數(shù)學分析試題庫-計算題、解答題-答案解析

./數(shù)學分析題庫〔1-22章四．計算題、解答題求下列極限解：１.２．３．４.這是型,而故原極限＝56因,故原極限＝.7．用洛必達法則8.9.;解法1：解法2：10．解 因,〔3分故原式=求下列函數(shù)的導數(shù)解11121314.15161718.19．；20.求下列函數(shù)的高階微分：設,求解因為所以所以21.解：22.解：令,兩邊對兩邊對求導有,兩邊對求導有23.求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)解法1：由含參量方程的求導法則有求即求參量方程的導數(shù)解法2：由含參量方程的求導法則有求即求參量方程的導數(shù)24．設,試求.解基本初等函數(shù)導數(shù)公式,有,應用萊布尼茲公式〔得.25．試求由擺線方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù).解.求到項的帶佩亞諾型余項的麥克勞林公式.解因為,所以到項的帶佩亞諾型余項的麥克勞林公式為.27．－２<－2,－1>－１<－1,0>０－０＋不存在＋０－遞減,凹極小值－３遞增,凹遞增,凹極大值１遞減,凹28．解〔1,故對任意正整數(shù)m,在連續(xù).〔2,故當時,在可導.〔3先計算的導函數(shù).,由〔2知,,于是當時,有,所以當時,在連續(xù).29．解因為,故當時,,不滿足柯西中值定理的條件,所以在區(qū)間[-1,1]上不能用柯西中值定理.30．證明〔1對任何,有,故是極小值點.〔2當時,有,作數(shù)列,,則,.即在的任何右鄰域內(nèi),既有數(shù)列中的點,也有數(shù)列中的點.并且,,所以在內(nèi)的符號是變化的,從而不滿足極值的第一充分條件.又因為,,所以用極值的第二充分條件也不能確定的極值.31．答：能推出在內(nèi)連續(xù).證明如下：,取,于是,由題設,在上連續(xù),從而在連續(xù).由的任意性知,在內(nèi)連續(xù).32.試求函數(shù)在上的最值和極值.解在閉區(qū)間上連續(xù),故必存在最大最小值.令,得穩(wěn)定點為.又因故在處不可導.列表如下不存在00遞減極小值遞增極大值遞減極小值遞增所以和為極小值點,極小值分別為和,為極大值點,極大值為.又在端點處有,,所以函數(shù)在處取最小值,在處取最大值.33.求函數(shù)在上的最大最小值：解：令令解得函數(shù)在的穩(wěn)定點為,而,所以函數(shù)在的最大值和最小值分別為.34.確定函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點:解：令解得,當時,,從而區(qū)間為函數(shù)的凹區(qū)間,當時,,從而區(qū)間為函數(shù)的凸區(qū)間.并且,所以為曲線的拐點.35.設,則是有理數(shù)列.點集非空有界,但在有理數(shù)集內(nèi)無上確界.數(shù)列遞增有上界,但在有理數(shù)集內(nèi)無極限.36.設,則是有理數(shù)列.點集有界無限,但在有理數(shù)集內(nèi)無不存在聚點.數(shù)列滿足柯西準則,但在有理數(shù)集內(nèi)不存在極限.37.不能從中選出有限個開區(qū)間覆蓋.因為中任意有限個開區(qū)間,設其中左端點最小的為,則當時,這有限個開區(qū)間不能覆蓋.38.39.令,則40.41.42.令,則有,43.令,則有,.44..45..46..47..其中和式是函數(shù)在上的一個積分和,所以.48..于是.49.以平面截橢球面,得一橢圓.所以截面積函數(shù)為.于是橢球面的體積.50.化橢圓為參數(shù)方程:.于是橢圓所圍的面積為.51.,于是所求擺線的弧長為.52.根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積公式可得所求旋轉(zhuǎn)曲面的面積為.53.因為.于是無窮積分收斂,其值為.54.因為于是無窮積分收斂,其值為.55.因為,從而級數(shù)的部分和為.于是該級數(shù)收斂,其和為.56.因為,且級數(shù)收斂,所以級數(shù)收斂.57.因為,由根式判別法知級數(shù)收斂.58.因為,且級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)不絕對收斂.但單調(diào)遞減,且,由萊布尼茨判別法知級數(shù)條件收斂.59.因為,當時,,于是.所以級數(shù)的部分和數(shù)列當時有界,從而由狄利克雷判別法知級數(shù)收斂;同法可證級數(shù)在上收斂.又因為,級數(shù)發(fā)散,收斂,于是級數(shù)發(fā)散,由比較判別法知級數(shù)發(fā)散.所以級數(shù)在條件收斂.60.判斷函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性.解記.則有ⅰ>級數(shù)收斂;ⅱ>對每個,↗；ⅲ>對和成立.由Abel判別法,在區(qū)間上一致收斂.61.,.討論函數(shù)列{}的一致收斂性.解0,.|―0|.可求得.函數(shù)列{}在區(qū)間上非一致收斂.62.函數(shù)列在上是否一致收斂？解：由于,故.當時,只要,就有,故在上有.于是函數(shù)列〔8在上的極限函數(shù),又由于,所以函數(shù)列〔8在[0,1]上不一致收斂.63.在R內(nèi)是否一致收斂？解顯然有,在點處取得極大值,.由系2,不一致收斂.64.函數(shù)列在上是否一致收斂？解時,只要,就有.因此,在上有.,.于是,在上有.但由于,,因此,該函數(shù)列在上不一致收斂.65.求冪級數(shù)的收斂域.解是缺項冪級數(shù)..收斂區(qū)間為.時,通項.因此,該冪級數(shù)的收斂域為.66.計算積分,精確到.解.因此,.上式最后是Leibniz型級數(shù),其余和的絕對值不超過余和首項的絕對值.為使,可取.故從第項到第項這前7項之和達到要求的精度.于是.67.把函數(shù)展開成的冪級數(shù).解,.而,.68.求冪級數(shù)的和函數(shù).解法一收斂域為,設和函數(shù)為,則有.因此,=,.解法二,.69.展開函數(shù).解.70.在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)〔i〔ii解〔1〔i函數(shù)及其周期延拓后的圖象所示.顯然是按段光滑的,故由收斂定理知它可以展開成傅里葉級數(shù).由于.當時,有所以在區(qū)間上〔ii函數(shù)及其周期延拓后的圖象所示.顯然是按段光滑的,故由收斂定理知它可以展開成傅里葉級數(shù).由于.當時,.所以在區(qū)間上.71.設是以為周期的分段連續(xù)函數(shù),又設是奇函數(shù)且滿足試求的Fourier系數(shù)的值,.解由是奇函數(shù),故是偶函數(shù),再由,故有.作變換,則.所以,,72.設以為周期,在區(qū)間內(nèi),試求的Fourier級數(shù)展開式。解由Fourier系數(shù)的計算公式,.又滿足Fourier級數(shù)收斂的Dirichlet條件,故.73.設,求在內(nèi)的以為周期的Fourier級數(shù)展開式.解注意到是奇函數(shù),故的Fourier系數(shù).因此.由在內(nèi)分段單調(diào),連續(xù),且故在內(nèi).74.設是以為周期的連續(xù)函數(shù),其Fourier系數(shù)為.試用表示函數(shù)的Fourier系數(shù)解由Fourier系數(shù)的計算公式,75.試求極限解.76.試求極限解由.77.試求極限解由于,又,所以,,所以.78.試討論解當點沿直線趨于原點時,.當點沿拋物線線趨于原點時,.因為二者不等,所以極限不存在.79.試求極限解由=.80.,有連續(xù)的偏導數(shù),求解令則81.求解由.82.求拋物面在點處的切平面方程與法線方程。解由于,在處,所以,切平面方程為.即法線方程為.83.求在處的泰勒公式.解由.得.84.求函數(shù)的極值.解由于解得駐點,所以是極小值點,極小值為85.敘述隱函數(shù)的定義.答:設,,函數(shù)對于方程,若存在集合與,使得對于任何,恒有唯一確定的,使得滿足方程,則稱由方程確定了一個定義在上,值域含于的隱函數(shù)。一般可記為且成立恒等式86.敘述隱函數(shù)存在唯一性定理的內(nèi)容.答:若滿足下列條件:〔i函數(shù)F在以為內(nèi)點的某一區(qū)域上連續(xù);〔ii〔通常稱為初始條件;〔iii在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù);〔iv0,則在點的某鄰域內(nèi),方程=0唯一地確定了一個定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)〔隱函數(shù),使得1o,時且；2°在內(nèi)連續(xù).87.敘述隱函數(shù)可微性定理的內(nèi)容.答:若滿足下列條件:〔i函數(shù)F在以為內(nèi)點的某一區(qū)域上連續(xù);〔ii〔通常稱為初始條件;〔iii在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù);〔iv0,又設在D內(nèi)還存在連續(xù)的偏導數(shù),則由方程所確定的隱函數(shù)在在其定義域內(nèi)有連續(xù)導函數(shù),且88.利用隱函數(shù)說明反函數(shù)的存在性及其導數(shù).答:設在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導函數(shù),且;考慮方程由于,,所以只要,就能滿足隱函數(shù)定理的所有條件,這時方程能確定出在的某鄰域內(nèi)的連續(xù)可微隱函數(shù),并稱它為函數(shù)的反函數(shù).反函數(shù)的導數(shù)是89.解:顯然及在平面上任一點都連續(xù),由隱函數(shù)定理知道,在使得的點附近,方程都能確定隱函數(shù)；所以,它的一階與二階導數(shù)如下：對方程求關(guān)于的導數(shù)〔其中是的函數(shù)并以3除之,得,或〔1于是〔2再對〔1式求導,得：即〔3把〔2式代入〔3式的右邊,得再利用方程就得到90.解:由于處處連續(xù),根據(jù)隱函數(shù)定理18.3,在原點附近能惟一確定連續(xù)可微得隱函數(shù),且可求得它得偏導數(shù)如下：91.解:<1>令,則有.由于均連續(xù),且,故在點附近由上述方程能確定隱函數(shù)和.<2>當時,由定理知;同理,當時,由定理知.于是求得并且有,.92.解:首先,即滿足初始條件.再求出F,G的所有一階偏導數(shù)容易驗算,在點處的所有六個雅可比行列式中只有因此,只有難以肯定能否作為以為自變量的隱函數(shù).除此之外,在的近旁任何兩個變量都可作為以其余兩個變量為自變量的隱函數(shù).如果我們想求得的偏導數(shù),只需對方程組分別關(guān)于求偏導數(shù),得到〔1〔2由〔1解出由〔2解出93.解:設,.<1>關(guān)于的雅可比行列式是,當時,在滿足方程組的任何一點的一個鄰域內(nèi),由方程組可以唯一確定是的可微函數(shù);<2>關(guān)于的雅可比行列式是,當時,在滿足方程組的任何一點的一個鄰域內(nèi),由方程組可以唯一確定是的可微函數(shù).94.解:設,.它們在處的偏導數(shù)和雅可比行列式之值為：和,,.所以曲線在處的切線方程為：,即法平面方程為,即.95.解:令,則,故,因此曲面在點處的法向量為,所求切平面方程為,即.法線方程為即96.解:這個問題實質(zhì)上就是要求函數(shù)〔空間點到原點的距離函數(shù)的平方在條件及下的最大、最小值問題.應用拉格朗日乘數(shù)法,令.對求一階偏導數(shù),并令它們都等于0,則有求得這方程組的解為與〔1〔1就是拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點,且所求的條件極值點必在其中取得.由于所求問題存在最大值與最小值〔因為函數(shù)在有界閉集上連續(xù),從而必存在最大值與最小值,故由所求得的兩個值,正是該橢圓到原點的最長距離與最短距離.97.敘述含參量的正常積分定義.答:用積分形式所定義的這兩個函數(shù)〔1與,〔2通稱為定義在上含參量的〔正常積分,或簡稱含參量積分.〔1式的意義如下：設是定義在矩形區(qū)域上的二元函數(shù)。當取上某定值時,函數(shù)則是定義在上以y為自變量的一元函數(shù).倘若這時在可積,則其積分值是在上取值的函數(shù),記它為,就有.〔2式的意義如下：一般地,設為定義在區(qū)域上的二元函數(shù),其中為定義在上的連續(xù)函數(shù),若對于上每一固定的值,作為的函數(shù)在閉區(qū)間上可積,則其積分值是在上取值的函數(shù),記作時,就有98.敘述含參量的正常積分的連續(xù)性定理的內(nèi)容.答:設二元函數(shù)在區(qū)域上連續(xù),其中為上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù)〔6在上連續(xù).99.敘述含參量的無窮限反常積分定義.答:設二元函數(shù)定義在無界區(qū)域上,若對于上每一固定的值,反常積分<1>都收斂,則它的值是在上取值的函數(shù),當記這個函數(shù)為時,則有,稱<1>式為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡稱含參量反常積分.100.敘述含參量的無窮限反常積分的一致收斂性定義.答:若含參量反常積分與函數(shù)對任給的正數(shù),總存在某一實數(shù)使得當時,對一切,都有即則稱含參量反常積分在上一致收斂于,或簡單地說含參量積分在上一致收斂.101.敘述含參量的無窮限反常積分的一致收斂的柯西收斂準則.答:含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對任給正數(shù),總存在某一實數(shù),使得當時,對一切,都有.102.敘述含參量反常積分一致收斂的狄利克雷判別法.答:設對一切實數(shù)N>c,含參量正常積分對參量在上一致有界,即存在正數(shù)M,對一切N>c及一切,都有對每一個,函數(shù)關(guān)于y是單調(diào)遞減且當時,對參量一致地收斂于0.則含參量反常積分在上一致收斂．103.敘述含參量反常積分一致收斂的阿貝爾判別法.答:設在上一致收斂；對每一個,函數(shù)為的單調(diào)函數(shù),且對參量,在上一致有界,則含參量反常積分在上一致收斂。104.敘述含參量反常積分的可積性定理內(nèi)容.答:設在上連續(xù),若在上一致收斂,則在上可積,且設在上連續(xù).若關(guān)于在任何閉區(qū)間上一致收斂,關(guān)于在任何區(qū)間上一致收斂；積分〔18中有一個收斂,則〔18中另一個積分也收斂,且105.解:因為所以由于函數(shù)在上滿足定理的條件,所以交換積分順序得到106.解:因為,所以該積分是正常積分.交換積分次序,得.在上面的內(nèi)層積分中作變換,有,于是.解法二:取為參量,利用積分號下求導數(shù)的方法,有積分上式,可得由于,即有,于是有.107.解:因為,所以〔21由于及反常積分收斂,根據(jù)魏爾斯特拉斯M判別法,含參量反常積分在上一致收斂.由于在上連續(xù),根據(jù)定理19.11交換積分〔21的順序,積分I的值不變.于是在上述證明中,令,則有,<22>由阿貝耳判別