專題19恒成立問題（知識(shí)梳理精講）原卷版

專題19恒成立問題1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)．當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．例1、（2023下·河南許昌·高二?？计谥校┮阎獙?duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2、（2023下·廣東深圳·高二蛇口育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例3、（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．例4、（2024上·河北·高三石家莊精英中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例5、（2023上·湖南邵陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．例6、（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若存在，使得，則的取值范圍是.例7、（2024上·浙江寧波·高二余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）對(duì)任意，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．例8、（2024上·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考期末）若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是.例9、（2024上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)若恒成立，求的取值范圍.例10．（2024上·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在時(shí)取得極值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例11．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．例12．（2024·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，函數(shù)的極大值為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若對(duì)任意的，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例13．（2024上·重慶·高二重慶一中校考期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，求證：.例14．（2024上·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)討論的