2021屆高中數(shù)學(xué)綜合、交匯習(xí)題集23

《2021屆高中數(shù)學(xué)綜合、交匯習(xí)題集30篇》

在這套習(xí)題中，我們僅僅關(guān)注高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的跨界組合、綜合交匯的

考查。它們也許是數(shù)列與函數(shù)的交匯、也許是函數(shù)與幾何的交匯、也許統(tǒng)計(jì)與

圓錐曲線的交匯、也可能是基本不等式與解三角形的交匯……

第23篇

1

1.(多選)設(shè)O，4，B是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若OC—OA+”08(〃=1,2,3),則下列選項(xiàng)正確的

是()

A.點(diǎn)G，c2,C3在同一直線上B.==

C.0C1?OB<OC2.OB<OC3,OBD.0C1,0A<0C?,0A<0C^,0A

2.(多選)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，由A,B,C,。四點(diǎn)所確定的〃N型函數(shù)〃指的是三次函數(shù)

f(x)^axi+bx2+cx+d(a^O),其圖象過A，O兩點(diǎn)，且/(x)的圖像在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)B,

在點(diǎn)O處的切線經(jīng)過點(diǎn)C.若將由4(0,0),8(1,4),C(3,2),。(4,0)四點(diǎn)所確定的"N型函數(shù)"記為

y=”x)，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.曲線y=f(x)在點(diǎn)D處的切線方程為y=-2x+8

B./(x)=1x(x-4)(x-8)

8

C.曲線y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱

D.當(dāng)44xW6時(shí)，/(x)>0

3.“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中學(xué)開展暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，

學(xué)生通過測(cè)量繪制出月牙泉的平面圖，如圖所示.圖中，圓弧QHT是一個(gè)以。點(diǎn)為圓心、QT為直徑的半圓,

QT=60G米.圓弧QST的圓心為p點(diǎn)，尸。=60米，圓弧QRT與圓弧QST所圍成的陰影部分為月牙

泉的形狀，則該月牙泉的面積為平方米.

Q

4.假設(shè)蘇州肯帝亞球從在某賽季的任一場(chǎng)比賽中輸球的概率都等于P,其中0<夕<1,且各場(chǎng)比賽互不

影響.令X表示連續(xù)9場(chǎng)比賽中出現(xiàn)輸球的場(chǎng)數(shù)，且令P*代表9場(chǎng)比賽中恰有人場(chǎng)出現(xiàn)輸球的概率

P(X=Z).已知〃+〃45,則該球隊(duì)在這連續(xù)9場(chǎng)比賽中出現(xiàn)輸球場(chǎng)數(shù)的期望為.

45=。"6---------------

2

5.(多選)若〃x)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)4，。都有〃a+與=/(a)/e)且/⑴=2,則下列判斷正確的

有()

A./(X)是奇函數(shù)

B./(無)在定義域上單調(diào)遞增

C.當(dāng)xe(O,+8)時(shí)，函數(shù)

D.fm+./I￡l+￡(6)+...-/(2016)+./(2018)+./(2020)_

'/(I)/(3)*5)/(2015)/(2017)/(2019)

22

6.定義運(yùn)算"(g)",(x,yeR,孫HO).當(dāng)x>0,y>0時(shí)，x?y+(2y)8x的最小

值為______

7.設(shè)ae，oo,l],b&R,g(x)=G?-x,xe[-l,l],則g(x)的值域是，函數(shù)/"(x)=咨(x)-/

l可——I?

2

在[-1,1]的最大值鼠，則〃+〃的值是

3

8.[x]表示不超過X的最大整數(shù)，已知函數(shù)/(x)=x-[x],有下列結(jié)論：①/(x)的定義域?yàn)镽；

②“X)的值域?yàn)閇0,1]；③"X)是偶函數(shù)：④/(x)不是周期函數(shù)；⑤/(x)的單調(diào)增區(qū)間為

(k,k+l)(kwN).其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

9.已知正三棱柱ABC-A與G的體積為54,AB=6,記三棱柱ABC-A￡G的外接球和內(nèi)切球分別

為球?,球。2,則球。?上的點(diǎn)到球。2上的點(diǎn)的距離的最大值為()

A.2y/3B.715+273c.4-出D,巫+出

10.已知關(guān)于X的不等式上土也匕>inx在(0，+<沖上恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為()

X+1

A.B.(e,+oo)C.^0,1]D.(0,e)

LJ[J

x2y2FF

11.已知橢圓C：/+廬=l(Q>0>0)的左、右焦點(diǎn)分別為I，2,點(diǎn)M，N是橢圓。上關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱的兩點(diǎn)，若NMEN2150。恒成立，則橢圓。的離心率的取值范圍為.

3

12.己知函數(shù)f（x）=e'-ar（aeR）有兩個(gè)零點(diǎn)無，x（x<x）,則有下列結(jié)論：①a>e；②0cx<1；

12121

③電>1；?xt+x2>2.正確結(jié)論的是（）

A.②③④B.①③④C.①②③D.①②③④

fV1riYl

13.設(shè)集合A=〈（x,y）x2+—=1>,3=〈(x,y)y=|_|則AnB的子集的個(gè)數(shù)是（）

14J1⑷J

A.4B.3C.2D.1

14.己知UABC中，AB=4,AC=4JJ，8c=8,動(dòng)點(diǎn)尸自點(diǎn)。出發(fā)沿線段CB運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)8時(shí)

停止，動(dòng)點(diǎn)。自點(diǎn)8出發(fā)沿線段BC運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止，且動(dòng)點(diǎn)。的速度是動(dòng)點(diǎn)尸的2倍.若二者同

時(shí)出發(fā)，且一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止，則該過程中AP-A。的最大值是（）

749

A.—B.4C.—D.23

22

12.（多選）如圖，在直三棱柱A6C—A5G中，A41=AC=2,A2=3,N84C=90°，點(diǎn)O,E分

ECDC

別是線段BC,8C上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且—=_，則下列說法正確的是（）

1B.CBC

A.EDH平面ACQ

B.四面體A-BDE的體積是定值

C.異面直線與AA所成角的正切值為Ji百

II

2

4

D,二面角A-EC-D的余弦值為—

13

4

《2021屆高中數(shù)學(xué)綜合、交匯習(xí)題集》第23篇參考答案

1.【答案】AC

【解析】利用共線向量定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得答案；

【詳解】

而=OQ-證=(^4+2OB^(04+6F)=而，

0C1-0Q=4彳13麗?d(A+2OB^OF7所以GG=C2C3,A正確.

由向量加法的平行四邊形法則可知8不正確.

0C2-0A-0G?0A=0A-0B，無法判斷與0的大小關(guān)系，而

■■■■?■■■?/■■■?■■■.\■■■■■■■?■■■?■■■，22

0C,OB=<QA+OBpB=OAOB+OB,OC2OB=（0A+2OB）OB=OAOB+2OB,

同理0。3?08=。4-08+308，所以C正確，。不正確.

故選：AC.

2.【答案】ABC

【解析】A.根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)。處的切線經(jīng)過點(diǎn)C,利用點(diǎn)斜式求解判斷；B才艮據(jù)/(X)的圖象過點(diǎn)A(0,0)及

D(4,0),設(shè)/(x)=x(x—4)0+機(jī))(其中丘0),然后再利用r(0)=4,尸(4)=2求解判斷;C.

由B得到/(x)+/(8—x)=0判斷；D.由B結(jié)合4Wx46,有X—420,x—8<0判斷.

【詳解】

因?yàn)橹本€CO的斜率為^_=—2,所以CO的方程為丁-0=-2(九一4),即y=-2x+8,所以A正確.

4-3

因?yàn)?(龍)的圖象過點(diǎn)A(0,0)及0(4,0),所以/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0,4,故可設(shè)

/(x)=x(X-4)(kx+(其中女w0),則/'(x)=依(x—4)+(kx+m)(2x-4),由/,(())=4.

/'(4)=2,得機(jī)=一1,k=],所以/(x)=1x(x-4)(x-8),故B正確.

88

由選項(xiàng)B可知，/(x)+/(8-x)=0,所以曲線y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱，故c正確.

當(dāng)44xW6時(shí)，有x—420,x—8<0,所以/(x)K0,故D不正確.

故答案為：ABC.

5

3.【答案】150^4-900^

【解析】連接P。，利用題目所給條件結(jié)合解三角形知識(shí)解出NQP。，從而得出NQPT的大小，則根據(jù)

題意可知，該月牙泉的面積為半圓QRT的面積減去弓形QST的面積，然后計(jì)算各部分的面積作差即可.

【詳解】

如圖所示，連接PO,易知PO1QT,

因?yàn)閟inNQPO=,所以/?！浮?二/-QPT—_L

T33

則弓形QST的面積為：s=[x乜6()2-6()2x義，

12322

又半圓QRT的面積為：S2=1x^x(30

所以月牙泉的面積為：

S-S-S=』x；zx(303)2--6()2—，x6()2x/=150/900

I22J13X22I；3(平方米).

故答案為：150處9006

4.【答案】—

5

2

【解析】利用二項(xiàng)分布列出等式，解方程求出p=_，再根據(jù)E(X)=秋即可求解.

5

【詳解】

由題意知P(X=A)=C?(l-p)9”,因?yàn)镻+〃=?〃，

945g6

所以C4P4(1-pY+C5P5(_p)4=、6p6Q_pj,

99T9

2]Q

化簡(jiǎn)得15p?+4p-4=0,解得p=__,從而E(X)=np_=.

55

6

故答案為：一

5

5.【答案】BCD

【解析】利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.計(jì)算出/(I)判斷A;先利用/(I)=2>1證明所有有理數(shù)P,

有/(p)>l,然后用任意無理數(shù)4都可以看作是一個(gè)有理數(shù)列的極限，由極限的性質(zhì)得了(q)〉l,這樣可

/(2〃)

判斷C,由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B,根據(jù)定義計(jì)算定——(neTV),然后求得D中的和，從而判

斷D.

【詳解】

令。=02=1,則/⑴=/(1+0)=/(1)/(0),即2=2/(0),"(0)=1,/(X)不可能是奇函數(shù)，A

錯(cuò)；

對(duì)于任意xeR,/(%)*0,若存在％eR,使得/(/)=0,則

/(0)=/(%,>+(一/))=/(尤。)/(一%)=0，與/(0)=1矛盾，故對(duì)于任意xeR，/(x)=0，

?74?羊萬音O一、r(Xx\(x}fx}「,「x'L八

??對(duì)十任意XER,f(x)=f+=ff=f>0,

k--⑷3[⑴」

ii

?.?/(1)=2>1,.?.對(duì)任意正整數(shù)〃，/?++…+f2>1,

14一二-----n「‘Ifi\.......1.1

I''?、巴1么I,L(力

U

同理/(〃)=/(1+1+…+1)=/(1)/⑴…/⑴=2"〉\,

對(duì)任意正有理數(shù)P,顯然有夕="(，"，〃是互質(zhì)的正整數(shù))，則/(p)=于(m、「(i]T">i,

LftJj

〃

對(duì)任意正無理數(shù)4,可得看作是某個(gè)有理數(shù)列〃…的極限，而八p)>l，iwN,：.f⑷與f(Pi)

的極限，.../(q)>1，

綜上對(duì)所有正實(shí)數(shù)x,有〃x)>l,c正確，

設(shè)xt<x2,則x2-x,>0，,/(尤2—匹)>1,則/(々)=/(再+(々一再))=/(z),/(々一再)>/(再)，

7

...f(x)是增函數(shù),B正確;

由已知人吁心—(21)/⑴=2/(21)，，懸=2,

.〃2)+〃4)+/(6)+〃2016)+〃2018)J2020)=2+2+.T2=2X1010=2020,D正

1

"A)"3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)101^2

確.

故選：BCD.

6.【答案】垃

【解析】根據(jù)新定義，把x③y+(2y)區(qū)x用通常的運(yùn)算表示，然后用基本不等式求得最小值.

【詳解】

￡_y24y2—x23X2+2y2xy；------

由題意x+(2y)Nx=______+_______=______+_>2±.匕=立，當(dāng)且僅當(dāng)

xy2xy2xy2yx\2yx

xy

.=~?即x=J2y時(shí)等號(hào)成立.

2yx

...所求最小值為0.

故答案為：及.

7?【答案】［a—1,1—a］1

9

【解析】求出導(dǎo)數(shù)g'(x),由已知條件得g(x)W0,從而確定g(x)的單調(diào)性，得函數(shù)g(x)值域，由最大

(2

2/㈠鼻

值得/■(工)《今恒成立，從而12，由此化簡(jiǎn)變形后求得得/+及，

/(1)<

〔?

【詳解】

由題意g'(x)=3<zx2—1,；a(>xG［—1,1］,gr(x)—?>ax2—1<0?g(x)在［—1,1］上單調(diào)遞減，

3

g(X)max=g(—D=1一。，g(X)min=g(D=a—l，

...g(x)值域?yàn)椋踑-1,1-a］；

的最大值是22

函數(shù)/(x)=|g(x)-『在［T,l］即/(x)W在［T［］上恒成立,

33

8

2

/(-1)=[Q+1—乍

$,兩式相加得|4

—ci+1—q+i〃+1一句〈,

2

<2-1-b<_3

W)斗13

415

又|-4+1—,+1—勺2,Q-2|2^Z-2i<_,解得_,

1333

又<a<_9a=\,

33

3+1一生2[242/<4

可得《忖52，即仁-性’解嘰二?。?b=Q,

13|3[I3I3I3

：.a2+b2=L.

9

故答案為：[a—1,1—a]；_.

9

8.【答案】C

【解析】直接根據(jù)解析式可知①正確：根據(jù)周期函數(shù)的定義可知④不正確；求出值域?yàn)閇0/)，可知②不正確;

舉特值可知③不正確；根據(jù)當(dāng)xe[O,l)時(shí)，函數(shù)/(x)=尤為增函數(shù)，且函數(shù)〃x)的周期為1,可知

⑤不正確.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x—[x|,所以/(x)的定義域?yàn)镽,故①正確；

因?yàn)?(x+l)=x+l-[x+l]=x+l-[x]-1=x-[x]=/(x),

所以/(X)是周期為1的周期函數(shù)，故④不正確；

當(dāng)OWx<l時(shí)，/O)=x—[x]=x-0=xe[0,l),當(dāng)X=1時(shí)，/(%)=1-[1]=1-1=0,

所以當(dāng)OWxVlH寸，/(x)e[0,l),

根據(jù)周期為1可知，Ax)的值域?yàn)閇0,1),故②不正確；

因?yàn)?(0.2)=0.2-[0.21=0.2-0=0.2,/(—0.2)=-0.2-[-0.2]=-0.2-(-1)=0.8,

所以/(0.2)牛/(-0.2),所以函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)，故③不正確；

因?yàn)楫?dāng)xc[0,l)時(shí)，函數(shù)/。:)=%為增函數(shù)，且函數(shù)f(x)的周期為1,

9

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(上火+1)伏eZ),故⑤不正確.

所以①正確，②③④⑤不正確.

故選：C

9.【答案】D

【解析】由正三棱柱ABC-A與G知外接球與內(nèi)切球的球心重合，兩球面上點(diǎn)的最大距離為d=R+r,

根據(jù)底面外接圓的半徑與側(cè)棱長(zhǎng)即可求外接圓半徑R,內(nèi)切圓的半徑r為側(cè)棱長(zhǎng)的一半，即可求距離d最

大值.

【詳解】

由題意知：正三棱柱ABC-ABC的底面積S=)x62xsin60°=9G且底面外接圓半徑

r=6=2巧,而正三棱柱ABC-ABC的高〃=丫=54

'2sin60。飛93，

...外接球半徑R=］尸+§=巫,若設(shè)內(nèi)切球半徑為一，則有：八白道,

?.?正三棱柱A8C-A產(chǎn)的外接球與內(nèi)切球的球心重合，知：當(dāng)兩球上的點(diǎn)在過球心的直線上且在球心

兩側(cè)時(shí)距離最大，

...最大距離d=R+r=厲+君

故選：D

10.【答案】A

【解析】不等式整理為(T+l)lne*>(x+l)lnx,構(gòu)造函數(shù)〃x)=(x+l)lnx,求導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)單

調(diào)性，再取對(duì)數(shù)變量分離，再求導(dǎo)函數(shù)進(jìn)而求最值.

【詳解】

由一(")ln，〉］nx，得(1+l)ln*>(x+l)lnx,構(gòu)造函數(shù)/(x)=(x+l)】n光，

X+1

則/(d)〉/(x)

r(x)=lnx+l+1,7(x)=1-11

xxx2x2

當(dāng)X￡(0,l)時(shí)，/f(x)<0,當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，/z(x)<0

(x)mi?=r(1)=2>0,所以/(x)在(0,+勾上單調(diào)遞增，

10

得尤，Ax>Inx,在(0,+。)上恒成立，

X

5/\Inx，/、1-Inx

設(shè)g(x)^_,g(x)=,

XX

當(dāng)xe(0,e)時(shí),g(x)>0,g(x)單調(diào)增，

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，g，(x)<0,g(x)單調(diào)減,

g(x)=g(e)=J，所以小1

maxee

故選:A.

ii、【答案】(o,#-g

4

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以四邊形MQN工為平行四邊形，

因此由150。恒成立得/居30°恒成立，

設(shè)B為橢圓短軸端點(diǎn)，則/產(chǎn)產(chǎn)后2/居加尸2,因此只需/尸產(chǎn)工《30。

因?yàn)閟in3%=%=f=eeKsin15-=sin(45°一30°)=產(chǎn)一平

2BF{a4

橢圓c的離心率的取值范圍為(o,加二31

4

故答案為：(0,詼二啊

4

12.【答案】D

【解析】根據(jù)/W在x40上恒正且在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則極值必小于0即可推斷a>e,又/(I)<0

進(jìn)而可得0<西<1,々>1,修+々>2可知正確選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)/W有兩個(gè)零點(diǎn)為，々(王<9)，知：/(X)存在極值點(diǎn)，

而/'(X)=e即—4=0,有X=111。且。>。，可知：入<0時(shí)/(1)>。，

00

/(Ina)=a-a\na<0t即a>e,又/(l)=e-a<0,

ii

Ie'-ax.

/.0<x<1,x>1,且《,即x+x=2In67+ln（xx）>2

I2...1212

2

[e-ax2

故選：D

13.【答案】A

【解析】由題意，集合4表示橢圓，集合8表示指數(shù)函數(shù)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可得答案.

【詳解】

[/1fnvl

集合A=＜（x,＞）/2+—=1},B=〈（x,y）y=\_|＞,

[4J["

2y

X+-t^r-=1

J畫出圖形如圖:

v_rni

飛I

由圖可知，AC5的元素有2個(gè)，則AA8的子集有2?=4個(gè)，

故選：A

14.【答案】C

【解析】由題意BQ=—2CP,AB1AC,ZABC=60°,ZACB=300,故

AP-AQ=（AC+CP）（AB+3Q）,展開可得關(guān)于|c/|的一元二次函數(shù)，配方，即可求得AP-AQ的最

大值.

【詳解】

□ABC中，A8=4，AC=46,BC=8,

AB2+AC2=BC2,:.ABIAC,ZABC=60°,ZACB=30°.

由題意BQ=-2CP，

：.AP^AQ=（4C+CP）^B+BQ^AC^AB+AC^BQ+CF^AB+CP^BQ

=0+|AC卜2cp.os30°+,尸汗臺(tái)"s60°+中一^CPcc|sl80o

12

—?「49

.?.當(dāng)yq=〈時(shí)，AP-AQ取得最大值，最大值為寶.

故選：C.

12.【答案】ACD

【解析】說明四邊形BCCM是矩形，然后證明ED//BBX//AAX,推出ED〃平面ACC-判斷A；設(shè)

ED=m,然后求解四面體A-BOE的體積可判斷B；說明異面直