高考數學人教B版一輪復習測評8-6利用空間向量證明空間中的位置關系

核心素養(yǎng)測評四十三利用空間向量證明空間中的位置關系(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(2,1,1),則 ()A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交【解析】選C.因為a=(1,0,2),n=(2,1,1),所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l?α.2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,1),c=ma+nb+(4,4,1).若c與a及b都垂直,則m,n的值分別為 ()A.1,2 B.1,2C.1,2 D.1,2【解析】選A.由已知得c=(m+4,m+2n4,mn+1),故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n9=0.解得m=1,n=2.3.已知平面α內有一點M(1,1,2),平面α的一個法向量為n=(6,3,6),則下列點P中,在平面α內的是 ()A.P(2,3,3) B.P(2,0,1)C.P(4,4,0) D.P(3,3,4)【解析】選A.逐一驗證法,對于選項A,QUOTE=(1,4,1),所以QUOTE·n=612+6=0,所以QUOTE⊥n,所以點P在平面α內,同理可驗證其他三個點不在平面α內.4.如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,點M,P,Q分別為棱AB,CD,BC的中點,若平行六面體的各棱長均相等,則:①A1M∥D1P;②A1M∥B③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB以上說法正確的個數為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE∥QUOTE,所以A1M∥D1P,由線面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正確.5.如圖,F是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD的中點.E是BB1上一點,若D1F⊥DE,A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=QUOTEEB D.E與B重合【解析】選A.分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設E(2,2,z),則QUOTE=(0,1,2),QUOTE=(2,2,z),因為QUOTE·QUOTE=0×2+1×22z=0,所以z=1,所以B1E=EB.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若A0,2,QUOTE,B1,1,QUOTE,C2,1,QUOTE是平面α內的三點,設平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=________.

【解析】QUOTE=1,3,QUOTE,QUOTE=2,1,QUOTE,a·QUOTE=0,a·QUOTE=0,QUOTEx∶y∶z=QUOTEy∶y∶QUOTEy=2∶3∶(4).答案:2∶3∶(4)7.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線ON,AM的位置關系是________【解析】以A為原點,分別以QUOTE,QUOTE,QUOTE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則A(0,0,0),MQUOTE,OQUOTE,NQUOTE,0,1,QUOTE·QUOTE=0,1,QUOTE·0,QUOTE,1=0,所以ON與AM垂直.答案:垂直8.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是棱BC,DD1上的點,如果B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和的值為________. 導學號【解析】以D1A1,D1C1,D則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1y),B(1,1,1),所以QUOTE=(x1,0,1),QUOTE=(1,1,y),因為B1E⊥平面ABF,所以QUOTE·QUOTE=(1,1,y)·(x1,0,1)=0,所以x+y=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=QUOTE,AF=1,M是線段EF的中點.求證:(1)AM∥平面BDE. 導學號(2)AM⊥平面BDF.【證明】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,設AC∩BD=N,連接NE.則NQUOTE,QUOTE,0,E(0,0,1),A(QUOTE,QUOTE,0),MQUOTE,QUOTE,1,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,QUOTE=QUOTE,QUOTE,1.所以QUOTE=QUOTE且NE與AM不共線.所以NE∥AM.又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,因為D(QUOTE,0,0),F(QUOTE,QUOTE,1),所以QUOTE=(0,QUOTE,1)所以QUOTE·QUOTE=0,所以AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.10.如圖所示,已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側面PBC⊥底面ABCD. 導學號證明:(1)PA⊥BD.(2)平面PAD⊥平面PAB.【證明】(1)取BC的中點O,連接PO,因為平面PBC⊥底面ABCD,△PBC為等邊三角形,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO?平面PBC,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中點O為坐標原點,以BC所在直線為x軸,過點O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.不妨設CD=1,則AB=BC=2,PO=QUOTE,所以A(1,2,0),B(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,QUOTE),所以QUOTE=(2,1,0),QUOTE=(1,2,QUOTE).因為QUOTE·QUOTE=(2)×1+(1)×(2)+0×(QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,所以PA⊥BD.(2)取PA的中點M,連接DM,則MQUOTE,1,QUOTE.因為QUOTE=QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(1,0,QUOTE),所以QUOTE·QUOTE=QUOTE×1+0×0+QUOTE×(QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即DM⊥PB.因為QUOTE·QUOTE=QUOTE×1+0×(2)+QUOTE×(QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即DM⊥PA.又因為PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以DM⊥平面PAB.因為DM?平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.(15分鐘35分)1.(5分)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點M在AC1上且QUOTE=QUOTE,N為B1B的中點,則|QUOTE|為 ()A.QUOTEa B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選A.以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,QUOTE.設M(x,y,z),因為點M在AC1上且QUOTE=QUOTE,所以(xa,y,z)=QUOTE(x,ay,az),所以x=QUOTEa,y=QUOTE,z=QUOTE,得MQUOTE,QUOTE,QUOTE,所以|QUOTE|=QUOTE=QUOTEa.2.(5分)(多選)已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點,如果=(2,1,4),=(4,2,0),=(1,2,1).下列結論正確的是 ()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的法向量D.∥【解析】選ABC.因為·=0,·=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,則AB正確.又與不平行,所以是平面ABCD的法向量,則C正確.由于==(2,3,4),=(1,2,1),所以與不平行,故D錯誤.3.(5分)已知平面α內的三點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量n=(1,1,1),則不重合的兩個平面α與β的位置關系是________.

【解析】設平面α的法向量為m=(x,y,z),由m·QUOTE=0,得x·0+yz=0?y=z,由m·QUOTE=0,得xz=0?x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=n,所以m∥n,所以α∥β.答案:α∥β4.(10分)如圖所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A、C1C、BC的中點.求證(1)DE∥平面ABC.(2)B1F⊥平面【證明】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,令AB=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中點N,連接CN,則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以QUOTE=(2,4,0),QUOTE=(2,4,0),所以QUOTE=QUOTE,所以DE∥NC,又因為NC?平面ABC,DE?平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)由(1)知QUOTE=(2,2,4),QUOTE=(2,2,2),QUOTE=(2,2,0).QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×(2)+(4)×(2)=0,QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×2+(4)×0=0.所以QUOTE⊥QUOTE,QUOTE⊥QUOTE,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,又因為AF∩FE=F,所以B1F⊥平面AEF.5.(10分)在四棱錐PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點.(1)求證:EF⊥CD. 導學號(2)在平面PAD內求一點G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結論.【解析】(1)如圖,以DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設AD=a,則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,QUOTE,0、P(0,0,a)、FQUOTE,QUOTE,QUOTE.QUOTE=QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(0,a,0).因為QUOTE·QUOTE=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即EF⊥CD.(2)設G(