專題06豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)模型（原卷版）

專題06豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)模型一．汽車過拱（凹）形橋模型1．汽車過拱形橋：汽車在橋上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，汽車的重力與橋?qū)ζ囍С至Φ暮狭μ峁┫蛐牧ΑＨ鐖D甲所示。由牛頓第二定律得：G－FN＝meq\f(v2,r)，則FN＝G－meq\f(v2,r)。汽車對(duì)橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚?duì)相互作用力，即F′N＝FN＝G－meq\f(v2,r)，因此，汽車對(duì)橋的壓力小于重力，而且車速越大，壓力越小。(1)當(dāng)0≤v<eq\r(gr)時(shí)，0<FN≤G。(2)當(dāng)v＝eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)N＝0.(3)當(dāng)v>eq\r(gr)時(shí)，汽車做平拋運(yùn)動(dòng)飛離橋面，發(fā)生危險(xiǎn)。甲乙2．汽車過凹形橋如圖乙所示，汽車經(jīng)過凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，兩個(gè)力的合力提供向心力，則FN－G＝meq\f(v2,r)，故FN＝G＋meq\f(v2,r)。由牛頓第三定律得：汽車對(duì)凹形橋面的壓力F′N＝G＋meq\f(v2,r)，大于汽車的重力。二．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩(過山車)模型小球沿豎直光滑軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在細(xì)繩作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，都是繩模型，如圖所示。甲乙(1)向心力分析①小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受向下的重力和向下的繩子拉力(或軌道彈力)作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力，mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)受向下的重力和向上的繩子拉力(或軌道彈力)作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力，F(xiàn)N－mg＝meq\f(v2,r)。(2)臨界條件小球恰好過最高點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足彈力FN＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，可得小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度v＝eq\r(gr)。(3)能過最高點(diǎn)的條件：v≥v臨。(4)不能通過最高點(diǎn)的條件：v＜v臨，實(shí)際上小球在到達(dá)最高點(diǎn)之前就脫離了圓軌道，如圖所示。三．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕桿(管)模型小球被一輕桿拉著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在豎直放置的光滑細(xì)管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，都是桿模型，如圖所示。甲乙(1)向心力分析①小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受桿(或軌道)的彈力和向下的重力作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力。若彈力向上：mg－FN＝meq\f(v2,r)；若彈力向下：mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)受桿(或軌道)向上的彈力和向下的重力作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力，F(xiàn)N－mg＝meq\f(v2,r)。(2)臨界條件：由于硬桿或管壁的支撐作用，小球能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度v臨＝0，輕桿或軌道對(duì)小球有支持力FN＝mg。(3)當(dāng)0＜v＜eq\r(gr)時(shí)，桿或內(nèi)管壁對(duì)小球的支持力FN＝mg－meq\f(v2,r)，支持力FN隨v的增大而減小，其取值范圍是0＜FN＜mg。(4)當(dāng)v＞eq\r(gr)時(shí)，桿對(duì)小球施加的是拉力，且拉力F＝meq\f(v2,r)－mg；或外管壁對(duì)小球有豎直向下的壓力FN＝meq\f(v2,r)－mg。【模型演練1】（2023下·北京延慶·高一統(tǒng)考期中）雜技表演中有一個(gè)“水流星”的節(jié)目：在一只水杯中裝上水，然后讓水杯在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水不會(huì)灑出來(lái)。如圖所示為水流星運(yùn)動(dòng)的示意圖，一細(xì)繩與水杯相連，杯中裝有水，水杯與細(xì)繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若水的質(zhì)量m=0.5kg，水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離L=40cm。（g=10m/s2）（1）若在最高點(diǎn)水不流出來(lái)，求桶的最小速率；（2）若在最高點(diǎn)水桶的速率v=4m/s，求桶底對(duì)水的壓力大小【方法總結(jié)】豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法(1)明確運(yùn)動(dòng)的模型，是輕繩模型還是輕桿模型。(2)明確物體的臨界狀態(tài)，即在最高點(diǎn)時(shí)物體具有最小速度時(shí)的受力特點(diǎn)。(3)分析物體在最高點(diǎn)及最低點(diǎn)的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律列式求解。【模型演練2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)度為的輕桿OA繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，A端連著一個(gè)質(zhì)量的小球，g取。求在下述兩種情況下，通過最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)U的作用力的大小和方向。(1)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為；(2)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為?！痉椒偨Y(jié)】(1)注意r/s與rad/s的不同。(2)先求小球受到桿的彈力，再用牛頓第三定律得出桿受小球的力。(3)當(dāng)未知力的方向不確定時(shí)，要采用假設(shè)正方向的辦法。【模型演練3】（2023下·山東日照·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量m=2.0×104kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為60m，如果橋面承受的壓力不得超過3.0×105N，重力加速度g=10m/s2，則：（1）分析汽車以相同速率分別通過凹形橋面最低點(diǎn)和凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，哪種情況對(duì)橋面壓力較大？（2）汽車允許的最大速率是多少？（3）若以所求速度行駛，汽車對(duì)橋面的最小壓力是多少？【規(guī)律總結(jié)】對(duì)于汽車過橋問題，具體的解題步驟如下：(1)選取研究對(duì)象，確定軌道平面、圓心位置和軌道半徑；(2)正確分析研究對(duì)象的受力情況，明確向心力是按作用效果命名的力，在受力分析時(shí)不能列出，明確向心力的來(lái)源；(3)根據(jù)平衡條件和牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程求解?！灸Ｐ脱菥?】1.（2023下·高一全國(guó)聯(lián)考期中）如圖甲，小球用不可伸長(zhǎng)的輕繩連接繞定點(diǎn)O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度大小為v，此時(shí)繩子拉力大小為FT，拉力FT與速度的平方v2的關(guān)系如圖乙所示，圖像中的數(shù)據(jù)a和b以及重力加速度g都為已知量，以下說法正確的是()A.數(shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量有關(guān)B.數(shù)據(jù)b與小球的質(zhì)量無(wú)關(guān)C.比值eq\f(b,a)只與小球的質(zhì)量有關(guān)，與圓周軌道半徑無(wú)關(guān)D.利用數(shù)據(jù)a、b和g能夠求出小球的質(zhì)量和圓周軌道半徑2.如圖所示，一輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，F(xiàn)N－v2圖像如圖所示。下列說法正確的是()A.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)B.小球的質(zhì)量為eq\f(a,b)RC.v2＝c時(shí)，桿對(duì)小球彈力方向向上D.若v2＝2b，則桿對(duì)小球彈力大小為2a【數(shù)理思想與模型建構(gòu)】1.數(shù)理思想是基于物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的科學(xué)思維方法。2.模型建構(gòu)(1)輕繩模型：①v＞eq\r(gR)時(shí)繩子的彈力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向豎直向下②v＝eq\r(gR)時(shí)繩子的彈力為零，是安全通過最高點(diǎn)的臨界條件(2)輕桿模型①v＞eq\r(gR)時(shí)輕桿對(duì)物體的彈力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向豎直向下②v＝eq\r(gR)時(shí)輕桿對(duì)物體的彈力為零，是物體所受彈力方向變化的臨界速度。③v＜eq\r(gR)時(shí)輕桿對(duì)物體的彈力FN＝mg－meq\f(v2,R)，方向豎直向上?！舅季S建構(gòu)】1.根據(jù)物理現(xiàn)象列出物理方程。如1：FT＋mg＝meq\f(v2,r)。2.根據(jù)物理方程整理成函數(shù)關(guān)系。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mg。3.將物理方程與一次函數(shù)相對(duì)應(yīng)。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mgeq\o(→,\s\up7(對(duì)應(yīng)))y＝kx＋b。4.根據(jù)函數(shù)思想對(duì)應(yīng)物理圖像分析求解?！绢}后感悟】1.清楚圓周運(yùn)動(dòng)中繩、桿模型的物理規(guī)律，列出正確的物理方程。2.對(duì)一次函數(shù)y＝kx＋b要非常熟練，會(huì)用會(huì)畫。3.熟練地將數(shù)學(xué)和物理結(jié)合起來(lái)，用圖像法來(lái)解決物理問題。一、單選題1．（2023下·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一同學(xué)表演蕩秋千，已知秋千的兩根繩長(zhǎng)均為10m，該同學(xué)的質(zhì)量為50kg，秋千踏板的質(zhì)量約為，繩的質(zhì)量忽略不計(jì)，當(dāng)該同學(xué)蕩到秋千支架的正下方時(shí)，速度大小為，此時(shí)每根繩子平均承受的拉力約為（）（g=10m/s2）A． B． C． D．2．（2023下·江蘇·高一階段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)固定在豎直平面上的光滑圓形管道，質(zhì)量為M，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，質(zhì)量為m，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知M>m，下列說法正確的是（

）A．小球通過管道最低點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)地面的壓力為(m＋M)gB．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)地面的壓力可能大于(m＋M)gC．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)地面的壓力不可能為零D．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)地面壓力可能為Mg3．（2023·四川眉山·統(tǒng)考一模）如圖，豎直面內(nèi)兩個(gè)完全相同的光滑圓弧軌道平滑對(duì)接，P、Q是等高的兩端。讓一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以沿切線的初速度從P端進(jìn)入軌道，則（

）A．小球在軌道最低點(diǎn)的機(jī)械能最大B．小球在軌道最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力最大C．初速度足夠大時(shí)，小球可能飛離“凹形”軌道D．初速度足夠大時(shí)，小球一定能通過“凸形”軌道最高點(diǎn)4．（2024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)將用長(zhǎng)約1m的充電線懸掛于固定點(diǎn)，拉開小角度釋放，在豎直面內(nèi)擺動(dòng)，傳感器記錄角速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，如圖所示，則（）A．在A→B過程中，速度增大B．在A、C兩點(diǎn)時(shí)，速度方向相反C．在C點(diǎn)時(shí)，線中的拉力最小D．在B、D兩點(diǎn)時(shí)，線中拉力方向相同5．（2024下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為N1，速度大小為v1，在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為N2，速度大小為v2，重力加速度大小為g，且v1、v2滿足關(guān)系式，則N1N2的值為（）A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg6．（2023下·貴州遵義·高一仁懷市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖所示，長(zhǎng)為的輕桿一端固定質(zhì)量為的小球，另一端固定在轉(zhuǎn)軸，現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，為圓周的最高點(diǎn)，若小球通過圓周最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為，忽略摩擦阻力和空氣阻力，則以下判斷正確的是（）A．小球不能到達(dá)點(diǎn)B．小球到達(dá)點(diǎn)時(shí)輕桿受到的彈力為0C．小球能到達(dá)點(diǎn)，且在點(diǎn)受到輕桿向上的彈力D．小球能到達(dá)點(diǎn)，且在點(diǎn)受到輕桿向下的彈力7．（2024上·北京海淀·高一清華附中?？计谀┰诠飞铣?huì)看到凸形和凹形的路面，如圖所示。一輛質(zhì)量為m的汽車，通過凸形路面的最高處時(shí)對(duì)路面的壓力為，通過凹形路面最低處時(shí)對(duì)路面的壓力為，則（

）A． B． C． D．8．（2024上·上海靜安·高一上海市市西中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，拱橋可以視為半徑為40m的圓弧面，如果要使汽車行駛至橋頂時(shí)對(duì)橋頂恰無(wú)壓力，，則汽車通過橋頂?shù)乃俣葢?yīng)為（）A．10m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s9．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）一個(gè)質(zhì)量為m的物體（體積可忽略），在半徑為R的光滑半球頂點(diǎn)處以水平速度運(yùn)動(dòng)，如圖所示，重力加速度為g，則下列說法正確的是（）A．若，則物體對(duì)半球頂點(diǎn)壓力為mgB．若，則物體對(duì)半球頂點(diǎn)的壓力為C．若，則物體對(duì)半球頂點(diǎn)的壓力為D．若，則物體對(duì)半球頂點(diǎn)的壓力為零10．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽省無(wú)為襄安中學(xué)校考期中）為美觀和經(jīng)濟(jì)，許多橋面建成拱形。汽車通過橋頂時(shí)，對(duì)橋面的壓力會(huì)減小，過快的汽車將失去控制、無(wú)法轉(zhuǎn)向，造成安全隱患，故拱形橋上都會(huì)有限速標(biāo)志。設(shè)汽車對(duì)橋面的壓力是其重力的0.6倍時(shí)，其速度就是限速標(biāo)志對(duì)應(yīng)的速度，橋頂圓弧對(duì)應(yīng)的半徑為100m，則該限速標(biāo)志所示速度約為（取）（）A．36km/h B．54km/h C．72km/h D．80km/h11．（2023下·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一汽車過半徑均為50m的圓弧形凹橋和凸橋，在凹橋的最低處和凸橋的最高處的速度大小均為10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，則在凸橋的最高處和凹橋的最低處汽車對(duì)橋面的壓力大小之比為（）A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:112．（2023下·四川德陽(yáng)·高一什邡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為美觀和經(jīng)濟(jì)，許多橋面建成拱形。汽車通過橋頂時(shí)，對(duì)橋面的壓力會(huì)減小，過快的汽車將失去控制、無(wú)法轉(zhuǎn)向，造成安全隱患，故拱形橋上都會(huì)有限速標(biāo)志。設(shè)汽車對(duì)橋面的壓力是其重力的0.6倍時(shí)，其速度就是限速標(biāo)志對(duì)應(yīng)的速度，橋頂圓弧對(duì)應(yīng)的半徑為100m，則該限速標(biāo)志所示速度約為（?。ǎ〢．36km/h B．54km/hC．70km/h D．80km/h二、多選題13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，桿的一端固定一小球，另一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上，小球隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O，半徑為l，重力加速度為g。當(dāng)小球通過最高點(diǎn)時(shí)（

）A．若速度大小為桿對(duì)小球的作用力豎直向上B．若速度大小為桿對(duì)小球的作用力豎直向下C．若速度大小為桿對(duì)小球的作用力豎直向上D．若速度大小為桿對(duì)小球的作用力豎直向下14．（2023下·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖甲所示，一輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，圖像如圖乙所示。下列說法正確的是（）A．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?B．小球的質(zhì)量為RC．v2=c時(shí)，桿對(duì)小球彈力方向向下 D．若c=2b，則桿對(duì)小球彈力大小為2a15．（2023下·天津和平·高一統(tǒng)考期末）如圖甲所示，小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）穿在豎直平面內(nèi)光滑的固定圓環(huán)上，繞圓心O點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其Fv2圖像如圖乙所示，g取10m/s2，則（

）A．小球的質(zhì)量為2kgB．固定圓環(huán)的半徑R為0.4mC．小球在最高點(diǎn)速度為4m/s時(shí)，圓環(huán)受到小球施加的豎直向下20N的彈力D．若小球恰好能做完整圓周運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)中所受圓環(huán)給的最大彈力為100N三、解答題16．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)?？计谀┤鐖D，輕桿長(zhǎng)為3L，在桿的兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，桿上距球A為L(zhǎng)處的點(diǎn)O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，桿和球可在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，球B對(duì)桿恰好無(wú)作用力，重力加速度為g。（1）當(dāng)球B在最高點(diǎn)時(shí)，球B的速度為多大；（2）當(dāng)球B在最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球A的作用力為多大；（3）若球B轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為，求此時(shí)桿對(duì)球A的作用力。17．（2023上·上海長(zhǎng)寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)為的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為的小球，另一端固定在點(diǎn)。現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸離地高，繩所能承受的最大張力為。（1）求小球通過最高點(diǎn)時(shí)最小速度的大??；（2）分析小球在何位置繩最易被拉斷?求出在此位置繩恰被拉斷時(shí)小球的角速度大小；（3）在（2）的情況下，求小球落地點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的水平距離及落地速度的大小和方向。18．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽省無(wú)為襄安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB為豎直半圓軌道的豎直直徑，軌道A端與水平面相切。質(zhì)量為0.4kg的光滑木塊從水平面上滑上A再經(jīng)過B，若在A、B兩點(diǎn)速度大小分別是、，到B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力恰好為零，g取10m/s2，求（1）軌道半徑的大??；（2）木塊經(jīng)A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；（3）木塊落地點(diǎn)到A點(diǎn)的距離。19．（2023下·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，一質(zhì)量為的小球，用長(zhǎng)為的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。g取，求：（1）小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為多大？（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為時(shí)，輕繩拉力多大？（3）若輕繩能承受的最大張力為，小球的速度不能超過多大？20．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一根長(zhǎng)的剛性輕繩，其一端固定于點(diǎn)，另一端系著一質(zhì)量的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），將小球提至點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無(wú)拉力，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，取。（1）為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)小球至少需要獲得多大的水平速度；（2）在小球以的速度水平拋出的瞬間，繩中的拉力為多大；（3）小球以的速度水平拋出，求繩再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間。21．（2023下·廣東梅州·高一