上海市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷含答案

上海重點(diǎn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一?填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，則__________.2.拋物線過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_________.3.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________.4.若正數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_________.5.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_(kāi)_________.6.已知，且，則__________.7.某學(xué)校擬開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)有四名優(yōu)秀教師將對(duì)三個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組予以指導(dǎo)，若每個(gè)小組至少需要一名指導(dǎo)教師，且每位指導(dǎo)教師都恰好指導(dǎo)一個(gè)小組，則不同的指導(dǎo)方案數(shù)為_(kāi)_________.8.高三年級(jí)某8位同學(xué)的體重分別為（單位：），現(xiàn)在從中任選3位同學(xué)去參加拔河，則選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是__________.9.已知均為單位向量，且，則與的夾角為_(kāi)_________.10.已知曲線，點(diǎn)是曲線上任意兩個(gè)不同點(diǎn)，若，則稱兩點(diǎn)心有靈犀，若始終心有靈犀，則的最小值的正切值__________.11.已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的兩三項(xiàng)是，以此類推，則下列說(shuō)法正確的是__________.①第10個(gè)1出現(xiàn)在第46項(xiàng)；②該數(shù)列的前55項(xiàng)的和是1012；③存在連續(xù)六項(xiàng)之和是3的倍數(shù)；④滿足前項(xiàng)之和為2的整數(shù)冪，且的最小整數(shù)的值為44012.已知函數(shù)的最小值為0，則的值為_(kāi)_________.二?選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行彈鋼琴比賽，現(xiàn)有21位選手報(bào)名參賽，初賽成績(jī)各不相同，取前10名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道21名同學(xué)成績(jī)的（）A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差14.將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再沿軸向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（）A.B.C.D.15.如圖，三棱柱滿足棱長(zhǎng)都相等，且平面是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，隨著增大，平面與底面所成鈍二面角的平面角是（）A.減小B.先減小再增大C.先增大再減小D.增大16.已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.C.D.三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值和單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)角為的三個(gè)內(nèi)角，若，求.18.如圖，在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，設(shè)的面積為，內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)時(shí)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)在上，且直線與相交于點(diǎn)，記的斜率分別為.（i）設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，；（ii）若，當(dāng)最大時(shí)，求四邊形的面積.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）設(shè)分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，記，證明：直線與曲線交于另一點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，判斷是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.參考答案一?填空題1.2.3.4.25.6.27.368.9.10.211.①③④12.二?選擇題13.B14.A15.C16.C三?解答題17.解（1），單調(diào)增區(qū)間（2），或，，且為銳角，，，.18.證：（1）連交于點(diǎn)為中點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，且，且四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面.（2）由（1）知為中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)榈酌?，而底面，所以，則由，得，而平面，且，所以面，又平面，所以平面平面.19.解：由①當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，②①②式相減得，即變形得又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則（2），可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，20.解：（1）由題意得，則，由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，又不能在直線上，的方程為：.（2）（i）（法一）設(shè)，易知直線的方程為，聯(lián)立，得，，即，同理可得，，，欲使，則，即，存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.（法二）設(shè)，易知的斜率不為零，否則與重合，欲使，則將在軸上，又為的中點(diǎn)，則軸，這與過(guò)矛盾，故，同理有，則，可得，易知，且，，即，同理可得，，欲使，則，存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.（ii）由（i）易知，且，，即，同理可得，，，記，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)此時(shí)，且直線和的夾角為，則，不難求得，此時(shí)，易知，且，四邊形的面積為.21.（1）.令得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）得.（i）直線的方程為，即.由得.設(shè)，則.令得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)椋杂星覂H有2個(gè)零點(diǎn)，其中.這表明方程的解集