2019-2021三年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編 07 一元二次方程（學(xué)生版+解析版）

專(zhuān)題07一元二次方程

一、單選題

1.（2021.山東荷澤市.中考真題）關(guān)于x的方程（左—1）2尤2+（2&+1）》+1=0有實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是

（）

A.k>—且左B.k>—且攵C.k>—D.kN—

4444

2.（2021.湖南懷化市.中考真題）對(duì)于一元二次方程2/一3%+4=0,則它根的情況為（）

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.兩根之和是3C.兩根之積是-2D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

3.（2021?湖北武漢市?中考真題）已知〃，匕是方程%2一3%—5=0的兩根，則代數(shù)式2/—6〃2+/+7力+1

的值是（）

A.-25B.-24C.35D.36

4.（2021?四川廣安市?中考真題）關(guān)于X的一元二次方程（a+2）f-3x+l=0有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍

是（）

1,11?1

A.aW—且一2B.aW—C.a<一且一2D.ci<一

4444

5.（2021.湖南邵陽(yáng)市.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線>=一%+加苫不經(jīng)過(guò)第一象限，則關(guān)于x的

方程爾2+%+1=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.1或2個(gè)也

6.（2021.四川眉山市.中考真題）已知一元二次方程*2一3%+1=0的兩根為再，x2,則其一5%一2%2的值

為（）

A.-7B.-3C.2D.5

7.（2021?浙江臺(tái)州市?中考真題）關(guān)于x的方程/-4x+"?=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是

（）

A.m>2B.m<2C.D.mV4

8.（2021?山東臨沂市.中考真題）方程/-x=56的根是（）

A.%=7,x2=8B.X、=1,x2=—SC.x、=—7,x2=8D.=—7,/=—8

9.（2021?云南中考真題）若一元二次方程62+2》+1=（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.a<\B.a<lC.a<l且QHOD.Q<1且〃。0

10.（2021?山東泰安市?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)依2一（2攵-1）%+攵-2=0有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.k>--B.k<—C.k>-----且ZHOD.k<—左H0

4444

22021

11.（2021.四川南充市.中考真題）已知方程》2一2021犬+1=0的兩根分別為再苫，》2，則x；-----的值

為（）

A.1B.-1C.2021D.-2021

12.（2021?四川涼山州?中考真題）函數(shù)丫=匕+人的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程

/+法+左一1=。的根的情況是（）

y=kx-b

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

13.（2021?四川瀘州市?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程/+2〃a+m2一機(jī)=。的兩實(shí)數(shù)根內(nèi)多，滿足

中2=2，則（x；+2）（x1+2）的值是（）

A.8B.16C.32D.16或40

14.（2021.浙江麗水市.中考真題）用配方法解方程x2+4x+l=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）

A.（X-2）2=5B.（x-2）2=3C.（X+2）2=5D.（X+2）2=3

15.（2021?新疆中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解為（）

A.x）=-1,X2=3B.XI=1,X2=-3C.xi=l,X2=3D.xi=-1,X2=-3

16.（2020?新疆中考真題）下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（）

A.X2—X4■—=0B.x2+2x+4=0C.x2-x+2=0D.x2-2x=0

4

17.（2020?廣西中考真題）參加足球聯(lián)賽的每?jī)芍蜿?duì)之間都要進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽110場(chǎng)，設(shè)參加比

賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）苫

A.—（JC+1）=110B.—x（x-1）=110C.x（x+1）=110D.x（x-1）=110

22

18.（2020?廣西河池市?中考真題）某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共要比賽

36場(chǎng)，則參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是（）出

A.6B.7C.8D.9/

19.（2020?四川雅安市?中考真題）如果關(guān)于XX的一元二次方程日2一3》+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么人的取

值范圍是（）

9999

A.k..—B.k...且ZHO*C.鼠一且ZH0D.k?

4444

20.（2020?湖北荊州市?中考真題）定義新運(yùn)算a*b,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b滿足a*Z?=（a+勾（a-匕）一1期

其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如4*3=（4+3）（4-3）-1=7-1=6,若x*Z=x（k

為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）

A.有一個(gè)實(shí)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根揖

21.（2020?黑龍江鶴崗市?中考真題）已知2+百是關(guān)于工處的一元二次方程九2一4%+m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，

則實(shí)數(shù)加的值是（）

A.0B.1C.-3D.-1苫

22.（2020?廣東廣州市?中考真題）直線丁=》+。也不經(jīng)過(guò)第二象限，則關(guān)于X的方程+21+1=。實(shí)數(shù)

解的個(gè)數(shù)是（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)為

23.（2020?湖北省直轄縣級(jí)行政單位?中考真題）關(guān)于x的方程f+2（m-l）x+m2一機(jī)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

爾/，且。2+P2=]2,那么m的值為（）

A.-1B.-4池C.T或1D.一1或4

r4-]v-r4-1

24.（2020?上海中考真題）用換元法解方程「-；酊」」=2時(shí)，若設(shè)一丁可，則原方程可化為關(guān)于y的方

XX+1X

程是（）

A.爐-2）41=0B.）a+2），+l=0C.y+y+2=0D.y2+y-2=0*-?

25.（2020?湖北隨州市?中考真題）將關(guān)于》的一元二次方程--px+g=0變形為f=—q,就可以將

/也表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如％3=》“2=》（內(nèi)—/=…，我們將這種方

法稱為“降次法”,通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：%2=0，且尤＞（），

則2d+3x的值為（）

A.1-75B.3-石苫C.1+75D.3+75

26.（2020?湖北鄂州市?中考真題）目前以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展.某市2019年底有5G用

戶2萬(wàn)戶，計(jì)劃到2021年底全市5G券用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶.設(shè)全市5G用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x,則

X值為（）

A.20%B.30%為C.40%D.50%

27.（202。湖南張家界市.中考真題）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程f-6x+8=0的兩根,

則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）他

A.2B.4C.8D.2或M

28.（2020?甘肅金昌市?中考真題）已知x=l也是一元二次方程（加一2）/+4工一加2=0的一個(gè)根，則團(tuán)的

值為（）

A.-1或2B.-1C.2D.儂

29.（2020.江蘇南京市.中考真題）關(guān)于x的方程（x—1）*+2）=夕2哲（夕為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論

中正確的是（）

A.兩個(gè)正根B.兩個(gè)負(fù)根C.一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D.無(wú)實(shí)數(shù)根%

30.（2020?山東泰安市?中考真題）將一元二次方程了2一8%—5=0西化成。+4）2=8（a,〃為常數(shù)）的形

式，則mb的值分別是（）

A.T3,21B,-4,11C.4,21D.-8,69

31.（2020?貴州銅仁市?中考真題）已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，且m、n是關(guān)

于x的一元二次方程一如-6x+k+2=0的兩個(gè)根，則k的值等于（）

A.7B.7或6C.6或-7D.6/

32.（2019?河北中考真題）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a和）時(shí)，只抄對(duì)了a=l,b=4,解出其中一

個(gè)根是x=-l.他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2.則原方程的根的情況是（）處

A.不存在實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有一個(gè)根是x=-lD.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根也

33.（2019?廣西玉林市?中考真題）若一元二次方程V一萬(wàn)一2=0的兩根為無(wú)逢，々，則（1+石）+々（1一%）

的值是（）

A.4B.2C.1D.-2苫

34.（2019?廣西貴港市?中考真題）若a,夕是關(guān)于工摑的一元二次方程》2一2%+加=0的兩實(shí)根，且

112

一+3=一彳，則用等于（）

ap3

A.-2池B.-3C.2D.3

35.（2019?湖北鄂州市?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程/一4%+加=0的兩實(shí)數(shù)根分別為王池、々，且

%+3々=5,則加的值為（）

777

A.一池B.-C.—D.0

456

36.（2019?內(nèi)蒙古巴彥淖爾市?中考真題）已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、反4,且“、6是關(guān)于％出的一

元二次方程f一12%+加+2=0的兩根，則加的值是（）

A.34B.30C.30池或34D.30或36

37.（2019?湖北武漢市?中考真題）從1、2、3、4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a、C*,則關(guān)

于X的一元二次方程而：2+4x+c=0有實(shí)數(shù)解的概率為（）

1112

A.—B.一濁C.—D.—

4323

38.（2019?廣東中考真題）已知x「隊(duì)乙是一元二次方程f-2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)退的是（）

A.玉工工2B.x；-2X]=0苫C.百+%2=2D.x,-x2=2

二、填空題％

39.（2021?湖北隨州市?中考真題）已知關(guān)于％的方程%2-。+4）%+4左=0（火中0'的兩實(shí)數(shù)根為須，%,

22

若—h—=3,則4=.

王Z

40.（2021?湖北十堰市?中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)〃、h,定義一種運(yùn)算：a0h=a2+b2-ah^若

x（8）（x-l）=3,則x的值為.

41.（2021?湖南中考真題）關(guān)于x池的一元二次方程/一5%+加=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則〃?=.

42.（2021?湖北黃岡市?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程/-2》+小=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則加

的值可以是.（寫(xiě)出一個(gè)即可）泄

43.（2021.湖南岳陽(yáng)市.中考真題）已知關(guān)于x/的一元二次方程%2+6%+々=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)Z的值為.

44.（2021?上海中考真題）若一元二次方程2f—3x+c=0無(wú)解，則c的取值范圍為.理

45.（2021?湖南長(zhǎng)沙市?中考真題）若關(guān)于XX的方程/一日—12=0的一個(gè)根為3,則上的值為.

46.（2021?四川成都市?中考真題）若〃?，〃是一元二次方程/+2%一1=0%的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則加2+4m+2〃

的值是.

47.（2021.浙江麗水市.中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問(wèn)題：苫

bZ7

已知實(shí)數(shù)a,。同時(shí)滿足〃+2a=b+2,b2+2b=a+2,求代數(shù)式一+一的值.

ab

結(jié)合他們的對(duì)話，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)。二b時(shí)，。的值是.熱

hn

（2）當(dāng)出。苫時(shí)，代數(shù)式一+—的值是.

ab

48.（2021?江西中考真題）已知事，々芯是一元二次方程%2-4%+3=0的兩根，則王+々一工也=

49.（2021?四川遂寧市?中考真題）如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去,

第一個(gè)圖形共有210個(gè)小球.海

@@@@@@??…%

@@@@@@@@@?

（第1個(gè)圖）（第2個(gè)圖）（第3個(gè)圖）（第4個(gè)圖）

50.（2021.江蘇連云港市.中考真題）已知方程/一3工+左=0常兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則％=

51.（2020?山東濟(jì)南市?中考真題）如圖，在一塊長(zhǎng)15根、寬10%的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂

直的道路，剩余分栽種花草，要使綠化面積為126病，則修建的路寬應(yīng)為米.苫

52.(2020?四川雅安市?中考真題)若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0^，則x2+y2=

a1-ab(a>b),

53.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“*”，a*b=<,例

ab-b1(</,,b)

如4*2,因?yàn)?>2雷所以4*2=42-4x2=8.若芭，々是一元二次方程f-8x+16=0的兩個(gè)根，則

54.（2020.黑龍江大慶市.中考真題）已知關(guān)于X注的一元二次方程％2_2%一。=0,有下列結(jié)論：

①當(dāng)揖時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；②當(dāng)a>0時(shí)，方程不可能有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根；

③當(dāng)。>一1/時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根不可能都小于1；④當(dāng)a>3時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)大于3,另一個(gè)小

于3.以上4個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為.

55.（2020?山西中考真題）如圖是一張長(zhǎng)12cm,寬10cm苫的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)

全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積245？是的有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒.則剪去的正方形的邊長(zhǎng)

為cm.

56.（2020?湖南邵陽(yáng)市?中考真題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十

四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，

它的寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)它的長(zhǎng)與寬各多少步？利用方程思想，設(shè)寬為x步，則依題意列方程為

57.（2020?湖北荊門(mén)市?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程/一4mx+3加2=0（m>0）的一個(gè)根比另一

個(gè)根大2,則m的值為.也

58.（2020?湖北孝感市?中考真題）如圖1,四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，

這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖在此圖形中連接四條線段

得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為耳，空白部分的面積為邑，大正方形的邊長(zhǎng)為囪小正方形的

n

邊長(zhǎng)為“，若鳥(niǎo)=與，則一的值為

59.（2020.四川樂(lè)山市.中考真題）已知y#0甌且f-3孫一4），2=0.則］的值是.

60.（2019?四川成都市?中考真題）已知為，々是關(guān)于％為的一元二次方程/+2彳+左一1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

且X；=13,則Z的值為.

三、解答題％

61.（2021?山東蒲澤市?中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題通

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷(xiāo)售情況，下面是調(diào)查員的對(duì)話：為

小王：該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元；小李：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每千克38元時(shí)，每天可售出160千克；若每千克

降低3元，每天的銷(xiāo)售量將增加120千克.根據(jù)他們的對(duì)話，解決下面所給問(wèn)題：超市每天要獲得銷(xiāo)售利

潤(rùn)3640元，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求這種水果的銷(xiāo)售價(jià)為每千克多少元？出

62.（2021.湖北十堰市.中考真題）已知關(guān)于》的一元二次方程》2一4萬(wàn)—2〃7+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.過(guò)

（1）求實(shí)數(shù)，”的取值范圍：（2）若該方程的兩個(gè)根都是符號(hào)相同的整數(shù)，求整數(shù)〃?的值.獨(dú)

63.（2021?湖北宜昌市?中考真題）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣.噴灌和滴灌是比漫

灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時(shí)每畝用水量分別是漫灌時(shí)的30%苫和20%.去年，新豐收公司用各100

畝的三塊試驗(yàn)田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸.

（1）請(qǐng)問(wèn)用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗(yàn)田各用水多少噸？苫

（2）今年該公司加大對(duì)農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗(yàn)田的面積都增加了加％,漫灌試驗(yàn)田的面積減少

了2加%也同時(shí)，該公司通過(guò)維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進(jìn)一步減少了

9

m%.經(jīng)測(cè)算，今年的灌溉用水量比去年減少二加%,求機(jī)的值.

（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系.今年，該公司全部試驗(yàn)田在灌溉輸水管道維修方面每畝投

入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗(yàn)田添加設(shè)備所投入經(jīng)費(fèi)為每畝100元.在（2）的情況下，若每噸水費(fèi)

為2.5元，請(qǐng)判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費(fèi)是否大于今年的以上兩項(xiàng)投入之和？也

64.（2021?四川南充市?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程一一（2々+1）X+公+々=0.也

（1）求證：無(wú)論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.也

（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為再也，々，且上與:都為整數(shù)，求&所有可能的值.

65.（2021?重慶中考真題）某工廠有甲、乙兩個(gè)車(chē)間，甲車(chē)間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車(chē)間生產(chǎn)3產(chǎn)品，去年兩個(gè)

車(chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出.已知A產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)比8產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)高100元，1件A產(chǎn)品

與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元.（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)分別是多少元？也

（2）隨著5G時(shí)代的到來(lái)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期.今年，該工廠計(jì)劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車(chē)間

改造為專(zhuān)供用戶定制8產(chǎn)品的生產(chǎn)車(chē)間.預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加?%;

B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少。％,但B產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)將提高34％.則今年A、8兩種產(chǎn)品全部售出

29

后總銷(xiāo)售額將在去年的基礎(chǔ)上增加一。％.求〃的值.外

66.（2021.浙江嘉興市.中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x—3）=（x—3）2的過(guò)程如下框：為

小霞：

小敏：

移項(xiàng)，得3（x—3）—（X-3）2=0,

兩邊同除以（％—3）,得

提取公因式，得（x—3）（3—x—3）=0.

3=x—3,

則％-3=0或3-》一3=0,

則犬=6.

解得X1=3,x2=0.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打‘7"；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程.x

67.（2021?重慶中考真題）重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎.某面館向食客

推出經(jīng)典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡(jiǎn)稱“堂食”小面），也可購(gòu)買(mǎi)搭配佐料的袋裝生面（簡(jiǎn)稱“生食”

小面）.已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價(jià)為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售

價(jià)為33元.（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是多少元？任

（2）該面館在4月共賣(mài)出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，為回饋廣大食客，該面館從5月1日

3

起每份“堂食”小面的價(jià)格保持不變，每份“生食”小面的價(jià)格降低一a%%.統(tǒng)計(jì)5月的銷(xiāo)量和銷(xiāo)售額發(fā)現(xiàn):“堂

4

食”小面的銷(xiāo)量與4月相同，“生食”小面的銷(xiāo)量在4月的基礎(chǔ)上增加,這兩種小面的總銷(xiāo)售額在4月

2

的基礎(chǔ)上增加9。％.求。的值.

11

68.（2021?湖南常德市?中考真題）解方程：%2-x-2=0^

69.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學(xué)響應(yīng)政府有“停課

不停學(xué)”的號(hào)召，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，九年級(jí)1班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，彼

此關(guān)懷，全班每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都通過(guò)一次電話，互相勉勵(lì)，共同提高，如果該班共有48名同學(xué)，若每?jī)擅瑢W(xué)

之間僅通過(guò)一次電話，那么全同學(xué)共通過(guò)多少次電話呢？我們可以用下面的方式來(lái)解決問(wèn)題.用點(diǎn)

4、&、A,…分表示第1名同學(xué)、第2名同學(xué)、第3名同學(xué)…第48名同學(xué)，把該班級(jí)人數(shù)x與通電話

次數(shù)y之間的關(guān)系用如圖模型表示：觸

（1）填寫(xiě)上圖中第四個(gè)圖中y的值為,第五個(gè)圖中y的值為.池

（2）通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，通電話次數(shù)y與該班級(jí)人數(shù)x之間的關(guān)系式為,當(dāng)x=48效時(shí)，對(duì)應(yīng)的＞=

.（3）若九年級(jí)1班全體女生相互之間共通話190次，問(wèn)：該班共有多少名女生？

70.（2020?山東青島市?中考真題）實(shí)際問(wèn)題：也

某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了投資活動(dòng).方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分

別為1元、2元、3元....100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張

獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共

有多少種不同的優(yōu)惠金額？也

問(wèn)題建模：從1,2,3,…，n（〃為整數(shù)，且〃之3拙）這"個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整

數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

模型探究：我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問(wèn)題的

方法.為

探究一：（1）從1,2,3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？也

表①演

所取的2個(gè)整數(shù)1,21,3,2,3

2個(gè)整數(shù)之和345

如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3,最大是5,所

以共有3種不同的結(jié)果.（2）從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同

的結(jié)果？為

表②/

所取的2個(gè)整數(shù)1,21,3,1,42,32,43,4

2個(gè)整數(shù)之和345567

如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3,最大是

7,所以共有5種不同的結(jié)果.也

（3）從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.為

（4）從1,2,3,…，n（〃/為整數(shù)，且“23）這〃個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有

種不同的結(jié)果.

探究二：（1）從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.池

（2）從1,2,3,n（〃也為整數(shù)，且）這"個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有

種不同的結(jié)果.

探究三：從1,2,3,…，〃（〃也為整數(shù)，且〃25）這〃個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有

種不同的結(jié)果.

歸納結(jié)論：從1,2,3,?（〃為整數(shù)，且〃23如）這〃個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這。個(gè)整

數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

問(wèn)題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元....100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張

獎(jiǎng)券，共有種不同的優(yōu)惠金額.

拓展延伸：（1）從1,2,3,…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種

不同的結(jié)果？（寫(xiě)出解答過(guò)程）

（2）從3,4,5....n+3（〃為整數(shù)，且〃22）這（〃+1）個(gè)整數(shù)中任取。（1＜。＜"+1）個(gè)整數(shù)，這。

個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

71.（2020?西藏中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題：某駐村工作隊(duì)，為帶動(dòng)群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅(jiān)成

效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600m2的矩形試驗(yàn)茶園，便于成功后大面積推廣.如圖所示，茶園

一面靠墻，墻長(zhǎng)35m,另外三面用69m長(zhǎng)的籬笆圍成，其中一邊開(kāi)有一扇1m寬的門(mén)（不包括籬笆）.求這

個(gè)茶園的長(zhǎng)和寬.

B

72.（2020?遼寧丹東市?中考真題）某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷(xiāo)售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元，規(guī)定每件售價(jià)

不低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷(xiāo)售量,四（件）與每件的售價(jià)》（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)

如下表：

售價(jià)X（元/件）606570

銷(xiāo)售量y（件）140013001200

（1）求出y摑與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量》的取值范圍）

（2）該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷(xiāo)售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這種襯衫定價(jià)？

（3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%,設(shè)這種襯衫每月的總利潤(rùn)為卬（元）,

那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？苫

73.（2020?湖北荊州市?中考真題）閱讀下列問(wèn)題與提示后，將解方程的過(guò)程補(bǔ)充完整，求出x的值.也

問(wèn)題：解方程％2+2彳+46+2%_5=0（提示：可以用換元法解方程），*

解：設(shè)Jx2+2x=池,則有丁+2%=”,

原方程可化為：*+4.一5=0，*

續(xù)解：加

74.（2020?廣西玉林市?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程f+2x—左=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.他

（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根是a,b,求，--的值.理

a+1b+\

75.（2020.湖北黃石市.中考真題）已知：關(guān)于x的一元二次方程/+J嬴-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）求相的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩根為x產(chǎn)、々，且滿足（玉一々J-17=0,求加的值.

76.（2020?湖北中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程/一4x—2左+8=0也有兩個(gè)實(shí)數(shù)根占,

（1）求k的取值范圍；（2）若元瓦+演考=24,求k的值.也

77.（2020?湖北孝感市?中考真題）己知關(guān)于％為的一元二次方程x2-（2Z+l）x+g%2-2=0.

（1）求證：無(wú)論Z為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；也

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根西，々苫滿足玉一々=3,求攵的值.

專(zhuān)題07一元二次方程

一、單選題

1.（2021.山東荷澤市.中考真題）關(guān)于x的方程（攵-1），2+（24+1）%+1=0有實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是

（）

A.k>—且B.k>—且左。1C.k>—D.k>—

4444

【答案】D

【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式來(lái)求上的取值范圍即可.

【詳解】解：⑴當(dāng)左W1時(shí)，（上一1）。2+（2左+l）x+l=0為一元二次方程。

???關(guān)于X的方程（左一1）2/+（2Z+l）x+l=0有實(shí)數(shù)根，

A=（2^+l）2-4x（/；-l）2xl>0,解得，人之,且Zrl,

4

（2）當(dāng)&=1時(shí)，3x+l=0,為一元一次方程，該方程恒有解，故％=1。

綜上所述：則％的取值范圍是％22,故選：D.

4

2.（2021?湖南懷化市?中考真題）對(duì)于一元二次方程2/一3X+4=0,則它根的情況為（）

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.兩根之和是3C.兩根之積是-2D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】先找出a=2,b=-3,c=4,再利用根的判別式判斷根的情況即可.

【詳解】解：2/一3x+4=0：。=2,8=-3,。=4；.△=〃—4ac=9—32=—23<0

二這個(gè)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故4正確、。錯(cuò)誤.

cb3

x{*x1=—=2,故C錯(cuò)誤.x,+x2=--=—,故8錯(cuò)誤.故選：A.

-aa2

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、熟練掌握△<（）,一元二次方程沒(méi)

有實(shí)數(shù)根是關(guān)鍵.

3.（2021?湖北武漢市?中考真題）己知。，匕是方程》2一3%一5=0的兩根，則代數(shù)式2/-6/+/+7。+1

的值是（）

A.-25B.-24C.35D.36

【答案】D

【分析】先根據(jù)已知可得"-3。-5=0，H-3b=5,a+b=3,然后再對(duì)2a3-6/+尸+7。+1變形，

最后代入求解即可.

【詳解】解：；已知。，。是方程一—3%-5=0的兩根???a2-3a-5=0</一3b=5,a+b=3

—6a~+廳+7人+1=2a（a~-3a-5）+-3b）+10（a+h）+l=0+5+30+1=36.故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的變形，根據(jù)需要對(duì)整式靈活變形

成為解答本題的關(guān)鍵.

4.（2021?四川廣安市?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程（a+2）d-3x+l=0有實(shí)數(shù)根，則”的取值范圍

是（）

111?1

A.—且aaH—2B.aK—C.a<—且aH—2D.a<—

4444

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a+2/O且AX）,然后求出兩不等式的公共部分即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程（。+2）/-3x+l=0有實(shí)數(shù)根，

.?.△K）且。+2￥0,；.（-3）2-4（a+2）*1加且。+2邦，解得：花,且存-2,故選：A.

4

【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式：一元二次方程aN+公+c=0（W0）的根與有如下關(guān)系：當(dāng)△>（）時(shí)，

方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

5.（2021.湖南邵陽(yáng)市.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線>=-%+加不經(jīng)過(guò)第一象限，則關(guān)于x的

方程爾2+%+1=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.1或2個(gè)

【答案】D

【分析】直線不經(jīng)過(guò)第一象限，則〃『0或〃?vo,分這兩種情形判斷方程的根.

【詳解】?..直線>=一%+"2不經(jīng)過(guò)第一象限，.?.〃?=（）或，〃<0,

當(dāng)，〃=0時(shí)，方程變形為x+l=0,是玩一次方程，故有一個(gè)實(shí)數(shù)根：

當(dāng)〃V0時(shí)，方程的2+x+1=（）是元二次方程，且△=/?一4ac=l—4m，

，-小"〉。，.?.1-4加>1>0,故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

綜上所述，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選。.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判別式，準(zhǔn)確判斷圖

像不過(guò)第一象限的條件，靈活運(yùn)用根的判別式是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?四川眉山市?中考真題）已知一元二次方程/一31+1=0的兩根為西，馬，則-2々的值

為（）

A.-7B.-3C.2D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，得為2-3內(nèi)+1=0,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得再+%=3,進(jìn)而即可

求解.

【詳解】解：：一元二次方程％2_3%+1=0的兩根為再，馬，

X1~—3x^+1=0,即：Xy—3%1-1,X]+x,=3,

二22（）故選

X,-5x,-2X2-x,-3^-2X]+x2=-l-2x3=-7.A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握?2+—+c=0（存0）的兩

bc

根為X]，與，則X]+X>=，x2=一,是解題的關(guān)鍵.

a~a

7.（2021?浙江臺(tái)州市?中考真題）關(guān)于x的方程/-以+加=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是

（）

A.m>2B.m<2C.m>4D.m<4

【答案】D

【分析】根據(jù)方程x2-4x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得A=（-4）2—4xlx加>0,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程x2-4x+,〃=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=（-4）-4xlxm>0,解得：，〃<4,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握?2+以+,=。（”和）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則判別式大于零，是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?山東臨沂市?中考真題）方程幺―兀=56的根是（）

A.%=7,x?=8B.x=7,X]——8C.斗=-7,X、—8D.%=-7,X】——8

【答案】C

【分析】利用因式分解法解方程即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】解：,.,*2一_￥=56，二%2—x—56=0，二（》+7）（犬-8）=0,

/.x+7=0,x-8=0,.*.xi=-7,X2=8.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)

因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方

程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了.

9.（2021.云南中考真題）若一元二次方程以2+2*+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（）

A.a<\B.a<\C.aWl且D.。<1且a00

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到存0且△=22-4a>0,然后求出兩不等式的公共部分

即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得a翔且△=22-4〃>0,解得a<l且a#）.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程"2+fcv+cR（存0）的根與△=爐一4℃有如下關(guān)系：當(dāng)△>（）

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

10.（2021?山東泰安市?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)收一（2Z-l）x+Z—2=0有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.k>—B.k<—C.k>—且女工0D.k<—左。0

4444

【答案】C

【分析】由~元二次方程定義得出二次項(xiàng)系數(shù)厚0；由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>（）”,解這兩個(gè)

不等式即可得到A的取值范圍.

左。0?

【詳解】解：由題可得：/門(mén)2,、，解得：k>一一且左。0；故選：C.

[―（2Z—1）]—4攵伏一2）〉04

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能

讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）