2023-2024學(xué)年福州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷附答案解析

-2024學(xué)年福州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分2024.01一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．38 B．39 C．40 D．412．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．3．若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-8x-6y+m=0內(nèi)切，則m=（

）A．25 B．9 C．-9 D．-114．在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線（，為常數(shù)）過(guò)點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A．， B．， C．， D．，5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，一條漸近線為l，過(guò)點(diǎn)且與l平行的直線交雙曲線C于點(diǎn)M，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．36．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形分成四個(gè)全等的正三角形，第一次挖去中間的一個(gè)小正三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去一個(gè)小正三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基三角形.設(shè)是第n次挖去的小正三角形面積之和（如是第1次挖去的中間小正三角形面積，是第2次挖去的三個(gè)小正三角形面積之和），則（

）A．B．是等差數(shù)列C．D．前n次挖去的所有小正三角形面積之和為8．已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個(gè)整數(shù)，使得點(diǎn)在直線l上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點(diǎn)在圓C的內(nèi)部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，則11．已知分別為橢圓和雙曲線的公共左，右焦點(diǎn)，（在第一象限）為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為 B．雙曲線的離心率為C．橢圓的離心率為 D．12．已知，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若直線：與直線：垂直，則實(shí)數(shù)的值為．14．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則．15．已知雙曲線：的下、上焦點(diǎn)分別為，．點(diǎn)在軸上，線段交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．16．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若有兩個(gè)都小于0的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．在中,角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的值;(2)若,求的面積.19．如圖，平面，平面，，，，.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．已知橢圓的右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，若，求直線的方程．21．已知數(shù)列滿足（），.(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若記為滿足不等式的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)，求出，然后用公式計(jì)算即可.【詳解】在等數(shù)列中，，所以，解得，所以，故選：B.2．D【分析】先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)即是拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出準(zhǔn)線方程.【詳解】∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：D.3．D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑為（），由于兩圓內(nèi)切，所以，即，即，（無(wú)解）或，解得.故選：D4．C【分析】由題意將點(diǎn)代入得，求導(dǎo)得，由題意將點(diǎn)代入得，聯(lián)立即可得解.【詳解】∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由兩直線平行可得①.又∵點(diǎn)在曲線上，∴②，由①②解得，.故選：C.5．B【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)一條漸近線l的方程為，因此直線的傾斜角的正切值為，即，所以有，設(shè)，由雙曲線定義可知：，由余弦定理可知：，故選：B6．D【分析】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范圍即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，所以的取值范圍是.故選：D.7．D【分析】根據(jù)圖形可知：每次挖去的小三角形面積之和構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】原正三角形的面積為，由題意可知：第次挖去個(gè)小正三角形，且每次挖去的小三角形面積之和構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，故C不正確；，故A不正確；是等比數(shù)列，故B不正確；由等比數(shù)列的求和公式可得前n次挖去的所有小正三角形面積之和為:，故D正確.故選：D.8．C【分析】由定義域得為正整數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法研究的圖象，直線l過(guò)定點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可判斷的值，進(jìn)而列不等式組確定參數(shù)范圍.【詳解】點(diǎn)在直線l上方，即，因?yàn)椋杂星覂H有一個(gè)正整數(shù)解.設(shè)，則單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，所以.又，故可得圖象如下圖，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)，有無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù)解，不合題意，故，又有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，故2是唯一的正整數(shù)解，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：直線l過(guò)定點(diǎn)，則原命題可轉(zhuǎn)化為直線l繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而滿足條件，可由導(dǎo)數(shù)法研究的圖象，由數(shù)形結(jié)合列式求解.9．ACD【分析】先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，則圓心，半徑，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓C的外部，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓C相切，所以C正確，對(duì)于D，圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，，所以圓與圓C相交，所以D正確，故選：ACD10．BC【分析】由前項(xiàng)和求得后判斷AB，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)判斷CD．【詳解】選項(xiàng)A，時(shí)，，，，，，不是等差數(shù)列，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，，時(shí)，，又符合上式，所以，是等比數(shù)列，B正確；選項(xiàng)C，若是等差數(shù)列，則，C正確；選項(xiàng)D，若，則，，而，D錯(cuò)誤，故選：BC．11．BCD【分析】設(shè)，則，由雙曲線定義得，，再由余弦定理得，然后由橢圓定義得，利用余弦定理求得，再求三角形周長(zhǎng)，求出橢圓、雙曲線的離心率，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】設(shè)，則，，，中由余弦定理，得，化簡(jiǎn)得，，D正確；又，所以，又，的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；中，，由余弦定理得，所以，因此雙曲線的離心率為，B正確；橢圓的離心率為，C正確，故選：BCD．12．BC【分析】利用特殊值法可判斷AD選項(xiàng)的正誤；構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，分、兩種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤；證明對(duì)數(shù)平均不等式：對(duì)任意的、且，，利用對(duì)數(shù)平均不等式可判斷C選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，但不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，①若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，且，故；②若，則.綜上，，B選項(xiàng)正確；先證明對(duì)任意的、且，，不妨設(shè)，即證，令，即證，令，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，對(duì)任意的、且，，因?yàn)椋瑒t，所以，，可得，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，但，D選項(xiàng)不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問(wèn)題，常見(jiàn)的思路有兩個(gè)：（1）判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問(wèn)題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.13．或【分析】根據(jù)直線垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于兩直線垂直，所以，解得或.故答案為：或14．【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，令，即可得到，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，令，則，即，解得，所以，所以.故答案為：15．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及雙曲線的定義來(lái)求得.【詳解】由雙曲線得，如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓與直線相切于，則，根據(jù)雙曲線的定義有，即，則，即，所以.故答案為：16．【分析】先求得，然后求得，進(jìn)而求得，求得的最小值，由此解不等式求得的取值范圍.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也符合上式，所以.則，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，最小值為，所以，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】已知的表達(dá)式，求的通項(xiàng)公式，可以利用來(lái)進(jìn)行求解，在求解的最后，要注意驗(yàn)證首項(xiàng).形如的數(shù)列求和，可以考慮利用裂項(xiàng)求和法來(lái)進(jìn)行求解，實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的進(jìn)一步運(yùn)用.17．(1)，(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解不等式，即可求得答案；（2）由題意可得有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的根的分布，列不等式求解，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋叶x域?yàn)?，所以，（），令，得或．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)橛袃蓚€(gè)都小于0的極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．(1)；(2).【分析】(1)先用正弦定理邊化角,再逆用兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解;(2)利用余弦定理求出邊,然后代入三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）解:由題意知,在中,將正弦定理代入有,所以,即,即,即,因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以；（2）由(1)知,在中,由余弦定理可知,即,解得或（舍）,所以.19．(1)證明見(jiàn)解析.(2).【分析】（1）運(yùn)用線面平行判定定理、面面平行判定定理可證得面面，運(yùn)用面面平行性質(zhì)可證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法求線面角即可.【詳解】（1）證明：∵，面，面，∴面，又∵面，，、面，∴面面，又∵面面，面面，∴.（2）以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，設(shè)直線CE與平面所成角為，則.所以直線CE與平面所成角為.20．(1)(2)【分析】（1）由條件寫出關(guān)于的方程組，即可求橢圓方程；（2）首先直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可求參數(shù).【詳解】（1）由題意得，，，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）依題意，知，設(shè)，．聯(lián)立消去，可得．，即，，，．，．，，整理，得，解得或（舍去）．直線的方程為．21．(1)證明見(jiàn)解析，(2)7【分析】（1）兩邊取倒數(shù)得到，從而得到是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，求出，求出通項(xiàng)公式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上解不等式得到，從而得到，，數(shù)列遞增，再利用錯(cuò)位相減法求和得到，結(jié)合，得到答案.【詳解】（1）由取倒數(shù)得，故，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以滿足條件的整數(shù)k的個(gè)數(shù)為，即，所以，故數(shù)列遞增，所以，則，兩式相減可得，所以，.因?yàn)?，所以，因此，滿足的最大正整數(shù)n的值為7.22．(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求切線的斜率，從而可求切線方程.（2）利用參變分離結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求參數(shù)的取值范圍，我們也可以利用分類討論求出函數(shù)的最值，根據(jù)最值的性質(zhì)討論參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．故切線的斜率，又切點(diǎn)為切線方程為，化簡(jiǎn)得．（2）法1：當(dāng)時(shí)，恒成立，故，也就是，即，由得，令，則，令，則，可知在單調(diào)遞增，則，即在恒成立，．故在單調(diào)遞增，所以，故在恒成立．所以在單調(diào)遞增，而，所以，故．法2：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，故，由，令，得