新教材選擇性6.2空間向量的坐標(biāo)表示課件（34張）

6.2空間向量的坐標(biāo)表示6.2.1空間向量基本定理空間向量的坐標(biāo)表示1.能根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.2.理解空間點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)的關(guān)系,掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.3.會利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判定兩向量共線或垂直.4.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式,能運(yùn)用這些知識解決相關(guān)

問題.

空間向量基本定理

如果三個向量e1,e2,e3①

不共面

,那么對空間任一向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)

組(x,y,z),使②

p=xe1+ye2+ze3

.如果三個向量e1,e2,e3③

不共面

,那么空間的每一個向量都可由向量e1,e2,e3線

性表示.我們把{e1,e2,e3}稱為空間的一個基底,e1,e2,e3叫作基向量.

別地,當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時,稱這個基底為單位正交基

底,通常用{i,j,k}表示.設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn),則對空間任意一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),

使得

=x

+y

+z

.

方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:x軸、y軸、z

了一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz,點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn),三條坐標(biāo)軸中的每兩條確定一

個坐標(biāo)平面,分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面.

空間向量的坐標(biāo)表示

如圖(1),在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底{i,j,k}.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的向,若中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,對于空間任意一個向量a,根據(jù)空間向量基本定理,存

在唯一的有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k.有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo),記作a=④

(a1,a2,a3)

.如圖(2),在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方3.如圖,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,對于空間任意一點(diǎn)P,我們稱向量

為點(diǎn)P的位置向量.于是,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得

=xi+yj+zk.因此,向量

的坐標(biāo)為

=(x,y,z).此時,我們把與向量

對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作點(diǎn)P的坐標(biāo),記作P(x,y,z).向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a+b⑤

(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

減法a-b⑥

(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

數(shù)乘λa(λ∈R)⑦

(λx1,λy1,λz1)

數(shù)量積a·b⑧

x1x2+y1y2+z1z2

設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).5.空間向量的平行、垂直、模及夾角

(1)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則

=⑨

(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

,AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

,

,

.(2)設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式a∥b(a≠0)b=λa(λ∈R)⑩

x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1

a⊥ba·b=0

x1x2+y1y2+z1z1=0

名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式模|a|=

|a|=

夾角cos<a,b>=

cos<a,b>=

續(xù)表

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.e1,e2不共線,則對空間中任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R).

(

?)a,b,2a-b,它們一定是共面的.

(√)因?yàn)?a-b可由a,b線性表示,所以2a-b與a,b一定是共面的.3.若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則x,y,z滿足的條

件是x=y=z=0.

(√)i,j,k是空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的單位向量,并且

=-i+j-k,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1,-1).

(

?)a=(2,-3,1)與向量b=(-4,6,-2)平行.

(√)因?yàn)閎=-2a,所以a∥b.a=(1,-1,2)與向量b=(x,2,-1)垂直,則x=4.

(√)由a·b=0,得x-2-2=0,即x=4.a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a+2b=(8,0,4).

(√)A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量

與

的夾角為60°.

(√)由已知得

=(0,3,3),

=(-1,1,0),所以cos<

,

>=

=

,即<

,

>=60°.

空間向量基本定理

用基底表示向量的步驟(1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間向量的一個基底.(2)找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形和化簡,從而求出結(jié)果.(3)下結(jié)論:利用空間向量的一個基底可以表示出空間中所有向量,且表示要徹底,

表示的結(jié)果中只能含有基向量,不能含有其他的向量.

如圖,四棱錐P-OABC的底面OABC為矩形,PO⊥平面OABC,設(shè)

=a,

=b,

=c,E,F分別是PC和PB的中點(diǎn),試用a,b,c表示向量

,

,

,

.

解析

連接OB,則

=

+

=a+b,∴

=

=

(

-

)=

(c-a-b)=-

a-

b+

c,

=

+

=-a+

=-a+

(

+

)=-a-

b+

c,

=

+

=

+

+

(

+

)=-a+c+

(-c+b)=-a+

b+

c,

=

=

=

a.解析

連接OB,則

=

+

=a+b,∴

=

=

(

-

)=

(c-a-b)=-

a-

b+

c,

=

+

=-a+

=-a+

(

+

)=-a-

b+

c,

=

+

=

+

+

(

+

)=-a+c+

(-c+b)=-a+

b+

c,

=

=

=

a.

空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算用坐標(biāo)表示空間向量的步驟空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)質(zhì)是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的推廣,其運(yùn)算法則僅是在平面向

量運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上增加了豎坐標(biāo)的運(yùn)算.(1)空間向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),等于表示這個空間向量的有向線段的

終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).(2)空間向量進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律是先進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算,再進(jìn)行加法或減法運(yùn)算,最后進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;有括號時,先算括號里的,后算括號外的.(3)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則基本一樣,應(yīng)注意一些

計算公式的應(yīng)用.

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠ACB=90°,AA1=2,N為A1A的中點(diǎn),試建

立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求出向量

,

,

的坐標(biāo).

為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示.

則C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C1(0,0,2),∴

=(1,0,0),

=(0,1,0),

=(0,0,2).∵

=

-

=

+

-

,∴

=

(0,0,2)+(1,0,0)-(0,1,0)=(1,-1,1),故

的坐標(biāo)為(1,-1,1).∵

=

-

=

+

-

,解析

解法一:由題意知CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),

,

,

∴

=(1,0,0)+(0,0,2)-(0,1,0)=(1,-1,2),故

的坐標(biāo)為(1,-1,2).∵

=-

,∴

的坐標(biāo)為(-1,1,-2).解法二:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),

,

,

的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則B(0,1,0),A1(1,0,2),N(1,0,1),∴

=(1,-1,1),

=(1,-1,2),

=(-1,1,-2).故

,

,

的坐標(biāo)分別為(1,-1,1),(1,-1,2),(-1,1,-2).

已知空間中的三點(diǎn)A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),試求:(1)△ABC的面積;(2)△ABC的邊AB上的高.解析

(1)

=(2,-1,5)-(1,2,3)=(1,-3,2),

=(3,2,-5)-(1,2,3)=(2,0,-8),∴

·

=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,|

|=

,|

|=2

,∴cos<

,

>=

=-

,∴sin<

,

>=

,∴S△ABC=

|

||

|sin<

,

>=3

.(2)由(1)可知|

|=

.設(shè)△ABC的邊AB上的高為h,則S△ABC=

|AB|·h=3

,∴h=3

.

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間中的平行、垂直問題的方法

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間中的平行、垂直問題(1)求證:AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)過點(diǎn)B作BM⊥AC1于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)若P,Q分別為線段B1D1,BD上的點(diǎn),且3

=

,是否存在實(shí)數(shù)λ,使

=λ

,且

⊥

?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點(diǎn).解析

如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),{

,

,

}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得E

,G

,H

.(1)證明:

=(1,0,1),

=

,

=

.因?yàn)?/p>

=2

,

·

=1×

+1×

=0,所以

∥

,

⊥

,即AB1∥GE,AB1⊥EH.(2)設(shè)M(x,y,z),則

=(x,y,z),

=(x-1,y,z).又

=(1,1,1),所以由BM⊥AC1,得

·

=0,即x-1+y+z=0.①因?yàn)?/p>

∥

,所以設(shè)

=μ

(μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.②由①②,得μ=

,所以x=

,y=

,z=

.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

.(3)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)λ.設(shè)點(diǎn)P(x1,y1,1),則

=(x1-1,y1,0),

=(-x1,1-y1,0),由3

=

,得

解得

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.設(shè)點(diǎn)Q(x2,y2,0),則

=

,

=(x2,y2-1,0),且

=

,

=(-1,1,0).由

⊥

,得x2-

+y2-

-

=0,③由

=λ

,得

④聯(lián)立③④,無解,即不存在滿足條件的實(shí)數(shù)λ.

(1)確定兩向量的坐標(biāo);(2)利用公式求兩向量的夾角:若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則cos<a,b>=

.(1)空間中兩點(diǎn)間的距離公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=|

|=

=

.(2)向量的模的計算公式:若a=(x,y,z),則|a|=

.

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角、長度1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則向量

和

的夾角為

()

°°

°°解析

以{

,

,

}為單位正交基底,建立空間直角