第2章 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

第二章導(dǎo)熱基本定律和穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱主要內(nèi)容：導(dǎo)熱基本定律及導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱微分方程式及定解條件平壁、圓筒壁、球壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱通過肋片的導(dǎo)熱及散熱量的計(jì)算2-1導(dǎo)熱基本定律及導(dǎo)熱系數(shù)一、基本概念

溫度場(chǎng)：導(dǎo)熱體中某時(shí)刻空間所有各點(diǎn)的溫度分布。溫度場(chǎng)是時(shí)間和空間的函數(shù)，即穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)：當(dāng)溫度不隨時(shí)間變化時(shí)稱為穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。即：非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)：物體內(nèi)各點(diǎn)溫度隨時(shí)間變化稱為非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。即：根據(jù)溫度與坐標(biāo)的關(guān)系可分：一維穩(wěn)定（非穩(wěn)定）溫度場(chǎng)、二維穩(wěn)定（非穩(wěn)定）溫度場(chǎng)、三維穩(wěn)定（非穩(wěn)定）溫度場(chǎng)。2.等溫面和等溫線

澆注15分鐘后砂型中的溫度場(chǎng)等溫面：同一時(shí)刻、溫度場(chǎng)中所有溫度相同的點(diǎn)連接起來所構(gòu)成的面。等溫線：用一個(gè)平面與各等溫面相交，在這個(gè)平面上得到一個(gè)等溫線簇。等溫面與等溫線的特點(diǎn)：(1)溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交。（2）在連續(xù)的溫度場(chǎng)中，等溫面或等溫線不會(huì)中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線）,或者就終止與物體的邊界上。（3）等溫面（線）上沒有溫差，沿等溫面（線）不會(huì)有熱量傳遞。不同的等溫面之間，有溫差，有熱量傳遞。（4）熱流線與等溫線（面）垂直。熱流線——表示熱量傳遞方向的線。（5）由等溫線（面）的疏密可直觀反映不同區(qū)域熱流密度的大小。（3）溫度梯度

沿等溫面法線方向上的溫度增量與法向距離比值的極限。

溫度梯度和熱流密度溫度梯度是向量，垂直于等溫面，正向朝著溫度增加的方向；溫度梯度的方向是溫度變化率最大的方向。

△m△n注意：溫度梯度的解析定義：溫度場(chǎng)中點(diǎn)處的溫度梯度：溫度場(chǎng)中方向的方向?qū)?shù)當(dāng)與方向相同時(shí)：達(dá)到最大。梯度方向的方向?qū)?shù)最大，其值等于梯度的模。即，梯度方向是溫度變化最大的方向。（4）熱流密度

熱流密度是指單位時(shí)間經(jīng)過單位面積所傳遞的熱量，用q表示，單位為。

熱流量是指單位時(shí)間內(nèi)通過面積F所傳遞的熱量，用Q表示，單位為W。

熱流密度和熱流量都是矢量，它們和溫度梯度位于等溫面的同一法線上，且沿溫度降低方向?yàn)檎?/p>

總熱量是指在時(shí)間

內(nèi)通過面積F所傳遞的熱量，用Qτ表示，單位為J或kJ。2導(dǎo)熱基本定律－－Fourier’sLaw導(dǎo)熱的熱流密度與溫度梯度成正比，即：—導(dǎo)熱系數(shù)，物性值。單位為W/(m·K)。負(fù)號(hào)是因?yàn)闊崃髅芏扰c溫度梯度的方向相反。熱流密度為矢量，其在x、y、z軸上的投影用傅立葉定律表示為：對(duì)于一維導(dǎo)熱問題：3熱導(dǎo)率熱導(dǎo)率的定義式可由傅立葉定律的表達(dá)式得出物理意義：表示了物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小，是在單位溫度梯度作用下的熱流密度。工程計(jì)算采用的各種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)值都是由專門實(shí)驗(yàn)測(cè)定出來的。注意：熱導(dǎo)率的數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。（2）影響因素：

物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等，與材料的種類有關(guān)：與材料的幾何形狀無關(guān)。對(duì)金屬：因?yàn)殡s質(zhì)造成晶格彈性變，影響自由電子運(yùn)動(dòng)。紫銅黃金鋁黃銅鋼鐵不銹鋼銀303204884516410385對(duì)多孔性材料（非導(dǎo)電固體）：由于空隙所含空氣多，導(dǎo)熱系數(shù)小，使得金屬少孔多孔（3）不同物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)不同的原因：構(gòu)造差別，導(dǎo)熱機(jī)理不同

a.氣體的導(dǎo)熱系數(shù)

機(jī)理：由分子的熱運(yùn)動(dòng)和相互碰撞產(chǎn)生的能量傳遞。氣體導(dǎo)熱機(jī)理示意圖氣體分子運(yùn)動(dòng)均方根速度氣體的密度；氣體的定容比熱氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程氣體的壓力升高時(shí)：氣體的密度增大、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變。特點(diǎn)：1.氣體的導(dǎo)熱系數(shù)幾乎不隨壓力的改變而變化。2.隨溫度的升高而增大。3.隨分子質(zhì)量的減小而增大。幾種氣體導(dǎo)熱系數(shù)和溫度的關(guān)系注意：混合氣體熱導(dǎo)率不能用部分求和的方法求，只能靠實(shí)驗(yàn)測(cè)定。b.液體的導(dǎo)熱系數(shù)機(jī)理：主要依靠晶格的振動(dòng)。特點(diǎn)：隨壓力的升高而增大隨溫度的升高而減小飽和條件下非金屬液體的導(dǎo)熱系數(shù)和溫度的關(guān)系液體的導(dǎo)熱：主要依靠晶格的振動(dòng)

c.固體的導(dǎo)熱系數(shù)機(jī)理：純金屬主要依靠自由電子的遷移，合金和非金屬主要依靠晶格的振動(dòng)傳遞能量純金屬：合金和非金屬：保溫材料：國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350℃時(shí)熱導(dǎo)率小于0.12w/(m.k)的材料（絕熱材料）金屬導(dǎo)熱與導(dǎo)電機(jī)理一致；良導(dǎo)電體為良導(dǎo)熱體金屬的導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)溫度的依變關(guān)系2-2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述

目的：確定導(dǎo)熱體內(nèi)部溫度的分布,從而進(jìn)一步用傅里葉定律計(jì)算換熱量、計(jì)算熱應(yīng)力。導(dǎo)熱微分方程式的推導(dǎo)理論基礎(chǔ)：Fourier定律+能量守恒定律導(dǎo)熱微分方程式假設(shè):(1)所研究的物體是各項(xiàng)同性的(isotropic)連續(xù)介質(zhì)；

(2)熱導(dǎo)率λ、比熱容ср和密度ρ皆為已知；

(3)物體內(nèi)具有均勻分布內(nèi)熱源，熱源強(qiáng)度

—單位體積的導(dǎo)熱體在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量。在導(dǎo)熱體內(nèi)任意取出一微元體，根據(jù)能量守恒定律，在時(shí)間導(dǎo)入微元體的總熱流量+微元體內(nèi)熱源生成的熱量

=微元體焓（內(nèi)能）的增量熱流密度為矢量，凈導(dǎo)入微元體的熱量寫成三個(gè)方向的凈熱量之和，即：根據(jù)傅立葉定律，在時(shí)間內(nèi)X方向?qū)胛⒃w的凈熱量為：凈導(dǎo)入=導(dǎo)入-導(dǎo)出同理可得,y，z方向凈導(dǎo)入微元體的熱量為：x，y，z三個(gè)方向凈導(dǎo)入的熱量為：

時(shí)間內(nèi)微元體的發(fā)熱量為：時(shí)間內(nèi)微元體的焓值變化為：將上述式代入能量守恒定律得：——三維、非穩(wěn)態(tài)、變物性、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程的一般形式。2幾種特殊情況①若物性參數(shù)λ,

Cp

,ρ均為常數(shù)②無內(nèi)熱源，常物性：③穩(wěn)態(tài)，常物性：④穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源：簡(jiǎn)寫為：

圓柱坐標(biāo)下的拉普拉斯方程：球坐標(biāo)下的拉普拉斯方程：常物性、無內(nèi)熱源、一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：3定解條件（單值性條件）

導(dǎo)熱微分方程+定解條件+求解方法=確定的溫度場(chǎng)單值性條件包括四項(xiàng)：幾何、物理、時(shí)間、邊界⑴幾何條件：說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小，它確定了研究問題的空間區(qū)域，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等；⑵物理?xiàng)l件：說明導(dǎo)熱體的物理特征，包括材料的熱物性和有無內(nèi)熱源等⑶時(shí)間條件（初始條件）：給定過程初始時(shí)刻所研究范圍（包括邊界）內(nèi)的溫度分布，其數(shù)學(xué)式為⑷邊界條件：說明了所研究對(duì)象的邊界上的換熱情況。常見的有以下三類邊界條件：①第一類邊界條件②第二類邊界條件：給定物體表面上熱流密度的分布隨時(shí)間的變化。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：最簡(jiǎn)單的情況：穩(wěn)態(tài)：a.非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：b.最簡(jiǎn)單的情況：c.穩(wěn)態(tài)時(shí):第二類邊界條件相當(dāng)于已知任何時(shí)刻物體邊界面方向溫度梯度值。特例：絕熱邊界面③第三類邊界條件：當(dāng)物體壁面與流體相接觸進(jìn)行對(duì)流換熱時(shí)，已知物體邊界上的對(duì)流換熱系數(shù)和周圍流體的溫度。牛頓冷卻定律傅里葉定律①坐標(biāo)軸與n同向：②坐標(biāo)軸與n反向：注意：a=0時(shí)，絕熱邊界條件

a→∞，第一類邊界條件nxx①②2-3單層及多層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2.3.1單層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱幾何條件：?jiǎn)螌悠桨搴穸葹棣奈锢項(xiàng)l件：ρ，c，λ已知，無內(nèi)熱源時(shí)間條件：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱邊界條件：第一類邊界條件工程中很多情況下可以忽略平壁面內(nèi)的傳熱，僅考慮厚向傳熱根據(jù)上面的條件可得：第一類邊界條件：直接積分：帶入邊界條件：

帶入傅里葉定律得熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況2.3.2變導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)單層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

對(duì)于上面大平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其它條件不變，只是導(dǎo)熱系數(shù)不為常數(shù)，而是隨溫度變化的線性函數(shù)

則熱流密度，由于熱量密度為常數(shù)，對(duì)上式分離變量積分：

式中：熱流量為：

溫度場(chǎng)：此問題的導(dǎo)熱微分方程為：

邊界條件為：

積分得：

代入邊界條件，得

所以

解之得：

溫度分布曲線熱流密度和熱流量也可以由傅立葉定律和所求得的溫度場(chǎng)來確定。q穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱流密度，為常數(shù)2.3.3多層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱多層平壁：由幾層不同材料組成假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似的認(rèn)為結(jié)合面上各處溫度相等邊界條件：（兩端的溫度）熱阻：由熱阻分析法：熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況問：現(xiàn)在已知q,如何計(jì)算其中第i層的右側(cè)壁溫？第一層：第二層：......第i層：接觸熱阻固體表面的實(shí)際接觸情況固體兩個(gè)表面不可能處處接觸，在離開部分形成空隙，在空隙中常常充滿空氣。熱量將以導(dǎo)熱和輻射的方式穿過這個(gè)氣隙層。這種情況與兩固體表面真正完全接觸相比，增加了附加熱阻，稱之為接觸熱阻由于接觸面的情況比較復(fù)雜，接觸熱阻主要靠實(shí)驗(yàn)測(cè)定。2.4無限長圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱假設(shè)圓筒的長度為L

,圓壁筒的外半徑小于長度的1/10，忽略軸向、周向傳熱一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：第一類邊界條件：

單層圓筒壁對(duì)上述方程（a）積分兩次得：應(yīng)用邊界條件獲得兩個(gè)系數(shù)將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布圓筒壁內(nèi)溫度分布：圓筒壁內(nèi)溫度分布曲線的形狀？圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布圓筒壁單位長度的熱流密度圓筒壁穩(wěn)定導(dǎo)熱時(shí)，沿半徑方向的熱流量不變，則圓筒壁單位長度的熱流密度也不變。

[w/m]n層圓筒壁：由不同材料構(gòu)成的n層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計(jì)算通過單位長度圓筒壁的熱流量※其他變面積或變導(dǎo)熱系數(shù)問題求解導(dǎo)熱問題一般分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)；根據(jù)傅里葉定律和已獲得溫度場(chǎng)計(jì)算熱流量。對(duì)于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱問題，可以不通過溫度場(chǎng)直接獲得熱流量，此時(shí)，一維傅里葉定律：分離變量后，注意到熱流量Q與x無關(guān)（穩(wěn)態(tài)），得：當(dāng)λ隨溫度線性分布時(shí)，即實(shí)際上，不論λ如何改變，只要能計(jì)算出平均導(dǎo)熱系數(shù)，就可以利用前面所講過的所有定導(dǎo)熱系數(shù)的公式，只是需要將λ換成平均導(dǎo)熱系數(shù)λ。則例題2-3為了減少熱損失和保證安全工作條件，在外徑為133mm的蒸汽管道外覆蓋保溫層。蒸汽管外壁溫度為400℃。按電廠安全操作規(guī)定，保溫材料外側(cè)溫度不得超過50℃。如果采用水泥珍珠巖制品作保溫材料其導(dǎo)熱系數(shù)為W/(m·K)，(其中t的單位為℃)，為常數(shù)。為把每米長管道的熱損失控制在465W之下，問保溫層厚度至少應(yīng)為多少毫米？解:為確定導(dǎo)熱系數(shù)值，先算出保溫材料的平均溫度：

由單層圓筒壁的導(dǎo)熱計(jì)算公式:平均導(dǎo)熱系數(shù)為：保溫層厚度為：dI解：

電流通過電熱絲將發(fā)熱，假定發(fā)熱是均勻的。則此問題是無限長圓柱體內(nèi)具有均勻熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題.t圓柱坐標(biāo)形式導(dǎo)熱微分方程：對(duì)于該問題例題2-4一電熱絲直徑為2.03mm，電阻率導(dǎo)熱系數(shù)，Cp和ρ為常數(shù)，穩(wěn)態(tài)時(shí)通過電熱絲的電流為150A。試確定中心線上的溫度比表面溫度高多少？dIt邊界條件：（1）（2）絕熱面積分兩次，得：若要使上式有意義，則又由邊界條件（1）：也可得：由邊界條件（3）得：熱源強(qiáng)度

W/m3

℃

則所以2-6球壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

已知：空心球體，求：溫度場(chǎng)和熱流量解：導(dǎo)熱微分方程－球坐標(biāo)拉普拉斯方程：常物性、無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題所以邊界條件：

積分兩次，得：

利用邊界條件，可求出積分常數(shù)：

則溫度場(chǎng)為：

半徑不同，穿過不同等溫面的熱流密度也不相同，但熱流量不變

由傅立葉定律可求出熱流量－－單層球壁的導(dǎo)熱熱阻利用熱阻串聯(lián)的概念，則多層球壁導(dǎo)熱的熱流量計(jì)算公式為：－－多層球壁的導(dǎo)熱熱阻。

例題2-5用球壁導(dǎo)熱儀測(cè)定珠光砂（膨脹珍珠巖）的導(dǎo)熱系數(shù)，該裝置結(jié)構(gòu)如圖所示。兩同心空心球殼均由很薄的紫銅板制成，其熱阻可忽略不計(jì)。內(nèi)外層之間緊實(shí)地充填了珠光砂，內(nèi)層空心球殼中裝有電阻絲，通電所產(chǎn)生的熱量通過內(nèi)層球壁、珠光砂及外層球壁散發(fā)出去。內(nèi)外層球殼的直徑分別為80mm、160mm。穩(wěn)定導(dǎo)熱情況下測(cè)得內(nèi)外層球壁的表面溫度、分別為87.4℃和47.7℃；通過加熱器電阻絲的電流=83.6mA，電壓=26V，求此時(shí)珠光砂的平均導(dǎo)熱系數(shù)。

球壁導(dǎo)熱儀示意圖

忽略內(nèi)外球殼的導(dǎo)熱熱阻，則通過珠光砂的導(dǎo)熱量即為電阻絲的發(fā)熱量

W/(m·K)

即珠光砂在平均溫度時(shí)的導(dǎo)熱系數(shù)為0.05446W/(m·K)。解：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

電阻絲的發(fā)熱量為：2-6通過肋片的導(dǎo)熱及散熱量的計(jì)算第三類邊界條件下通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為了增加傳熱量，可以采取哪些措施？增大溫差，但受工藝條件限制。減小熱阻：金屬壁一般很薄，熱導(dǎo)率很大，導(dǎo)熱熱阻一般可以忽略；增大α1

,α2但提高α1

,α2并非任意的；增大換熱面積A；對(duì)流換熱：工業(yè)上強(qiáng)化換熱的措施：2.6.1通過等截面棒的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱lbδ

等截面直肋已知：等截面直肋肋根溫度，環(huán)境流體溫度側(cè)面與端面的對(duì)流換熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)與截面面積為常數(shù)

求：溫度分布、熱流量Q分析：嚴(yán)格地說，此為三維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源、第一、三類邊界條件的導(dǎo)熱問題。故此，忽略次要因素，抓主要矛盾，將問題簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化：棒材的導(dǎo)熱性能很好，截面積不大，周圍流體對(duì)其表面的對(duì)流換熱系數(shù)也不大?？山频卣J(rèn)為沿棒的橫截面溫度是均勻的，即溫度僅沿棒的長度方向變化。一維問題邊界條件：肋根，第一類、側(cè)面及端面對(duì)流換熱求解：微元法＋傅立葉定律＋能量守恒Q0QxQx+dxltfo

等截面棒穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱示意圖θldQ能量守恒：傅立葉定律：牛頓冷卻公式：U－－為棒橫截面的周長

令：則邊界條件：

通解為：

將邊界條件代入到上式中，有：應(yīng)用雙曲函數(shù)：棒向周圍流體傳遞的熱量可由基面(x=0)處的導(dǎo)熱量給出：端面絕熱,可令

此時(shí)的溫度分布及散熱量為：

例題2-6空壓機(jī)貯氣筒頂部裝一根鐵制測(cè)溫套管，套管內(nèi)裝有變壓器油，水銀溫度計(jì)插入套管中，用以測(cè)量氣筒中空氣溫度，如圖所示。溫度計(jì)指示出鐵管底部的溫度，由于沿管導(dǎo)熱的結(jié)果，管端的溫度必低于簡(jiǎn)內(nèi)空氣的溫度

。如果溫度計(jì)的讀數(shù)為℃，靠近管基處的溫度為℃，管的長度

管壁的厚度，其導(dǎo)熱系數(shù)，壓縮空氣與管壁的對(duì)流換熱系數(shù)，試求此時(shí)的測(cè)量誤差。l、

套管溫度計(jì)的示意圖解:溫度計(jì)套管可看作是從貯氣筒筒體上伸出的空心棒。插入套管底部的溫度計(jì)測(cè)出的溫度應(yīng)是其底部溫度，即棒端的溫度。由等截面棒的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱可知，棒端部的