2022中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：開放探究題

2022中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：開放探究題

1.探索并解決問題

(1)【證明體驗(yàn)】如圖1,為A/8C的角平分線，□Z￡)C=60。，點(diǎn)E在線段N8上，

AE=AC,求證：DE平分口/D8；

(2)【思考探究】如圖2,在(1)的條件下，F(xiàn)為Z8上一點(diǎn)，連接FC交于點(diǎn)

G.若FB=FC,求證：DE2=BDDG；

(3)【拓展延伸】如圖3,在四邊形488中，對(duì)角線ZC平分BDA,BCA=

2QDCA,點(diǎn)E在4C上，OEDC=QABC,若8c=5,CD=2石，AD=2AE,求NC的

長.

2.如圖，射線和射線C8相交于點(diǎn)8,ZABC=?(0°<?<180°),且AB=C8,點(diǎn)

。是射線C8上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)。和點(diǎn)8重合)，作射線40,并在射線上取

一點(diǎn)、E,使ZAEC=a,連接CE,BE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，。=60。時(shí)，在4。上截取AF=CE,連接8尸，證

明：AABF^ACBE,請(qǐng)求NAE8的度數(shù)，探求線段4￡,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，a=90。時(shí)，請(qǐng)寫出4E8的度數(shù)，探求線段/E,

BE,"之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上，。=120。時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段/E,BE,CE之間的數(shù)

量關(guān)系.

3.（1）觀察與發(fā)現(xiàn)

小明將三角形紙片"C（A8>AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在A8邊上，折痕

為AO,展開紙片（如圖口）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)。重合，折痕為

EF,AZ）與E尸相交于點(diǎn)。，展平紙片后得到產(chǎn)（如圖口）.小明認(rèn)為AAEF是等

腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）實(shí)踐與運(yùn)用

將長方形紙片A8C。沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為8E

（如圖U）;再沿過點(diǎn)￡的直線折疊，使點(diǎn)落。在8E上的點(diǎn)以處，折痕為EG（如圖

□）；再展平紙片（如圖口）.求圖□中Na的大小.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在y軸正半軸上，點(diǎn)8在x軸負(fù)半軸上，8P平分

QABO.

（1）如圖1,點(diǎn)T在比1延長線上，若NP平分口00,求QP的度數(shù)；

（2）如圖2,點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，□/8C=2EUC5,且P在ZC的垂直平分線

上.

□求證：APHBC；

□。是上一點(diǎn)，E是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接4E交。P于".當(dāng)口?！薄芭c口/8E滿

足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，。尸=”￡.給出結(jié)論并說明理由.

5.如圖1：在四邊形A8CD中，AB=AD,口8/。=120。，JB=ADC^90°,E、F分

別是8C,CZ)上的點(diǎn)，且□以尸=60。，探究圖中線段BE,EF,ED之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長尸。到點(diǎn)G,使DG=BE,連接/G,先證

明□/BEDWOG,再證明AGF,即可得出BE,EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系，他

的結(jié)論應(yīng)是.

像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾

何模型稱為半角模型.

拓展

(2)如圖2,若在四邊形/BCD中，AB=AD,□￡+□7)=180°,E、F分別是8C,CD

上的點(diǎn)，且□瓦4尸口夕/。，則BE,EF,ED之間的數(shù)量關(guān)系是.請(qǐng)證明你

的結(jié)論.

實(shí)際應(yīng)用

(3)如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30。的/處，艦

艇乙在指揮中心南偏東70。的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令

后，艦艇甲向正東方向以60海里〃J、時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80

海里小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,尸處，

且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答

案）.

6.（1）認(rèn)識(shí)模型：

如圖1,等腰直角三角形A8C中，ZACB=9O°,CB=CA,直線功經(jīng)過點(diǎn)C,過A

作A￡>_LE￡>于￡>,過8作5E_LE￡）于E.若。C=2.貝|JB￡=.

（2）應(yīng)用模型：

□已知直線y=-2x+4與y軸交于A點(diǎn)，與X軸交于B點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線BC垂直A8于

B,且A3=8C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

□如圖3,矩形A8CO,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（5,4）,A,C分別在坐標(biāo)軸

上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)。在第一象限，且是直線y=2x-3上的一點(diǎn).若

△4QP是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo).

如圖1,口力CB和口。CE均為等邊三角形，當(dāng)口。。￡旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)4D,E在同一直線

上,連接BE.則:

□□4E8的度數(shù)為°；

口線段N。、5E之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)拓展研究：

如圖2,0/CB和nOCE均為等腰三角形，且□/CB=n￡)CE=90。，點(diǎn)A,D、E在同

一直線上，若4E=30,DE=14,求的長度.

(3)探究發(fā)現(xiàn)：

圖1中的口/喜和UDCE,在口。CE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)4D,￡不在同一直線上時(shí)，

設(shè)直線工。與8E相交于點(diǎn)0,試在備用圖中探索口2?！甑亩葦?shù)，直接寫出結(jié)果，不必

說明理由.

8.如圖，在AA3C中，AB=AC,ZBAC=9Q°,

圖1圖3

(1)如圖1,3。平分48c交AC于點(diǎn)。，尸為BC上一點(diǎn)，連接四交80于點(diǎn)E.

(i)若AB=BF,求證：8。垂直平分AF；

(ii)若AF_LM,求證：AD=CF.

(2)如圖2,80平分ZABC交AC于點(diǎn)O,CEA.BD,垂足后在。。的延長線上，試

判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,尸為BC上一點(diǎn)，/EFcJ/B,CEVEF,垂足為E,EF與AC交

2

于點(diǎn)。，寫出線段CE和尸。的數(shù)量關(guān)系.(不要求寫出過程)

9.已知□ACD=90。，AC=DC,MN是過點(diǎn)A的直線，過點(diǎn)D作DBDMN于B,連接

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖c,過點(diǎn)C作CEDCB,與MN交于點(diǎn)E,則容易發(fā)現(xiàn)BD與EA

之間的數(shù)量關(guān)系為,BD,AB,CB之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)拓展探究：當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖□的位置時(shí)，試猜想線段BD,AB,CBN

間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)解決問題：當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖「的位置時(shí)(點(diǎn)C,D在直線MN的兩

側(cè))，若此時(shí)口8?D=30。，BD=2,則CB=

10.如圖，在A/IBC中，AB=AC,AD，BC于點(diǎn)D.點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F為BE

延長線上一點(diǎn)，且AF=AC.

(1)如圖1,若ZFBC=/BAC=30。.

□判斷ABAF的形狀，并證明；

□若AE=(G+1)BE,貝1］其=_____.(直接寫出結(jié)果)

\'DE

(2)如圖2,若ZFBC=45。，作AG_LBF于G,求證：EF=BE+2AG.

BDCBDC

圖1圖2

11.如圖1,一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與X軸交于點(diǎn)8,過點(diǎn)8作

線段3CLAB且8c=A8,直線AC交x軸于點(diǎn)￡).

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為;

(2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若點(diǎn)尸是圖1中直線AC上的一點(diǎn)，連接OP,得到圖2.當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，且到

x軸，曠軸的距離相等時(shí)，求出AAOP的面積；

(4)若點(diǎn)。是圖1中坐標(biāo)平面內(nèi)不同于點(diǎn)8、點(diǎn)C的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)C,D,Q為頂點(diǎn)

的三角形與△38全等時(shí)，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

12.已知如圖，在等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,H是線段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)

是射線A”上一點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)F在線段A"上時(shí)，求證：ZABF=ZACF.

(2)如圖2,當(dāng)F在A4的延長線上時(shí)，E是A3上一點(diǎn)，連接EF,EC,若

BF=EF,求線段AE,A8,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)G在AC上，連接BG,若

ZECG=2ZGBC,AE=10,AG=8,求CF的長.

13.如圖1所示，D,E,產(chǎn)分別是AABC的三邊AB,BC和AC上的點(diǎn)，若

Z1=Z2,N3=N4,N5=N6,則稱△。所為AABC的反射三角形.

(1)如圖2所示，若AMC是等邊三角形，猜想其反射三角形的形狀，并畫出圖形.

(2)如圖3所示，若尸是AABC的反射三角形，AB=AC,NA=50。，求ADEF

各個(gè)角的度數(shù).

(3)利用圖1探究:

04ABe的三個(gè)內(nèi)角與其反射三角形DEF的對(duì)應(yīng)角(如ZDEF與ZA)之間的數(shù)量關(guān)

系.

□在直角三角形和鈍角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，說出其反射三角

形的形狀；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

14.正方形ABC。和等腰'共頂點(diǎn)。，ZDEF=90°,DE=EF,將△￡史尸繞

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，若AO=2,求AE的長；

(2)如圖2,“為所中點(diǎn)，連接40、ME,探究A"、ME的關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)條件下，連接。M并延長交5C于點(diǎn)0,若A￡>=2￡>E=2,在旋

轉(zhuǎn)過程中，C。的最小值為

15.問題：如圖1,在必AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)（不

與點(diǎn)B.C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC.

(1)求證：△A3。烏△ACE；

(2)探索：如圖2,在與及zMOE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,

AD=AE,將史繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段4加、BD、

C》之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)應(yīng)用：如圖3,在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若

BD=6,CD=2,求AD的長.

16.我們定義：如圖1,在AABC中，把A8繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)研0°＜。＜180。）得到

A*,把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕得到AC',連接8’把.當(dāng)。+尸=180。時(shí)，我們稱

VA'B-C是AABC的“旋補(bǔ)三角形"，VA'B'C邊BC'上的中線叫做AABC的“旋補(bǔ)中

線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

特例感知：（1）在圖2,圖3中，VATTC是AABC的“旋補(bǔ)三角形"，AD是AABC的

“旋補(bǔ)中線

:如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，AD與8C的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；

如圖3,當(dāng)N8AC=90°,BC=8時(shí)，則AD長為.

猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)AABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與8c的數(shù)量關(guān)系，并

給予證明.

17.綜合與實(shí)踐

將矩形ABC。和RtZXCEF按如圖1的方式放置，已知點(diǎn)。在CP上（CF>2CD）,

ZFCE=90°,連接8F,DE.

（1）如圖1,當(dāng)45=8,CE=CF時(shí)，線段班■與OE之間的數(shù)量關(guān)系是

直線BF與直線OE之間的位置關(guān)系是

（2）在（1）條件下中，將矩形A8CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，試判斷（1）中結(jié)

論是否仍然成立，并說明理由;

探究發(fā)現(xiàn)

（3）如圖3,當(dāng)CF=2CE,C8=2C。時(shí)，試判斷線段8尸與OE之間的數(shù)量關(guān)系和直

線M與直線￡>￡之間的位置關(guān)系，并說明理由;

知識(shí)應(yīng)用

（4）如圖4,在（3）的條件下，連接8E,FD,若CE=2CD=2,請(qǐng)直接寫出

3爐+電>2的值.

18.【感知】如圖口，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重

合），ZA=ZB=ZDPC=90°.易證：ADAP□APBC.

【探究】如圖門，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），

NA=ZB=ZDPC.

（1）求證：ADAPJAPBC；

（2）若PD=4,PC=8,BC=6,求AP的長.

【應(yīng)用】如圖口，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)

A、B