2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之復(fù)數(shù)與不等式

2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之復(fù)數(shù)與不等式

一.選擇題(共9小題)

1.(2019?北京)若x,y滿足RW1-y,且y2-l,則3x+y的最大值為()

A.-7B.1C.5D.7

2.(2018?北京)設(shè)集合4={(x,y)ax+y>4,x-?yW2},貝U()

A.對任意實數(shù)a,(2,1)GA

B.對任意實數(shù)a,(2,1)CA

C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，(2,1)防

3

D.當(dāng)且僅當(dāng)aW——時，(2,1)CA

2

a?<3

3.(2017?北京)若x,y滿足+y之2,則x+2y的最大值為()

y<x

A.1B.3C.5D.9

4.(2020?北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),則i?z=()

A.1+2/B.-2+iC.1-2iD.-2-i

5.(2020?北京)已知函數(shù)/(x)=2'-x-1,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(-°°,-1)U(1,+8)

C.(0,1)D.(-8,0)U(1,+8)

6.(2021?北京)若復(fù)數(shù)z滿足(l-iAz=2,則2=()

A.-1-/B.-1+iC.1-iD.1+z

7.(2019?北京)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z?W=()

A.B.C.3D.5

8.(2018?北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)」一的共攏復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.(2017?北京)若復(fù)數(shù)(1-/)(a+j)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值

范圍是()

A.(-8,1)B.(-8,-1)C.(1,+8)D.(-1,+°°)

二.填空題（共6小題）

x<2,

10.（2019?北京）若X,y滿足，—則y-x的最小值為,最大值

4a?-3y+l>0,

為.

11.（2018?北京）若x,y滿足x+lWyW2x,則2y-x的最小值是.

12.（2018?北京）能說明“若心6,則」V」”為假命題的一組”，6的值依次為.

ab

13.（2017?北京）能夠說明“設(shè)mb,c是任意實數(shù).若心b>c,則a+8>c”是假命題的

一組整數(shù)a,b,c的值依次為.

14.（2017?北京）已知x20,y20,且x+y=l,則/+/的取值范圍是.

15.（2017?北京）某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：

（i）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

（ii）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

（iii）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為.

②該小組人數(shù)的最小值為

2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之復(fù)數(shù)與不等式

參考答案與試題解析

選擇題（共9小題）

1.（2019?北京）若x,y滿足k|Wl-y,且y2-1,則3x+y的最大值為（）

A.-7B.1C.5D.7

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】由約束條件作出可行域，令z=3x+y,化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最

優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【解答】解：由111-‘作出可行域如圖，

y之一1

y=—1

聯(lián)立，，解得A（2,-1）,

11+y-1=0

令z=3x+y,化為y=-3x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-3x+z過點A時，z有最大值為3X2-1=5.

故選：C.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

2.（2018?北京）設(shè)集合A={（x,y）ax+y>4,x-ay<2},則（）

A.對任意實數(shù)a,（2,1）6A

B.對任意實數(shù)a,（2,1）54

C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，（2,1）CA

3

D.當(dāng)且僅當(dāng)aW—時，（2,1）任A

2

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式.

【分析】利用。的取值，反例判斷(2,1)6A是否成立即可.

【解答】解：當(dāng)a-—1時，集合A={(x,y)pc-,ox+y>4,x-ayW2)={(x,y)

[x-1,-x+y>4,x+yW2},顯然(2,1)不滿足，-x+y>4,x+yW2,所以A不正

確；

當(dāng)a=4,集合A={(x,y)|x-y^l,ax+y>4,x-ayW2}={(x,y)\x-1,4x+y

>4,x-4yW2},顯然(2,1)在可行域內(nèi)，滿足不等式，所以B不正確；

當(dāng)a=l,集合A={(x,y)|x-y2l,ax+y>4,x-ayW2}={(x,y)|x-y2l,x+y>

4,x-yW2},顯然(2,1)0A,所以當(dāng)且僅當(dāng)“VO錯誤，所以C不正確；

故選：D.

【點評】本題考查線性規(guī)劃的解答應(yīng)用，利用特殊點以及特殊值轉(zhuǎn)化求解，避免可行域

的畫法，簡潔明了.

x<3

3.(2017?北京)若x,y滿足，1+y之2,則x+2y的最大值為()

y<x

A.1B.3C.5D.9

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；不等式.

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可.

x<3

【解答】解：x,y滿足，1+>之2的可行域如圖：

y<x

x=3

由可行域可知目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過可行域的4時，取得最大值，由I,可得A(3,

x=y

3),

目標(biāo)函數(shù)的最大值為：3+2X3=9.

故選：D.

【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，畫出可行域判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解題的關(guān)

鍵.

4.(2020?北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),則i?z=()

A.l+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i

【考點】復(fù)數(shù)的運算.

【專題】整體思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出z的表達式，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則進行計算即可.

【解答】解：???復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),

z=I+2i,

則i'z=i(l+2z)=-2+i,

故選:B.

【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)的表達式是解決本題

的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

5.(2020?北京)已知函數(shù)/(x)=2v-x-1,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(-°°,-1)U(1,+8)

C.(0,1)D.(-8,0)U(1,+8)

【考點】其他不等式的解法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析.

【分析】不等式即2x>x+l.由于函數(shù)y=2、和直線y=x+l的圖象都經(jīng)過點(0,1)、(1,

2),數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論.

【解答】解：不等式/(x)>0,即2x>x+\.

由于函數(shù)y=2'和直線y=x+l的圖象都經(jīng)過點(0,1)、

(1,2),如圖所示：

不等式/(x)>0的解集是(-8,o)U(1,+8),

故選：D.

【點評】本題主要考查其它不等式的解法，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

6.(2021?北京)若復(fù)數(shù)z滿足(l-i)?z=2,則2=()

A.-1-?B.-1+zC.1-iD.1+/

【考點】復(fù)數(shù)的運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則進行求解即可.

【解答】解：因為(1-i)?z=2,

訴.22(1+0一?

所以z=------=----------------=1+i-

1-i(1)(1+0

故選：D.

【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)除法的運算法則，屬于基

礎(chǔ)題.

7.(2019?北京)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則()

A.B.3C.3D.5

【考點】復(fù)數(shù)的運算.

【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).

【分析】直接由|Z「求解.

【解答】解：Vz=2H,

—2cc0

??Z，z=|z|=，2^+r)=5-

故選：D.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)及其運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題.

8.(2018?北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一J—的共粗復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則，化簡求解即可.

【解答】解：復(fù)數(shù)」一1+i-1?1

fb

1-i(l-i)(l+i)2~2

共物復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)(工，-_￡)在第四象限.

22

故選：D.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基本知識的考查.

9.(2017?北京)若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值

范圍是()

A.(-8,1)B.(-8,-1)C.(1,+8)D.(-1,+8)

【考點】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)=4+1+(1-a)/在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，可得

a+1V0

，解得a范圍.

l-a>0

【解答】解：復(fù)數(shù)(17)(a+i)=a+l+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,

ja+l<0

解得a<-1.

(l-a>0

則實數(shù)a的取值范圍是(-8,-1).

故選：B.

【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

填空題（共6小題）

x<2,

10.（2019?北京）若x,y滿足~2—1,則v-x的最小值為-3,最大值

4o?-3y+l>0,

為1.

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】由約束條件作出可行域，令2=^-羽作出直線了=羽平移直線得答案.

x<2,

【解答】解：由約束條件，y>-l,作出可行域如圖，

4x-3y+l>0,

☆z=y-x,作出直線、=方由圖可知，

平移直線產(chǎn)=為當(dāng)直線z=），-x過A時，z有最小值為-3,過8時?，z有最大值1.

故答案為：-3,1.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

11.（2018?北京）若x,y滿足x+lWyW2x,則2v-x的最小值是3.

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進行求解即可.

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

11

設(shè)z=2y-x,則y="x+—z,

22

平移尸_Lx+_Lz，

22

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點4時,

22

直線的截距最小，此時Z最小，

[1+1=丫(X=1

由,得,，即A(1,2),

y=2x(y=2

此時z=2X2-1=3,

故答案為：3

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合是解決

本題的關(guān)鍵.

12.(2018?北京)能說明“若。＞〃，則」＜-1”為假命題的一組小6的值依次為〃=1,

ab

b=-1.

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯.

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用特殊值法進行求解即可.

【解答】解：當(dāng)。＞0,人＜0時，滿足。＞從但」為假命題,

ab

故答案可以是a=l,b=-1,

故答案為：a—1＞b--1.

【點評】本題主要考查命題的真假的應(yīng)用，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.比較

基礎(chǔ).

13.（2017?北京）能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實數(shù).若a>b>c,則a+匕〉c”是假命題的

一組整數(shù)a,b,c的值依次為-1,-2,-3.

【考點】反證法.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡易邏輯.

【分析】設(shè)a,b,c是任意實數(shù).若a>b>c,則a+8>c"是假命題，則若a>6>c,則

a+bWc”是真命題，舉例即可，本題答案不唯一

【解答】解：設(shè)a,b,c是任意實數(shù).若a>b>c,則a+6>c”是假命題，

貝I若則是真命題，

可設(shè)a,b,c的值依次-1,-2,-3,（答案不唯一），

故答案為：-1,-2,-3

【點評】本題考查了命題的真假，舉例說明即可，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2017?北京）已知x20,y20,且x+y=l,則f+夕的取值范圍是」工」

2

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化所求表達式，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

2

【解答】解：x20,y20,且x+y=l,則/+/=/+（1-x）=2?-2x+l,xe[0,1],

則令/（x）=2?-2x+l,AG[0,1],函數(shù)的對稱軸為：x=—,開口向上，

2

所以函數(shù)的最小值為：/（—）=」_+-1=_1.

2442

最大值為：/（I）=2-2+1=1.

1

則/+/的取值范圍是：[——，1].

2

故答案為：1—>1].

2

【點評】本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

15.（2017?北京）某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件:

(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.

②該小組人數(shù)的最小值為12.

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】計算題；簡易邏輯；推理和證明.

x>y

【分析】①設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為X,y人，若教師人數(shù)為4,貝小y>4，進而可得

2X4>a:

答案；

x>y

②設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x,y人，教師人數(shù)為Z,則,進而可得答案；

[2z>x

【解答】解：①設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x,y人，

若教師人數(shù)為4,

x>y

則，>>4,即4<yVx<8,

2X4>x

即x的最大值為7,y的最大值為6,

即女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.

②設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x,y人，教師人數(shù)為z,

x>y

貝小，BPz<y<x<2z

2z>x

即z最小為3才能滿足條件，

此時x最小為5,y最小為4,

即該小組人數(shù)的最小值為12,

故答案為：6,12

【點評】本題考查的知識點是推理和證明，簡易邏輯，線性規(guī)劃，難度中檔.

考點卡片

1.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識點的認識】

判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由

真值表判斷復(fù)合命題的真假.

注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2-2x+l=0的兩根都不是實根”,

因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分.

【解題方法點撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的

真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”,

則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命

題與否命題同真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且

全，多以小題形式出現(xiàn).

2.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【二次函數(shù)】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量,

因變量隨著自變量的變化而變化.它的一般表達式為：y^a^+bx+c(aWO)

【二次函數(shù)的性質(zhì)】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或

是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判

定、韋達定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點、準(zhǔn)線和曲線的平移.

這里面略談一下他的一些性質(zhì).

①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當(dāng)(<0)時，圖象開口向上(向下)；對稱

軸x=-—^―；最值為：f(-—^―)；判別式△=/??-4s當(dāng)△=()時，函數(shù)與x軸只有一

2a2a

個交點；△>?時，與X軸有兩個交點；當(dāng)△<()時無交點.

②根與系數(shù)的關(guān)系.若△》()，且XI、X2為方程y="2+bx+C的兩根，則有Xl+X2=-上，

a

XI*X2——；

a

③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以7=20，的焦點為(0,二),準(zhǔn)線方程為y=-2,含

22

義為拋物線上的點到到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離.

④平移：當(dāng)y=“(x+6)向右平移一個單位時，函數(shù)變成y=a(x-1+6)2+c；

【命題方向】

熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點和準(zhǔn)線的關(guān)

系，拋物線最值得取得，這也是一個?？键c.

3.簡單線性規(guī)劃

【概念】

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一

種重要的數(shù)學(xué)模型.簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃,其最優(yōu)解可

以用數(shù)形結(jié)合方法求出.我們高中階段接觸的主要是由三個二元一次不等式組限制的可行

域，然后在這個可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜率的最值.

【例題解析】

p+2y<8

例：若目標(biāo)函數(shù)z=x+y中變量x,y滿足約束條件<.

0<y<3

(1)試確定可行域的面積；

(2)求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解.

解：(1)作出可行域如圖：對應(yīng)得區(qū)域為直角三角形ABC,

其中B(4,3),A(2,3),C(4,2),

則可行域的面積S^—BC?AB=—XIX2=L

22

(2)由z=x+y,得丫=-*+2,則平移直線y=-x+z,

則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點A(2,3)時，直線y=-x+z得截距最小，

此時z最小為z=2+3=5,

當(dāng)直線經(jīng)過點8(4,3)時，直線y=-x+z得截距最大，

此時z最大為z=4+3=7,

故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為(4,3),(2,3)

這是高中階段接觸最多的關(guān)于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一

個坐標(biāo)系中表示出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標(biāo)函數(shù)的平移去找

到它的最值.

【典型例題分析】

題型一：二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線)，=履+分為面積相等的兩部分，則左的值是

()

7343

A.—B.—C.—D.——

3734

44

分析：畫出平面區(qū)域，顯然點(0,—)在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(0,

33

結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可.

解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

444

由于直線y=fcc+一過定點(0,—).因此只有直線過AB中點時，直線y=fcv+—能平分平

333

面區(qū)域.

[5

因為A(1,1),B(0,4),所以AB中點。(一，一).

22

當(dāng)尸質(zhì)+士過點(―,")時，所以左二二.

3222233

答案：A.

點評：二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域.

注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.測試點可

以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點.

題型二：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

X—3

“3x+53W25

典例2：設(shè)x,y滿足約束條件：1x21，求z=x+y的最大值與最小值.

分析：作可行域后，通過平移直線如x+y=0來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

解答：先作可行域，如圖所示中AABC的區(qū)域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1,),作

出直線/o：x+y=0,再將直線/o平移，當(dāng)/o的平行線/1過點B時，可使z=x+y達到最小值;

當(dāng)4)的平行線b過點A時,，可使Z=X+)，達到最大值.故Zmin=2,Z”wr=7.

OK*、2345

\zo^+y=o

點評：(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得.

（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線

的縱截距的關(guān)系.

題型三：實際生活中的線性規(guī)劃問題

典例3：某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假

設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價

1.2萬元0.55萬元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植

面積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

分析：根據(jù)線性規(guī)劃解決實際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件,

設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.

x+y<50

解析設(shè)種植黃瓜X畝，韭菜y畝，則由題意可知,1.21+0.9yW54

x,yWN

求目標(biāo)函數(shù)z=x+0.9y的最大值，

6d

50

4(30,20)

根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示.

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線/向右平移，移至點A（30,20）處時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植

30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大.故答案為：B

點評：線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列

成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題，再按如

下步驟完成：

（1）作圖--畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的

那一條/;

（2）平移--將/平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點A的位置；

（3）求值--解方程組求出A點坐標(biāo)（即最優(yōu)解），代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

題型四：求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

，一y-2W0,

{x+2y—420,

典例4：（1）設(shè)實數(shù)x,y滿足出一3W0,,則上的最大值為.

x

%+后2,

IxW1,

（2）已知。是坐標(biāo)原點，點A（1,0）,若點M（x,y）為平面區(qū)域上lj'W2，的一個

動點，則|石7+6疝的最小值是

分析：與二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的求解一

般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成.

y3

解答：（1）二表示點（X,y）與原點（0,0）連線的斜率，在點（1,—）處取到最大值.

x2

（2）依題意得，0正=（x+1，）力1瓦彳+5而=J+1）?+y2可視為點（X，

》）與點（-1,0）間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖

形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點中，由點（-1,0）向直線x+y=2引垂線的垂足位于該平面

區(qū)域內(nèi)，且與點（-1,0）的距離最小，因此1方1+碇1的最小值是」一1+?一21二

72

3/

?

2

故答案為：（1）史（2）當(dāng)2.

22

點評：常見代數(shù)式的幾何意義有

（1）V表示點（x,y）與原點（0,0）的距離;

（2）+（y-b）2表示點（X，y）與點b）之間的距離;

y一

（3），-表示點G,y）與原點（0,0）連線的斜率；

X

y—b

（4）-----表示點（x,y）與點（a,b）連線的斜率.

x—a

【解題方法點撥】

1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.

2.在通過求直線的截距上的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)b>0時，截距上_取最

bb

大值時，Z也取最大值；截距上取最小值時，Z也取最小值；當(dāng)〃<0時，截距上取最大值

bb

z

時，Z取最小值；截距一取最小值時，Z取最大值.

b

4.其他不等式的解法

【知識點的知識】

不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.

特例：

①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式nf+fov+cX）（aWO）解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

翳。-簫。北鬻“

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解.

?質(zhì)定義域

[/(x)>g(x)

>o

.7(-r>o/(x"0

怎

x)o或v

。>-@"(x)<g(x)=<

/l(飄x)g(x)>0

x)-2v<o

>x)/(x)<[g(x)]2

!/(x)[g

(4)指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

>1)=/(x)>g(x):>a*">(0<a<1)o/(x)<g(x)

a1'^>b(a>0,d>0)o/(x)-lga>lg6

(5)對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

f/(x)>0[/(x)>0

log=/(X)>log.g(x)(a>1)o'g(x)>0;log4/(x)>log,g(x)(0vav1)o,g(x)>0

l/(x)>g(x)f(x)<g(x)

(6)含絕對值不等式

①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；

②應(yīng)用數(shù)形思想；

③應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化.

1/(x)l<g(x)o{-g(x)</(X)<g(x)

I/(x)|>g(x)og(x)<05x)，g(麗同寸為。臧{淤囪(x麗(x)>g(x)

注：常用不等式的解法舉例(X為正數(shù))：

①x(l-x)2=i-2x(l-xXl-x)<i(1)3=之

22327

22

②j=x(l-x)=y=2XP：X1X1<L(Ly=±=>y<l^_

類似于y=sinxcos'=sinxQ-sinG),③|x+L|=|x|+|白|(詣[同號，故取等)22

rrr

5.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)

【虛數(shù)單位，?的概念】

，是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，，2=-1,所以，?是7的平方根.我們把4+6的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，

把a=0且6W0的數(shù)叫做純虛數(shù)，aWO,且。=0叫做實數(shù).復(fù)數(shù)的模為、/a?+b工

【復(fù)數(shù)的運算】

①復(fù)數(shù)的加法，若M=a+沅，N=c+di,那么M+N=(a+c)+(b+d)i,即實部與實部相加,

虛部與虛部相加.

②復(fù)數(shù)的乘法，若M=a+〃i,N=c+di,那么M?N=(ac-bd)+Cad+bc)i,與多項式乘法

類似，只不過要加上i.

【例題解析】

例：定義運算，［=ad—bc，則符合條件1-1

=4+2W勺復(fù)數(shù)2為.

zzi

解：根據(jù)定義，可知IXZi-(-1)