四川省宜賓市南溪區(qū)第三初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

四川省宜賓市南溪區(qū)第三初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm32．甲、乙、丙、丁四人通過(guò)抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說(shuō)：“我沒抓到.”乙說(shuō)：“丙抓到了.”丙說(shuō)：“丁抓到了”丁說(shuō)：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說(shuō)了真話，根據(jù)他們的說(shuō)法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．已知為等比數(shù)列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．4．關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③5．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且公比為2，則與的關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．8．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì))，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米9．在中，分別為所對(duì)的邊，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的范圍是（）A． B．C． D．10．已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題:①;②直線與直線所成角為;③過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．11．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．12．已知非零向量滿足，若夾角的余弦值為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______；系數(shù)最大的項(xiàng)是______.14．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．15．在面積為的中，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最大值是______.16．正四面體的各個(gè)點(diǎn)在平面同側(cè)，各點(diǎn)到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長(zhǎng)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.18．（12分）對(duì)于非負(fù)整數(shù)集合（非空），若對(duì)任意，或者，或者，則稱為一個(gè)好集合．以下記為的元素個(gè)數(shù)．（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結(jié)論即可）（2）求出所有滿足的好集合．（同時(shí)說(shuō)明理由）（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若，時(shí)，在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當(dāng)時(shí)，．20．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．求的值；設(shè)的平分線與邊交于點(diǎn)，已知，，求的值.21．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求.22．（10分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：該幾何體上面是長(zhǎng)方體，下面是四棱柱；長(zhǎng)方體的體積，四棱柱的底面是梯形，體積為，因此總的體積.考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.2、A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，假設(shè)甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，丁：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的；假設(shè)甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時(shí),,∴；當(dāng)時(shí),,∴.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí)，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時(shí)，再求值域.【詳解】因?yàn)?，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時(shí)，，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)．

答案：C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

考慮當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，所以時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，則在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.當(dāng)時(shí)，若，則，在上為增函數(shù)；若，則，在上為減函數(shù)；故，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得.又當(dāng)時(shí)，且，故在上存在一個(gè)零點(diǎn).又，其中.令，則，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，所以即.因?yàn)?，所以在上也存在一個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.7、C【解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小，可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛￠L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，屬于容易題.9、D【解析】試題分析：由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn)：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得.10、C【解析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可．【詳解】如圖；連接相關(guān)點(diǎn)的線段，為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，可知，，可知平面，即可證明，所以①正確；直線與直線所成角就是直線與直線所成角為；正確；過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖：是五邊形．所以③不正確；如圖：三棱錐的體積為：由條件易知F是GM中點(diǎn)，所以,而，．所以三棱錐的體積為，④正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中檔題．11、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.12、D【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意，得，即.將代入可得，，解得（舍去）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的常數(shù)項(xiàng)；求出項(xiàng)的系數(shù)，利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；令，令，即，解得，，，因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.14、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①與②的平方和得:|AB||AC|=，又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最大值是為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.16、【解析】

不妨設(shè)點(diǎn)A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)題意F為中點(diǎn)，E為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），設(shè)棱長(zhǎng)為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖所示：由題意得：F為中點(diǎn)，E為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），設(shè)棱長(zhǎng)為a，，頂點(diǎn)D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為，所以，因?yàn)?，所以，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的切割問(wèn)題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運(yùn)算求解的能力，屬于難題，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）根據(jù)條件可得，然后將用，，表示出來(lái)，根據(jù)是一個(gè)整數(shù)，可得結(jié)果．【詳解】解：（1）令，，則即∴，∴成等差數(shù)列，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，假設(shè)成等差數(shù)列，其中，公差為，令，，∴，∴，即，∴成等差數(shù)列，∴數(shù)列是等差數(shù)列；（2），，若存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，則，設(shè)，，∴是一個(gè)整數(shù)，∴，從而又當(dāng)時(shí)，有，綜上，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推關(guān)系得通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，屬于難題．18、（1），，，．（2）；證明見解析．（3）證明見解析．【解析】

（1）根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；（2）設(shè)，其中，由知；由可知或，分別討論兩種情況可的結(jié)果；（3）記，則，設(shè)，由歸納推理可求得，從而得到，從而得到，可知存在元素滿足題意.【詳解】（1），，，．（2）設(shè)，其中，則由題意：，故，即，考慮，可知：，或，若，則考慮，，，則，，但此時(shí)，，不滿足題意；若，此時(shí)，滿足題意，，其中為相異正整數(shù)．（3）記，則，首先，，設(shè)，其中，分別考慮和其他任一元素，由題意可得：也在中，而，，，對(duì)于，考慮，，其和大于，故其差，特別的，，，由，且，，以此類推：，，此時(shí)，故中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍．【點(diǎn)睛】本題考查集合中的新定義問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說(shuō)明，對(duì)于學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.19、（1）（2）見解析【解析】

(1)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在恒成立，分離參數(shù)即可解決.(2)先對(duì)求導(dǎo)，化簡(jiǎn)后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】（1），時(shí)，，，∵在上單調(diào)遞減．∴，．令，，時(shí)，；時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．∴，∴．∴的取值范圍為．（2）若，，時(shí)，，，令，顯然在上為增函數(shù)．又，，∴有唯一零點(diǎn)．且，時(shí)，，；時(shí)，，，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．∴．又，∴，，．∴．，．∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào)，和零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域，屬于較難題目.20、；.【解析】

利用正弦定理化簡(jiǎn)求值即可；利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡(jiǎn)公式，結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，為三角形內(nèi)角，故，，