC、50=5D、a+b與a故選B．【點睛】本題考查了同類二次根式：把各二次根式化為最簡二次根式后若被開方數(shù)相同，那么這樣的二次根式叫同類二次根式.【變式4-1】（2022·全國·八年級單元測試）下面二次根式：①48；②23；③27；④23.化簡后與3可以合并的是（A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】直接利用二次根式的性質化簡得出答案．【詳解】①48=43，②23=22，③27=33；④23=63故選C．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．【變式4-2】（2022·甘肅·民勤縣第六中學八年級期中）若最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11能合并，則x【答案】5【分析】先根據(jù)二次根式和同類二次根式的定義得到關于x、y的二元一次方程組，解方程組求出x、y的值，然后代值計算即可．【詳解】解：∵最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴3x?10=22x+y?5=x?3y+11∴x=4y=3∴x2故答案為：5．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式和同類二次根式的定義，利用二次根式的性質化簡，解二元一次方程組，正確得到3x?10=22x+y?5=x?3y+11【變式4-3】（2022·安徽·安慶九一六學校八年級階段練習）如果最簡二次根式4a?5與13?2a是同類二次根式．(1)求出a的值；(2)若a≤x≤2a，化簡：x2【答案】(1)3(2)4【分析】(1)根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相等可列出方程，解出即可；(2)根據(jù)(1)可得3≤x≤6，再根據(jù)完全平方公式及去絕對值符號法則進行運算，即可求得結果．（1）解：∵最簡二次根式4a?5與13?2a是同類二次根式，∴4a-5=13-2a，解得a=3；（2）解：∵a≤x≤2a，a=3，∴3≤x≤6，∴x===x?2+6?x=4．【點睛】本題考查了同類二次根式的定義，利用二次根式的性質化簡，去絕對值符合號法則，熟練掌握和運用各定義和法則是解決本題的關鍵．【考點5最簡二次根式】【例5】（2022春·山東淄博·九年級?？计谥校┫铝懈魇舰?；②0.3；③30；④x2+y2；⑤A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式滿足的兩個條件進行判斷即可．【詳解】①8=22，②③30、④x2+y故選：B．【點睛】此題考查最簡二次根式，熟記最簡二次根式滿足的條件即可正確解題．【變式5-1】下列各根式是最簡二次根式的是（

）A．56 B．xy C．m2+【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，56=2xym218x=3故選C．【點睛】本題考查最簡二次根式定義，不含開得盡方的數(shù)，根號下不含分母或分母中不帶根號．【變式5-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）若a?12a+5與3b+a是被開方數(shù)相同的最簡二次根式，求ab【答案】2【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義列出a，b的方程求出，再代入ab計算求值【詳解】解：∵a?12a+5與3b+a∴解得：a=3∵2a+5=11>0∴a=3b=∴【點睛】本題考查了最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．本題求出a，b后還需檢驗，因為被開方數(shù)必須為非負數(shù)．【變式5-3】（2022春·浙江杭州·八年級校考期中）我們把形如ax+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡二次根式）的數(shù)叫做x型無理數(shù)，如3x+1是x型無理數(shù)，則(2A．2型無理數(shù) B．5型無理數(shù) C．10型無理數(shù) D．20型無理數(shù)【答案】B【分析】先利用完全平方公式計算，再化簡得到原式=12+45【詳解】解：(2所以(2+10故選：B．【點睛】本題考查了最簡二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．也考查了無理數(shù)．【考點6比較二次根式的大小】【例6】（2022秋·福建福州·八年級?？计谀┤鬭=2019×2021?2019×2020，b=20222?4×2021，c=A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】A【分析】利用平方差公式計算a，利用完全平方公式和二次根式的化簡求出b，利用二次根式大小的比較辦法，比較b、c得結論．【詳解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2022-1）（2022+1）-（2022-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019；∵20222-4×2021=（2022+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2022-1）2=20202，∴b=2020；∵20202∴c＞b＞a．故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化簡、二次根式大小的比較等知識點．變形2019×2021-2019×2020、20222【變式6-1】（2022·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）設M=20172?2016×2018，N=20172?4034×2018+2018A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M=±N【答案】C【分析】將被開方數(shù)利用平方差公式和完全平方公式計算、化簡可得．【詳解】解：∵M=20172?(2017?1)×(2017+1)=N=(2017?2018)2∴M=N，故選C．【點睛】本題主要考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性質．【變式6-2】（2022秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）5?2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5?【答案】D【分析】根據(jù)作差法，分別比較5?2與2+2，2+2【詳解】∵(5?2)-(2+2)=3-22=3-8=9-∴5?2∵(2+2)-(2+52)=2-52=22∴2+2∴5?2故選D.【點睛】本題主要考查比較二次根式的大小，掌握作差法比較大小，是解題的關鍵.【變式6-3】（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）若a=1003+997，b=1001+【答案】a＜b＜c【分析】利用平方法把三個數(shù)值平方后再比較大小即可．【詳解】解：∵a2=2000+21003×997，b2=2000+21001×999，c2=4004=2000+2×1002，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．∴a＜b＜c．故答案為：a＜b＜c.【點睛】這里注意比較數(shù)的大小可以用平方法，兩個正數(shù)，平方大的就大．此題也要求學生熟練運用完全平方公式和平方差公式．【考點7求二次根式中的參數(shù)值】【例7】（2022春·北京·八年級北京八中?？计谥校┮阎猲是正整數(shù)，18?2n是整數(shù)，則滿足條件的所有n的值為__________．【答案】9或7或1【分析】先利用算數(shù)平方根有意義的條件求得正整數(shù)n的取值范圍，然后令18?2n等于所有可能的平方數(shù)即可求解．【詳解】解：由題意得18?2n≥0，解得n≤9，∵n是正整數(shù)，∴n≥1∴1≤n≤9，∴2≤2n≤18，∴0≤18?2n≤16，∵18?2n是整數(shù)，∴18?2n=0或18?2n=1或18?2n=4或18?2n=9或18?2n=16，解得n=9或n=172或n=7或n=9∵n是正整數(shù)，∴n=9或n=7或n=1，故答案為：9或7或1【點睛】本題考查了算術平方根的性質，理解掌握被開方數(shù)是平方數(shù)時算術平方根才是整數(shù)是解題的關鍵．【變式7-1】（2022秋·四川資陽·九年級校考階段練習）如果17+4a是一個正整數(shù)，則整數(shù)a的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．2 D．8【答案】A【分析】根據(jù)17+4a是一個正整數(shù)，得出a＞?174，根據(jù)a為整數(shù)，得出a的最小值為?4，最后代入【詳解】解：∵17+4a是一個正整數(shù)，∴17+4a＞∴a＞∵a為整數(shù)，∴a的最小值為?4，且a=?4時，17+4a=故選：A．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質，根據(jù)題意求出a＞【變式7-2】（2022春·四川涼山·七年級統(tǒng)考期末）已知12?n是正偶數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．3【答案】C【分析】如果實數(shù)n取最大值，那么12－n有最小值，又知12?n是正偶數(shù)，而最小的正偶數(shù)是2，則12?n＝2，從而得出結果．【詳解】解：當12?n等于最小的正偶數(shù)2時，n取最大值,則n＝8，故選：C【點睛】本題考查二次根式的有關知識，解題的關鍵是理解“12?n是正偶數(shù)”的含義．【變式7-3】（2022秋·四川達州·八年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)滿足5?3a=2b+23【答案】?【分析】將已知等式整理得?3a+a?2b=23?5，由a，b為有理數(shù)，得到【詳解】解：∵5?3∴?3∵a，b為有理數(shù)，∴?3解得a=?2,b=3∴a+b=?2+3故答案為：?1【點睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對應關系，由此求出a，b的值是解題的關鍵．【考點8化簡并估算二次根式的值】【例8】（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？计谀┕烙?+3×2A．8到9之間 B．9到10之間 C．10到11之間 D．11到12之間【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的混合運算化簡，估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：2=2=4∵4<6<6.25，∴2<∴4<2∴8<4故選：A．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關鍵．【變式8-1】（2022秋·重慶大渡口·九年級?？计谀┕烙?2+3÷A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間【答案】C【分析】先根據(jù)二次根式的除法進行計算42+3÷【詳解】解：∵42+3÷∵3<∴4<故選C【點睛】本題考查了二次根式的除法，無理數(shù)的估算，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式8-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，若以3米為單位長度建立數(shù)軸，線段AB=17米，點A在原點，點B在數(shù)軸的正半軸，估計點B位于兩個相鄰整數(shù)之間，這兩個整數(shù)分別是______．【答案】9和10【分析】先計算17里面有幾個3即可求解．【詳解】17÷3∵9=2433∴9<∴這兩個相鄰整數(shù)是9和10．故答案為：9和10．【點睛】此題考查了無理數(shù)的估算，正確估算出17÷3【變式8-3】（2022春·八年級單元測試）觀察下列各式子，并回答下面問題．第一個：1第二個：2第三個：3第四個：42（1）試寫出第n個式子（用含n的表達式表示），這個式子一定是二次根式嗎？為什么？（2）你估計第16個式子的值在哪兩個相鄰整數(shù)之間？試說明理由．【答案】（1）n2?n，該式子一定是二次根式，理由見解析；（2）【分析】（1）依據(jù)規(guī)律可寫出第n個式子，然后判斷被開方數(shù)的正負情況，從而可做出判斷；（2）將n=16代入，得出第16個式子為240，再判斷即可．【詳解】解：（1）n2該式子一定是二次根式，因為n為正整數(shù)，n2（2）16∵225=15，256∴15<240∴240在15和16之間．【點睛】本題考查的知識點是二次根式的定義以及估計無理數(shù)的大小，掌握用“逼近法”估算無理數(shù)的大小的方法是解此題的關鍵．【考點9二次根式中的規(guī)律探究】【例9】（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：第1個等式：a1=11+2=2?1；第2個等式：A．311?1 B．10?311 【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，得出一般規(guī)律an【詳解】解：第1個等式：a1=第2個等式：a2第3個等式：a3=第4個等式：a4……第n個等式：an∴a==100=10?1=9，故C正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，首先要理解題意，找到規(guī)律，并進行推導得到答案．【變式9-1】（2022春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式：1+1+1+請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想：(1)1+1(2)請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：_____；(3)利用上述規(guī)律計算：5049【答案】(1)1+1(2)1+(3)1+1【分析】（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)求出的規(guī)律進行計算即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（3）原式先變形為1+1【詳解】（1）1+（2）1+（3）50【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，數(shù)字的變化類等知識點，解題的關鍵是能根據(jù)已知算式得出規(guī)律．【變式9-2】（2022秋·遼寧撫順·八年級?？计谀╅喿x材料：像6+56?5(1)7的有理化因式是___________；7+2(2)觀察下面的變形規(guī)律，請你猜想：12+1=2?1，1(3)利用上面的方法，請化簡：12【答案】(1)7，7(2)n+1(3)9【分析】（1）根據(jù)題意及二次根式的乘法即可得出結果；（2）根據(jù)題干中的例子，直接猜想求解即可；（3）根據(jù)（2）中結論將式子化簡變形求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，7×7∴7的有理化因式是7，7+2的有理化因式是故答案為：7，7?2（2）121314‥‥‥，1n+1故答案為：n+1（3）1===10?1=9．故答案為：9．【點睛】題目主要考查二次根式的混合運算及二次根式的化簡，分母有理化，熟練掌握二次根式的化簡是解題關鍵．【變式9-3】（2022秋·北京順義·八年級統(tǒng)考期末）一些數(shù)按某種規(guī)律排列如下：第一行12第二行3256第三行72310112第四行1314154173192……(1)根據(jù)排列的規(guī)律，寫出第5行從左數(shù)第4個數(shù)；(2)寫出第n（n是正整數(shù)）行，從左數(shù)第n+1個數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)2(2)n【分析】（1）根據(jù)第4行的最后一個數(shù)為：25，即可得到第5行第一個數(shù)為：21（2）根據(jù)規(guī)律可知：第1行最后一個數(shù)是：1×2=2，第2行最后一個數(shù)是：2×3=6，第3行最后一個數(shù)是：進而推出第n?1行最后一個數(shù)，然后推導出第n（n是正整數(shù)）行，從左數(shù)第n+1個數(shù)即可．【詳解】（1）解：由表格可知：第5行第一個數(shù)為：21，則第5行，從左到右依次是：21，22，23，?，30，∴第5行從左數(shù)第4個數(shù)：24=2（2）解：由表格可知：第1行最后一個數(shù)是：1×2=第2行最后一個數(shù)是：2×3=第3行最后一個數(shù)是：3×4=第4行最后一個數(shù)是：4×5=?∴第n?1行最后一個數(shù)是：n?1×n∴第n行的第一個數(shù)是：n2?n+1，從左數(shù)第n+1個數(shù)為：【點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律探究．觀察出被開方數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，并且每一行的最后一個被開方數(shù)是所在行數(shù)乘以比行數(shù)大1的數(shù)，是解題的關鍵．【考點10復合二次根式的化簡】【例10】（2022春·內蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期中）像4?23，484?23＝3?23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：12+235(2)化簡：17?415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【答案】(1)5(2)2(3)14或46【分析】（1）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結合整除的意義求解．【詳解】（1）12+2（2）17?4（3）∵a+65∴a=m2+5∴mn=3又∵a、m、n為正整數(shù)，∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴當m=1,n=3時，a=46；當m=3,n=1時，a=14．∴a的值為：14或46．【點睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進一步利用公式因式分解化簡，注意在整數(shù)分解時參考后面的二次根號里面的數(shù)值．【變式10-1】（2022春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┰诙胃降挠嬎愫捅容^大小中，有時候用“平方法”會取得很好的效果，例如，比較a＝23和b＝32的大小，我們可以把a和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請利用“平方法”解決下面問題：(1)比較c＝42，d＝27大小，cd（填寫＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝25+6，n(3)化簡：4p?8p?1+4p+8【答案】(1)c>d(2)m<n，證明過程見解析(3)4或4p?1【分析】（1）根據(jù)題干中“平方法”比較實數(shù)大小；（2）根據(jù)題干中“平方法”比較二次根式的大小；（3）根據(jù)題干中“平方法”找出(p?1?1)2【詳解】（1）解：∵c2=32，d2=28，則c2>d2，∴c>d；故答案為：>．（2）解：猜想：m<n，證明：∵m＝25+6，n∴m2=(25+6)2=26+430，n2＝(23+∵30<42，∴m2<n2，∴m<n；（3）解：∵(p?1?1)2∴4p?8=2p?2=2p?1?1+2∵p?1≥0∴p≥1，分情況討論：①若p?1?1≤0，即1≤p原式=2(1?p?1)+2=4；②若p?1?1>0，即p原式=2(p?1?1)+2=4p?1綜合①②得：當1≤p≤2時，原式=4；當p>2時，原式=4p?1；故答案為：4或4p?1．【點睛】此題考查了實數(shù)的大小比較，二次根式的大小比較和化簡二次根式，解題的關鍵是熟練運用題干中“平方法”，第（3）題注意分情況討論．【變式10-2】（2022秋·四川成都·八年級?？计谥校┫乳喿x下面的解題過程，然后再解答，形如m±2n的化簡，我們只要找到兩個數(shù)a，b，使a+b=m，ab=n，即(a)2+例如化簡：7+4解：首先把7+43化為7+2這里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12，所以(4所以7+4（1）根據(jù)上述方法化簡：4（2）根據(jù)上述方法化簡：13?2（3）根據(jù)上述方法化簡：4?【答案】（1）3+1；（2）7?【分析】根據(jù)題意把題目中的無理式轉化成m±2n【詳解】解：（1）∵4+23∴m=4，n=3，∵3+1=4，3×1=3，∴32+1∴4+23（2）∵13?242∴m=13，n=42，∵7+6=13，7×6=42，∴72+6∴13?242（3）∵4?15∴m=8，n=15，∵3+5=8，3×5=15，∴32+5∴4?15【點睛】本題考查了二次根式的化簡，根據(jù)題中的范例把根號內的式子整理成完全平方的形式是解答此題的關鍵．【變式10-3】（2022春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法：2+32?設x=3+5易知3+5故x>0，由x=3+=2解得x=2，即3+5根據(jù)以上方法，化簡3【答案】5?3【分析】由常見的分母有理化利用平方差公式化解3?23【詳解】解：設x=6?33∴x<0∴x∴x∴x=?∵3?∴原式=5?2【點睛】本題考察了分母有理化以及提取題干信息的能力；關鍵在于要會用平方差公式進行分母有理化，讀懂題干，能用完全平方差公式進行有理化．【考點11二次根式的混合運算】【例11】（2022·浙江·義烏市稠州中學教育集團八年級階段練習）計算：(1)12?6(2)3+2【答案】(1)4(2)3【分析】（1）把每個二次根式化簡，然后合并同類二次根式即可；（2）利用平方差公式和二次根式的性質化簡即可求解．（1）12=2=2=4（2）3==3?4+=【點睛】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握二次根式的性質和乘方公式是解題的關鍵．【變式11-1】（2022·山東·寧津縣德清中學八年級期中）計算：(1)2×(1?2(2)(43(3)12(4)32【答案】(1)2(2)2+(3)5(4)6【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質和實數(shù)的混合計算法則求解即可；（2）根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可；（3）先根據(jù)二次根式的性質化簡，然后根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可；（4）利用平方差公式求解即可．（1）解：原式=2?2=2；（2）解：原式=4=2+3（3）解：原式=2=5（4）解：原式==18?12=6．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合計算，二次根式的加減計算，二次根式的性質化簡，實數(shù)的混合計算，平方差公式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．【變式11-2】（2022·重慶市萬盛經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)溱州中學八年級期中）計算：(1)(1(2)(3【答案】(1)7+(2)94【分析】（1）先利用負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、二次根式的性質進行化簡，然后再計算；（2）分別化簡二次根式，先計算括號內的，然后再計算即可．（1）解：(=3+=3+6?2+=7+3（2）解：(3=(3×3=(9=9=94【點睛】本題考查了根據(jù)二次根式的性質化簡，二次根式的除法運算，二次根式的加減運算，熟練掌握二次根式的性質并正確的計算是解題的關鍵．【變式11-3】（2022·湖南·寧遠縣仁和鎮(zhèn)中學九年級階段練習）計算：(1)40+(2)2×(3)7a【答案】(1)2?(2)5(3)?3【分析】（1）先計算二次根式的除法，再將每個二次根式化為最簡二次根式，最后合并同類二次根式；（2）利用二次根式的性質化簡，再計算乘除法，最后合并同類二次根式；（3）先化為最簡二次根式，分母有理化，再計算二次根式的加減法．（1）解：原式=20+4?35=（2）原式=23+9×39?（3）原式=7a+2ax【點睛】本題考查二次根式的混合運算，涉及分母有理化、最簡二次根式等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．【考點12二次根式的化簡求值】【例12】（2022·全國·八年級期中）已知a=3+1，求【答案】18?9【分析】經(jīng)觀察可得所求的式子滿足完全平方公式，利用完全平方式可將所求的式子化為最簡，代入a的值后可得結果．【詳解】a+1當a=3+1時，原式【變式12-1】（2022·福建龍巖·八年級階段練習）先化簡，再求值：(a+b)2?(a?b【答案】2ab+2b；27+6﹣2【分析】先利用完全平方公式和平方差公式計算，再合并得到原式＝2ab+2b，接著計算ab的值，然后把ab和b【詳解】解：原式＝a+2ab+b﹣（a﹣b＝a+2ab+b﹣a+＝2ab+2b∵a＝3+2，b＝3?∴ab＝9﹣2＝7，∴原式＝27+2×（3?＝27+6﹣22【點睛】此題考查了二次根式的混合運算以及化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算法則．【變式12-2】（2022·湖北·武漢市六中位育中學八年級階段練習）先化簡，再求值：25xy+xyx?4yx【答案】2【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y【詳解】解：∵x>0∴原式=5=當x=13，y=4【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值,熟練運算二次根式是解題關鍵．【變式12-3】（2022·全國·八年級課時練習）已知y＝x?8＋8?x＋18，求代數(shù)式x+yx?y【答案】-2【分析】首先由二次根式有意義的條件求得x＝8，則y＝18，然后代入化簡后的代數(shù)式求值．【詳解】解：由題意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，則y＝18，∵x＞0，y＞0，∴原式＝x+yx?＝x+yx?＝(＝x﹣y把x＝8，y＝18代入原式＝8﹣18＝22﹣32＝-2，故答案為：-2．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件和二次根式的化簡求值，解題關鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件確定x、y的值，能夠熟練的運用二次根式的性質化簡．【考點13二次根式的應用】【例13】（2022·山東·費縣第二中學八年級期中）如圖，在一個長方形中無重疊的放入面積分別為16cm2和12cmA．4?23cm2 B．83?4cm【答案】C【分析】欲求S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由題意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，進而解決此題．【詳解】解：如圖：由題意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，∴HC=4cm，LM=LF=23∴S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL?LF+MC?ME=HL?LF+MC?LF=（HL+MC）?LF=（HC-LM）?LF=(4?2=(83?12)cm故選：C．【點睛】本題主要考查二次根式的應用，熟練掌握二次根式的化簡以及運算是解決本題的關鍵．【變式13-1】（2022·江西省于都中學八年級期中）請閱讀材料，并解決實際問題：海倫（約公元50年），古希臘幾何學家，利用三角形的三邊求面積：有一個三角形的三條邊長分別為a，b，c，記p＝a+b+c2，那么這個三角形的面積S＝p(p?a)(p?b)(p?c)．這個公式稱海倫公式．秦九韶（約1202﹣1261），我國南宋時期的數(shù)學家，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式S＝1問題：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海倫﹣秦九韶公式求△ABC的面積為_____．【答案】6【分析】直接利用已知公式求出p的值，進而代入三角形面積公式中得出答案．【詳解】解：∵b=AC＝5，c=AB＝6，a=BC＝7，∴p＝a+b+c2＝5+6+7∴這個三角形的面積：S＝p(p?a)(p?b)(p?c)＝9×(9?5)×(9?6)×(9?7)＝66．故答案為：66．【點睛】此題主要考查了二次根式的應用，理解定義，正確化簡二次根式是解題關鍵．【變式13-2】（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)華君外國語學校八年級階段練習）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n與2mn（3）請利用上述結論解決下面問題：某園林設計師要對園林的一個區(qū)域進行設計改造，將該區(qū)域用籬笆圍成矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為200m【答案】（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn【分析】（1）分別進行計算，比較大小即可；（2）根據(jù)第（1）問填大于號或等于號，所以猜想m+n≥2mn（3）設花圃的長為a米，寬為b米，需要籬笆的長度為（a＋2b）米，利用第（2）問的公式即可求得最小值．【詳解】解：（1）∵4+3=7,2∴7∵49>48∴4+3>2∵1+∴1+∵5+5=10,2∴5+5=2故答案為：＞，＞，＝．（2）m+n≥2mn當m≥0，n≥0時，∵(∴(∴m?2∴m+n≥2（3）設花圃的長為a米，寬為b米，則a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根據(jù)（2）的結論可得：a+2b≥2a?2b∴籬笆至少需要40米．故答案為：40．【點睛】本題主要考查了二次根式的計算，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，解題的關鍵是聯(lián)想到完全平方公式，利用平方的非負性求證．【變式13-3】（2022·安徽·潛山市羅漢初級中學八年級階段練習）某居民小區(qū)有一塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為162m，寬AB為128m，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為(13(1)長方形ABCD的周長是多少？(2)除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，通通上要鋪上造價為5元【答案】(1)34(2)660【分析】（1）根據(jù)長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運算順序和運算法則計算即可；（2）先計算出空白部分的面積，然后再用空白部分的面積乘以單價即可得出結論．（1）解：∵長方形的長BC為162m，寬AB為128∴長方形ABCD的周長為：2=2=342答：長方形ABCD的周長是342（2）由題意，知162===660（元）．答：購買地磚需要花費660元．【點睛】本題考查二次根式的應用，長方形的周長和面積，平方差公式．解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則及其性質．【考點14二次根式中的新定義問題】【例14】（2022·安徽合肥·八年級期中）我們規(guī)定用a,b表示-對數(shù)對，給出如下定義：記m=1a，n=b（a>0，b>0），將m,n與n,m稱為數(shù)對a,b的一對“對稱數(shù)對”，例如：4,1的一對“對稱數(shù)對”為1(1)數(shù)對25,4的一對“對稱數(shù)對”是________和________；(2)若數(shù)對x,2的一對“對稱數(shù)對”的一個數(shù)對是2,1，求x(3)若數(shù)對a,b的一對“對稱數(shù)對”的一個數(shù)對是3,33，求【答案】(1)15,2；(2)x=1(3)9或1【分析】（1）根據(jù)題意將a=25，b=4代入m=1a=（2）由題m=1a，n=b，數(shù)對x,2的一對“對稱數(shù)對”的一個數(shù)對是2,1和1,2（3）將數(shù)對a,b的一對“對稱數(shù)對”求出來，分類討論求出a，b，即可知ab．（1）解：由題意知：m=125=∴數(shù)對25,4的一對“對稱數(shù)對”是15,2和（2）解：∵數(shù)對x,2的一對“對稱數(shù)對”是1x,2∴1x∴x=1.（3）解：∵數(shù)對a,b的一對“對稱數(shù)對”是1a,b∴1a=∴a=13∴ab=9或19【點睛】本題考查了學生對新定義的理解及根式的計算，要正確的理解新定義是解題的關鍵．【變式14-1】（2022·廣東廣州·八年級期末）已知a，b都是實數(shù)，現(xiàn)定義新運算：a?b=3a?b2，例：(1)求2??(2)若m=5?35+【答案】(1)4(2)6【分析】（1）根據(jù)定義新運算：a*b＝3a﹣b2，進行計算即可解答；（2）根據(jù)定義新運算：a*b＝3a﹣b2，得到m?n=3m﹣(1)解：∵a?b=3a?b∴2?=3×2?=6?2=4(2)解：∵m=52?∴m?n=3m＝3×2?=6?=6【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，理解定義新運算a*b＝3a﹣b2是解題的關鍵．【變式14-2】（2022·山東濟寧·八年級期末）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的共軛二次根式．(1)若a與2是關于2的共軛二次根式，則a＝；(2)若2+3與2+3m是關于1的共軛二次根式，求m的值．【答案】(1)2(2)m=?1【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義可得2a=2（2）根據(jù)共軛二次根式的定義可得2+3（1）解：由題意得：2a=2解得a=2故答案為：2．（2）解：由題意得：2+3兩邊同除以2+3得：2+3m=解得m=?1．【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化、二次根式的除法，理解共軛二次根式的定義是解題關鍵．【變式14-3】（2022·福建省泰寧縣教師進修學校八年級期中）我們規(guī)定，若a＋b＝2，則稱a與b是關于1的平衡數(shù)．（1）若3與x是關于1的平衡數(shù)，5－2與y是關于1的平衡數(shù)，求x，y的值；（2）若（m＋3）×（1－3）＝－2n＋3（3－1），判斷m＋3與5n－3是否是關于1的平衡數(shù)，并說明理由．【答案】（1）－1，?3+2；（2）當m=?69?5333，n=27+【分析】（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案；（2）對式子進行化簡，得到m，n的關系，再對m，n進行分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：3+x=2，5?解得x=?1，y=故答案為?1，2（2）m+3∴m?m3∴m?m3∴m+2n?2①當m和n均為有理數(shù)時，則有m+2n?=解得：m=?2????當m=?2????m+所以m+3②當m和n中一個為有理數(shù)，另一個為無理數(shù)時，m+3+5n?3=m+5n所以m+3與5n?③當m和n均為無理數(shù)時，當m+5n=2時，聯(lián)立m+2n?23m=?69?53存在m=?69?5333，n=當m≠?69?5333且n≠綜上可得：當m=?69?5333，n=27+3【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，解答本題的關鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并，并掌握分類討論的思想．【考點15利用分母有理化求值】【例15】（2022·山東·宗圣中學八年級階段練習）在進行二次根式的化簡時，我們有時會碰上如232323(1)請用兩種不同的方法化簡17(2)選擇合適的方法化簡1n+n+1(3)求11+【答案】(1)7?(2)n+1(3)9【分析】（1）仿照題意進行化簡即可；（2）仿照題意進行分母有理化即可；（3）根據(jù)（2）的結論求解即可．（1）解：1717（2）解：1n（3）解：∵1n∴1=2=100=10?1=9．【點睛】本題主要考查了分母有理化，實數(shù)運算相關的規(guī)律，正確理解題意熟知分母有理化的計算法則是解題的關鍵．【變式15-1】（2022·江蘇鹽城·八年級期末）像(5+2)(5?2)=1，a?a＝a（a≥0），（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0），兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：5與5，2+1與2﹣1，23+35與2(1)化簡：①323=②15?(2)計算：(12+1+13+(3)已知a=2022?2021，b=2023?【答案】(1)①32，②(2)2021(3)a>b，理由見詳解【分析】（1）①將二次根式分母有理化進行計算；②先確定分母有理化因式，然后進行計算；（2）利用二次根式分母有理化的計算法則并通過探索數(shù)字規(guī)律進行計算求解；（3）通過比較a，b的倒數(shù)，然后進行a，b的大小比較．（1）①32故答案為：32②15故答案為：5+（2）12+1+1==2022?1=2021，故答案為：2021；（3）a>b，理由如下：1a同理：1b∵2023+∴1a∴a>b．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，掌握平方差公式的結構特征，理解二次根式分母有理化的計算方法是解題關鍵．【變式15-2】（2022·山東濟南·八年級期中）閱讀下列材料，然后解答問題：在進行二次根式的化簡與計算時我們有時會遇到如：32，23+1這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：3以上將分母中的根號化去的過程，叫做分母有理化．(1)根據(jù)上面規(guī)律化簡：15＝______；1(2)化簡下列各式①5?1②8?2③13?3④20?4(3)用含n（n≥1的整數(shù)）的式子寫出（2）中第n個式子，并化簡．【答案】(1)55，(2)①-1；②-2；③-3；④-4(3)﹣n【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以求得所求式子的值；（2）利用分母有理化的方法可以求得各小題中式子的值；（3）根據(jù)（2）中的式子，可以發(fā)現(xiàn)每個式子第一個數(shù)的分子是n2（1）解：1515故答案為：55；5（2）解：①5====-1；②8=====-2；③13====-3；④20=====-4；（3）解：由（2）可得，第n個式子是n2n=====-n．【點睛】本題考查二次根式的混合運算、數(shù)字的變化類、平方差公式、分母有理數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，求出所求式子的值．【變式15-3】（2022·全國·八年級單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如23+1一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：23+1=2(3?1)②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求a2b2．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則a2b2(ab)22abx22y4610．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．（1）計算：13+1+15+（2）已知m是正整數(shù)，am+1?mm+1+m，bm+1+mm+1?m且2a21823ab（3）已知15+x2?【答案】（1）2019?1【分析】（1）先將式子的每一項進行分母有理化，再計算即可；（2）先求出a+b,ab的值，再用換元法計算求解即可；（3）先利用15+x2?26?【詳解】解：（1）原式==3（2）∵am+1?mm+1+m，∴a+b=(∵2a21823ab2b22019，∴2(a∴a2∴4(