2023學(xué)年完整公開課版charpter4

第四章電磁場中的帶電粒子§4.2中心力場中粒子運動§4.3氫原子及類氫離子§4.4赫爾曼-費曼定理§4.1中心力場中粒子運動的一般性質(zhì)

在大自然中,廣泛存在在中心力場中運動的物體的問題.如右圖的太陽系,各個行星就是在太陽的引力場中運動.而下圖則是帶電粒子之間的相互作用.例如,在原子中核外的電子就是在原子核的庫侖勢中運動.這些運動的突出特點就是物體之間的相互作用只與它們之間的相對距離有關(guān).兩體問題化為單體問題其實,中心力場中的運動,在一般坐標(biāo)系中,是個兩體問題.系統(tǒng)總能量或

質(zhì)心坐標(biāo)相對坐標(biāo)可以證明總質(zhì)量約化質(zhì)量能量本征方程質(zhì)心運動相對運動質(zhì)心運動部分與體系內(nèi)部結(jié)構(gòu)無關(guān),不考慮.相對運動部分的運動方程與單體薛定諤方程相似.不過質(zhì)量理解為約化質(zhì)量,能量為相對運動能量.角動量守恒與徑向方程角動量守恒在中心力場中是顯然成立的,則可以選擇{H,l2,lz}為力學(xué)量完全集,在球坐標(biāo)中,徑向動量算符,為厄米算符能量本征方程本征態(tài)為徑向方程上式?jīng)Q定了在不同的中心力場中,其徑向波函數(shù)及其能量本征值.能量與磁量子數(shù)無關(guān),因為球?qū)ΨQ性.光譜學(xué)的習(xí)慣徑向動量的厄米性薛定諤方程的解在坐標(biāo)原點的行為假定徑向方程通常遇到的中心力場有:庫侖勢,湯川勢線性勢,諧振子勢對數(shù)勢令所謂指數(shù)方程第二個解為非物理的.因為根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,在坐標(biāo)原點的領(lǐng)域任意體積元內(nèi)的粒子幾率為有限值.練習(xí)4.2無限深球方勢阱勢場為無限深球方勢阱徑向波函數(shù)的邊界條件為令半奇數(shù)階的貝塞爾方程上方程的2個線性無關(guān)的解與,則得非物理解最后徑向波函數(shù)取為由邊界條件得當(dāng)取有限值時,只能取一系列分立值.

令的根依次記為,則粒子的能量本征值表為

特例:對s態(tài)()

徑向波函數(shù)的歸一化系數(shù)和正交性:練習(xí)4.3三維各向同性諧振子

考慮質(zhì)量為

的粒子在三維各向同性諧振子勢漸近行為:徑向波函數(shù)可令:漸近行為:合流超幾何方程物理解為:(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))因為能級簡并度為:

本征態(tài)

本征態(tài)對于諧振子,在直角坐標(biāo)也可以求解:可以分離變量為:相當(dāng)于3個一維諧振子,其能量本征值為:能級簡并度為:),而核外只有一個帶負(fù)電荷,而對類氫離子氫原子和類氫離子的原子核帶正電荷+Ze(對氫原子§4.3氫原子及類氫離子

的電子原子核與電子之間的庫侖勢為,約化徑向方程為:

漸近行為:,則令徑向波函數(shù)可取:合流超幾何方程漸近行為:

玻爾半徑,玻爾第n軌道速度,精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù),它表征電磁相互作用的強度.

,電子可脫離原子核而電離,電離能為.當(dāng)氫原子基態(tài)能級為氫原子和類氫原子的能級和本征態(tài)為:有關(guān)能級討論(1)能級簡并度為n2(2)能級隨n的增大而增大,相鄰能級差為時,能量為.(3)解釋光譜線規(guī)律

計算當(dāng)氫原子或類氫離子處于定態(tài)在點體積元內(nèi)找到電子的幾率為:波函數(shù)的討論(1)徑向幾率分布的極值點位置求

即氫原子和類氫離子的最概然半徑與玻爾的量子論給出的半徑相同.出為(2)角向幾率分布zyx

xyZxyz

=2

是垂直于流方向的面元,則通過此面元的電流元為電子的幾率流密度為

電流密度與磁矩易得:

設(shè)小電流元磁矩電流環(huán)體積總磁矩為玻爾磁子§4.4海爾曼-費曼定理證明:

HF定理設(shè)體系的哈密頓算符含有某參量

,且能量本征值為En的歸一化本征函數(shù)(束縛態(tài))為

n(n為表征本征態(tài)的一組量子數(shù)),則:

能量本征方程

HF定理的應(yīng)用例1:質(zhì)量為

的粒子在中心力場中運動,試用HF定理和位力定理分析能級構(gòu)成與的關(guān)系.解:

由HF定理

而位力定理