趙樹嫄微積分第四版定積分

$number{01}趙樹嫄微積分第四版定積分2024-01-25目錄定積分基本概念與性質(zhì)定積分計(jì)算方法與技巧廣義定積分及其應(yīng)用定積分在幾何學(xué)中應(yīng)用定積分在物理學(xué)中應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用01定積分基本概念與性質(zhì)定積分的定義定積分是函數(shù)在某一區(qū)間上的積分，表示函數(shù)圖像與x軸所圍成的面積。定積分的幾何意義定積分的幾何意義可以理解為在平面直角坐標(biāo)系中，由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b以及x軸所圍成的圖形的面積。定積分定義及幾何意義函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上可積。定積分具有線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式性質(zhì)等。可積條件與性質(zhì)可積性質(zhì)可積條件定積分與不定積分關(guān)系聯(lián)系定積分與不定積分都是微積分學(xué)的重要部分，它們之間有著密切的聯(lián)系。不定積分是定積分的基礎(chǔ)，而定積分則是不定積分的拓展和應(yīng)用。區(qū)別不定積分是一個(gè)函數(shù)族，其結(jié)果是一個(gè)原函數(shù)族，而定積分是一個(gè)具體的數(shù)值，表示函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的面積。此外，不定積分的計(jì)算通常比定積分更為復(fù)雜。02定積分計(jì)算方法與技巧123牛頓-萊布尼茲公式應(yīng)用驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果為確保計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，可以使用其他方法（如數(shù)值計(jì)算）進(jìn)行驗(yàn)證。確定被積函數(shù)的原函數(shù)通過求導(dǎo)法則和積分表，找到被積函數(shù)的原函數(shù)。計(jì)算定積分的值在原函數(shù)的表達(dá)式中，分別代入積分的上限和下限，然后相減，即可得到定積分的值。計(jì)算新積分的值選擇適當(dāng)?shù)膿Q元變量進(jìn)行變量替換換元法求解定積分對(duì)新得到的積分表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，得到定積分的值。根據(jù)被積函數(shù)的特性，選擇一個(gè)合適的變量進(jìn)行換元，以簡化積分過程。將原積分中的變量替換為新選擇的變量，同時(shí)調(diào)整積分的上下限。確定被積函數(shù)的乘積形式將被積函數(shù)表示為兩個(gè)函數(shù)的乘積形式。選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行分部積分根據(jù)乘積形式的特性，選擇一個(gè)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，另一個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。重復(fù)應(yīng)用分部積分法如果一次分部積分無法解決問題，可以多次應(yīng)用分部積分法，直到得到可以求解的表達(dá)式為止。分部積分法求解定積分03020103廣義定積分及其應(yīng)用廣義定積分的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、可加性、保序性、絕對(duì)可積性等。廣義定積分的收斂與發(fā)散當(dāng)函數(shù)在積分區(qū)間上的無界點(diǎn)或間斷點(diǎn)導(dǎo)致的積分值無限大時(shí)，稱廣義定積分發(fā)散；否則，稱廣義定積分收斂。廣義定積分的定義當(dāng)函數(shù)在積分區(qū)間上存在無界點(diǎn)或間斷點(diǎn)時(shí)，通過取極限的方式定義的定積分。廣義定積分概念及性質(zhì)03典型無界函數(shù)的廣義定積分如1/x在[1,+∞)上的廣義定積分、sinx/x在(-∞,+∞)上的廣義定積分等。01無界函數(shù)的分類包括在有限區(qū)間內(nèi)無界的函數(shù)和在無限區(qū)間內(nèi)無界的函數(shù)。02無界函數(shù)廣義定積分的計(jì)算方法通過分割積分區(qū)間、取極限的方式計(jì)算無界函數(shù)的廣義定積分。無界函數(shù)廣義定積分計(jì)算物理學(xué)中的應(yīng)用如計(jì)算質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的路程、求解變力做功等問題。工程學(xué)中的應(yīng)用如計(jì)算曲線形構(gòu)件的面積、體積、重心等問題，以及求解某些微分方程等問題。其他領(lǐng)域的應(yīng)用如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析、概率論中的期望和方差計(jì)算等。廣義定積分在物理和工程領(lǐng)域應(yīng)用04定積分在幾何學(xué)中應(yīng)用不規(guī)則圖形面積計(jì)算對(duì)于不規(guī)則圖形，可以通過將其劃分為多個(gè)小矩形或梯形，然后對(duì)每個(gè)小圖形進(jìn)行定積分，最后求和得到整個(gè)圖形的面積。由參數(shù)方程確定的圖形面積計(jì)算對(duì)于由參數(shù)方程確定的圖形，可以通過求解參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的定積分來計(jì)算其面積。規(guī)則圖形面積計(jì)算通過定積分可以計(jì)算矩形、三角形、梯形等規(guī)則圖形的面積。平面圖形面積計(jì)算01通過定積分可以計(jì)算由平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算02對(duì)于平行截面面積為已知的立體，可以通過求解對(duì)應(yīng)的定積分來計(jì)算其體積。平行截面面積為已知的立體體積計(jì)算03對(duì)于由參數(shù)方程確定的立體，可以通過求解參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的定積分來計(jì)算其體積。由參數(shù)方程確定的立體體積計(jì)算空間立體體積計(jì)算平面曲線弧長計(jì)算曲線弧長計(jì)算通過定積分可以計(jì)算平面曲線的弧長，需要知道曲線的方程和對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍?？臻g曲線弧長計(jì)算對(duì)于空間曲線，可以通過求解其投影到某平面的曲線的定積分來計(jì)算其弧長。對(duì)于由參數(shù)方程確定的曲線，可以通過求解參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的定積分來計(jì)算其弧長。由參數(shù)方程確定的曲線弧長計(jì)算05定積分在物理學(xué)中應(yīng)用變力做功的基本公式通過定積分求解變力在某一路徑上所做的功，公式為$W=int_{a}^vec{F}cdotdvec{r}$。路徑無關(guān)性在某些特殊情況下，變力做功與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，此時(shí)可用定積分簡化計(jì)算。求解方法將變力做功問題轉(zhuǎn)化為定積分問題，通過求解定積分得到變力所做的功。變力做功問題求解液體對(duì)容器底部的靜壓力可通過定積分求解，公式為$P=int_{a}^rhogh,dh$，其中$rho$為液體密度，$g$為重力加速度，$h$為液體深度。液體靜壓力公式根據(jù)液體靜壓力公式，將問題轉(zhuǎn)化為定積分問題，通過求解定積分得到液體對(duì)容器底部的靜壓力。求解方法液體靜壓力問題求解熱傳導(dǎo)問題磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算其他物理問題中定積分應(yīng)用在電場(chǎng)中，通過定積分可以計(jì)算某一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。在熱傳導(dǎo)過程中，通過定積分可以計(jì)算某一物體內(nèi)部的溫度分布。在磁場(chǎng)中，通過定積分可以計(jì)算某一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。06定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用由邊際函數(shù)求原函數(shù)方法常數(shù)項(xiàng)通?？梢酝ㄟ^已知條件（如某一點(diǎn)的函數(shù)值）來確定。確定常數(shù)項(xiàng)邊際函數(shù)通常表示某一經(jīng)濟(jì)量相對(duì)于另一經(jīng)濟(jì)量的變化率，如邊際成本、邊際收益等。確定邊際函數(shù)的表達(dá)式根據(jù)微積分基本定理，對(duì)邊際函數(shù)進(jìn)行不定積分可以得到原函數(shù)的表達(dá)式，同時(shí)需要確定一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。對(duì)邊際函數(shù)進(jìn)行不定積分與求原函數(shù)方法類似，首先需要確定邊際函數(shù)的表達(dá)式。寫出邊際函數(shù)的表達(dá)式令邊際函數(shù)等于零判斷極值點(diǎn)的性質(zhì)根據(jù)微積分中極值定理，函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零。因此，令邊際函數(shù)等于零可以求出可能的極值點(diǎn)。通過二階導(dǎo)數(shù)測(cè)試或其他方法判斷極值點(diǎn)的性質(zhì)（最大值、最小值或鞍點(diǎn)）。由邊際函數(shù)求最值方法計(jì)算總收益和總成本在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總收益和總成本可以通過對(duì)價(jià)格函數(shù)和成本函數(shù)進(jìn)行定積