柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用 【完整版】

柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因?yàn)椋呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解?？挛鞑坏仁皆谧C明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面得到應(yīng)用。一、柯西不等式的各種形式及其證明二維形式在一般形式中，等號(hào)成立條件：擴(kuò)展：等號(hào)成立條件：二維形式的證明：三角形式三角形式的證明：向量形式向量形式的證明：一般形式一般形式的證明：證明：推廣形式(卡爾松不等式)：卡爾松不等式表述為：在m*n矩陣中，各行元素之和的幾何平均數(shù)不小于各列元素之積的幾何平均之和?；蛘撸夯蛘咄茝V形式的證明：推廣形式證法一：或者推廣形式證法二：事實(shí)上涉及平均值不等式都可以用均值不等式來證，這個(gè)不等式并不難，可以簡單證明如下：付：柯西〔Cauchy〕不等式相關(guān)證明方法：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立〔k為常數(shù)，〕現(xiàn)將它的證明介紹如下：證明1：構(gòu)造二次函數(shù)=恒成立即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立證明〔2〕數(shù)學(xué)歸納法〔1〕當(dāng)時(shí)左式=右式=顯然左式=右式當(dāng)時(shí)，右式右式僅當(dāng)即即時(shí)等號(hào)成立故時(shí)不等式成立〔2〕假設(shè)時(shí)，不等式成立即當(dāng)，k為常數(shù)，或時(shí)等號(hào)成立設(shè)那么當(dāng)，k為常數(shù)，或時(shí)等號(hào)成立即時(shí)不等式成立綜合〔1〕〔2〕可知不等式成立二、柯西不等式的應(yīng)用1、巧拆常數(shù)證不等式例1：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。求證：.均為正數(shù)為證結(jié)論正確，只需證：又又互不相等，所以不能取等原不等式成立，證畢。2、求某些特殊函數(shù)最值例2：函數(shù)的定義域?yàn)閇5，9],3、用柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。點(diǎn)及直線設(shè)點(diǎn)p是直線上的任意一點(diǎn)，那么〔1〕〔2〕點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離就是點(diǎn)到直線的距離，求〔2〕式有最小值，有由〔1〕〔2〕得：即〔3〕當(dāng)且僅當(dāng)〔3〕式取等號(hào)即點(diǎn)到直線的距離公式即證明不等式例3正數(shù)滿足證明證明：利用柯西不等式又因?yàn)樵诖瞬坏仁絻蛇呁艘?，再加上得：故解三角形的相關(guān)問題例4設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，那么故不等式成立。求最值例5實(shí)數(shù)滿足，試求的最值解：由柯西不等式得，有即由條件可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，代入時(shí)，時(shí)7、利用柯西不等式解方程例6在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程解：由柯西不等式，得①又即不等式①中只有等號(hào)成立從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得它與聯(lián)立，可得8、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，那么相關(guān)程度越小。現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)記，，那么，，由柯西不等式有，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，為常數(shù)。點(diǎn)均在直線上，當(dāng)時(shí)，即而為常數(shù)。此時(shí)，此時(shí)，，為常數(shù)點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大當(dāng)時(shí)，不具備上述特征，從而，找不到適宜的常數(shù)，使得點(diǎn)都在直線附近。所以，越接近于0，那么相關(guān)程度越小。9、關(guān)于不等式的幾何背景幾何背景：如圖，在三角形中，，那么Q〔c，d〕OP〔a，b〕將以上三式代入余弦定理，并化簡，可得或因?yàn)椋?，，于?柯西不等式的相關(guān)內(nèi)容簡介赫爾德(Holder)不等式當(dāng)時(shí)，即為柯西不等式。因此，赫爾德不等式是柯西不等式更為一般的形式，在分析學(xué)中有著較為廣泛的應(yīng)用。平面三角不等式〔柯西不等式的等價(jià)形式〕可以借助其二維形式來理解，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，很容易驗(yàn)證這一不等式的正確性。該不等式的一般形式稱為閔可夫斯基〔Minkowski〕不等式。它是由閔可夫斯基在對n維空間中的對稱凸幾何體定義了一種“距離”的根底上